Cuestionando sobre ¿Qué? ¿Por qué? ¿Cómo?

Los poliedros regulares

En esta opción nos aproximamos a la Geometría desde el estudio de relaciones. La familia de sólidos soporte para desarrollar actividad es la de los poliedros regulares y los diferentes contextos a partir de los que se desarrolla actividad matemática son: construcción con material comercializado, contexto de puzzles, contexto de las formas rígidas y que se deforman y las características numéricas de los poliedros regulares.

T-18

a)¿Cómo se pueden introducir los poliedros regulares?

b) ¿Los materiales comercializados permiten construir todos los poliedros regulares. ¿Qué propiedades cumplen los poliedros regulares? ¿Cuántos poliedros regulares hay?

Figura 10

¿Por qué no se pueden construir poliedros regulares que tengan por caras polígonos regulares de 7 lados? ¿Y por qué no hay con caras octógonos regulares? ¿Y por qué no hay otros poliedros regulares, distintos del dodecaedro que tengan por caras pentágonos regulares?

c) ¿Qué estrategias de construcción conocemos para el tetraedro? ¿Sobre qué propiedades del tetraedro inciden? Considerando el tetraedro apoyado en una arista, ¿cómo están dispuestas en el espacio las caras, los vértices y las aristas?

¿Cómo se puede construir un tetraedro con dos unidades de dos triángulos equiláteros?

¿Qué forma tienen las secciones paralelas a la arista sobre la que se apoya y la que se cruza perpendicularmente con ella? De todas estas secciones, ¿qué forma tiene la que equidista de las aristas que se cruzan perpendicularmente? ¿Qué forma tienen las secciones perpendiculares a una arista del tetraedro? De estas secciones, ¿Qué forma tiene la sección que equidista de los vértices?

d) ¿Qué estrategias diferentes de construcción del cubo conocemos? ¿Sobre qué propiedades del cubo inciden?

Considerando el cubo apoyado en una cara, ¿cómo están dispuestas en el espacio las caras, los vértices y las aristas?

¿Qué forma tienen las secciones paralelas a pares de caras opuestas? De todas estas secciones, ¿qué forma tiene la que equidista de las caras opuestas?

Considerando el cubo apoyado en un vértice, ¿cómo están dispuestas en el espacio las caras, los vértices y las aristas?

¿Qué forma tienen las secciones perpendiculares al eje que pasa por vértices opuestos? De todas estas secciones, ¿qué forma tiene la que equidista de los vértices?

Considerando que el cubo está apoyado en una arista, ¿cómo están dispuestas en el espacio las caras, los vértices y las aristas en este caso?

¿Qué forma tienen las secciones paralelas a los pares de aristas opuestas? De todas estas secciones, ¿qué forma tiene la que equidista de las aristas?

e) ¿Qué respuestas tenemos cuando las cuestiones anteriores se plantean para el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro?

T-19

a) ¿Cómo podemos construir un desarrollo del tetraedro, un desarrollo del cubo y otro del octaedro? ¿En qué características (propiedades) del poliedro correspondiente podemos basarnos para construir los de la figura? ¿Cómo podemos dibujar éstos y otros desarrollos de estos poliedros?

Figura 11

¿Qué desarrollos construimos para el dodecaedro y el icosaedro? ¿Qué propiedades del poliedro correspondiente tenemos en cuenta para ello?

b) A un cubo se le ha quitado una de las caras, de manera que queda un cubo sin tapa. ¿Qué procedimiento podemos utilizar para determinar todos los desarrollos de este modelo que permita convencer a cualquiera de que ya no se puede encontrar ningún desarrollo más diferente de los que se han encontrado?

c) Si se tienen todos los hexaminós (formas que se pueden obtener juntando 6 cuadrados lado a lado) para determinar todos los desarrollos del cubo, ¿se necesita verificar uno a uno si es desarrollo o no? ¿Qué observaciones permiten rechazar de golpe varias posibilidades? ¿En qué propiedades del cubo se basan?

T-20

a) ¿Qué puzzles podemos considerar para desarrollar actividad en nuestras clases?

b) Considerando los siguientes puzzles:

¿Cómo se pueden describir las piezas que los forman?

¿Qué relaciones hay entre los poliedros implicados en cada puzzle?

¿Cómo se pueden hallar las relaciones numéricas que hay entre las aristas de los sólidos implicados en el modelo correspondiente?

