Cuestionando sobre ¿Qué? ¿Por qué? ¿Cómo?

Prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides

Las cuestiones que proponemos aquí se refieren, por un lado, a los objetos, ejemplos y no ejemplos, y procedimientos de generar representaciones físicas de familias de sólidos (prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides) que se consideran como soporte para desarrollar la actividad. Por otro lado, a los contenidos geométricos que se tratan, referidos a la descripción y clasificación, y a cómo se tratan.

T-12

a) Pensemos en diferentes construcciones: cabañas, casas con tejado, iglesias, ,... ¿Se pueden ver en ellas prismas triangulares? ¿Y pirámides? ¿Qué transformaciones se tienen que hacer en las estructuras para poder verlos?

b) Para un ejemplo de cada una de estas familias (de los que se han visto en las construcciones anteriores), ¿Qué comentarios se pueden hacer respecto de en qué posición se presenta, qué tipo de caras tiene, cual es la forma de sus caras (de todas ellas o de parte), si son iguales, paralelas, perpendiculares, como son sus aristas, cuántas tiene,…?

¿Las propiedades que se enuncian para los ejemplos concretos se cumplen o no en la familia correspondiente? ¿Qué comentarios se pueden hacer sobre posibles ideas erróneas u otros posibles fallos asociados a ellas y sobre cómo se pueden corregir?

T-13

a) El material comercializado formado por polígonos (los troquelados o el polydrón) ¿tiene o no limitaciones para introducir los prismas (antiprismas, pirámides, bipirámides)? ¿Por qué? ¿Y las varillas y los mecanismos de engarce?

Figura 8

b) ¿Qué otros procedimientos o experimentos conocemos que proporcionan modelos de prismas (antiprismas, pirámides, bipirámides)? ¿Qué ventajas tienen estos procedimientos comparándolos con la construcción con el material comercializado? ¿Qué desventajas?

c) Considerando los procedimientos de generar prismas (antiprismas, pirámides, bipirámides) que se han indicado en a) y b), para cada uno cabe preguntarse: ¿Permite generar cilindros más fácilmente que prismas o es a la inversa? ¿Qué subfamilias de la familia considerada se pueden construir fácilmente? ¿Qué propiedades de estas subfamilias se pueden subrayar? ¿Se remarcan parecidos y diferencias entre los prismas y los cilindros y las pirámides con los conos? ¿Se remarca parecidos y diferencias entre los prismas y antiprismas? ¿Y entre los prismas y las pirámides? ¿Y entre los antiprismas y las pirámides?

T-14

a) ¿Cómo se puede introducir la familia de los prismas (antiprismas, pirámides, bipirámides) y cómo se puede continuar su estudio?

b) ¿Qué ejemplos y no ejemplos de objetos del entorno cabe mostrar para que los niños construyan los objetos mentales iniciales de los prismas (antiprismas, pirámides, bipirámides)? ¿En qué contextos se pueden buscar y encontrar? ¿Con qué representaciones cabe presentarlos? ¿En qué posiciones?

figura 9

c) Para intentar precisar los Objetos mentales, o las ideas, que uno se puede haber construido de los prismas (antiprismas, pirámides, bipirámides) a partir de objetos del entorno, se plantean tareas de identificación de ejemplos y no ejemplos de la familia. ¿Qué ejemplos cabe mostrar? ¿Con qué representaciones físicas? ¿Cómo se