¿Cómo se pueden dibujar los polígonos que necesitamos para construir estas piezas, utilizando la escuadra, el cartabón y los compases?.

c) ¿Qué comentarios cabe hacer sobre dificultades? ¿Qué comentarios cabe hacer sobre usar los puzzles como situación de partida para desarrollar actividad?

T-21

a) Cuando se intenta convertir en rígido un armazón del cubo añadiendo una diagonal a cada cara, ¿en qué sólidos se puede descomponer el cubo? ¿De qué manera se han de colocar las diagonales de las caras del cubo para que éste se descomponga en 5 sólidos? ¿Cómo se pueden describir los sólidos obtenidos en esta descomposición del cubo?

b) Cuando se convierte en rígido un armazón del cubo añadiendo todas las diagonales del cubo (las diagonales de las caras y las diagonales del espacio) que salen de un vértice, en qué sólidos se descompone el cubo? ¿Cómo se pueden describir los sólidos obtenidos en esta descomposición del cubo?

c) ¿Qué ocurre cuando se intenta convertir en rígido un armazón del cubo añadiendo todas las diagonales del espacio? ¿Cómo pueden describirse el modelo resultante?

d) ¿Cómo podemos describir los modelos del Tetraedro inscrito en el Cubo (T–C) y el Cubo inscrito en el Dodecaedro (C–D)?

Figura 13

e) ¿Cómo se pueden hallar las relaciones numéricas que hay entre las aristas de los sólidos implicados en los modelos T-C y C-D?

f) ¿Qué comentarios cabe hacer sobre dificultades? ¿Qué comentarios cabe hacer sobre usar el contexto de los sólidos deformables y los que se mantienen rígidos como situación de partida para desarrollar actividad? ¿Qué se puede decir de esta situación comparándola con la de los Puzzles?

T-22

a) ¿De qué maneras podemos rellenar una tabla con las características numéricas (relativas al número de elementos: C, V, A) de los poliedros regulares así como el orden de los vértices y el número de lados del polígono de sus caras?

¿Sobre qué aspecto de la geometría se incide al rellenar la tabla con cada uno de estos procedimientos?

b) ¿Qué relaciones se pueden enunciar entre el número de elementos de determinados pares de poliedros? ¿Y entre el número de diferentes elementos de un mismo poliedro? ¿Qué otras relaciones numéricas podemos encontrar?

c) ¿Qué relaciones permiten rellenar algunas columnas de la tabla cuando se conocen otras y cómo se pueden determinar las casillas de la tabla que se tienen que hallar para poder completar la tabla aplicando estas relaciones?

d) ¿Cómo se pueden interpretar en términos de inscripción de pares de poliedros las relaciones numéricas que hay entre el cubo y el octaedro? ¿Y las que existen entre el dodecaedro e icosaedro? ¿Y las que existen del tetraedro consigo mismo?

e) Considerando que un poliedro regular puede inscribirse en su dual, ¿cómo se corresponden los elementos de ambos poliedros.

Figura 14

f) ¿Cómo se pueden interpretar en términos de inscripción de pares de poliedros las relaciones numéricas que hay entre el tetraedro y el cubo? ¿Y las que existen entre el cubo y el dodecaedro?

g) Considerando que un tetraedro puede inscribirse en el cubo, ¿Cómo se corresponden los elementos de ambos poliedros?

figura 15

h) ¿Cuántos tetraedros se pueden inscribir en el cubo? ¿Y cubos en un dodecaedro?

i) ¿Qué comentarios cabe hacer sobre dificultades y sobre los niveles de razonamiento que requieren las actividades planteadas en esta tarea?

¿Qué comentarios cabe hacer sobre usar las características numéricas de los poliedros regulares como situación de partida para desarrollar actividad matemática?

¿Qué se puede decir de esta situación comparándola con la de los Puzzles y la de los modelos rígidos y no rígidos?

Para responder a las cuestiones que se plantean en las tareas T-18 a T-22 remitimos a los otros dos apartados de esta sección En algunas clases de geometría ¿Qué? ¿Cómo? y Propuestas, sugerencias, preguntas,... para clase. Por otro lado, los apartados de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? que también aportan información en relación con las cuestiones que planteamos aquí son: ¨Rompiendo las ideas de cara, ... , ¿Qué relaciones se establecen? y Comunicar y... .

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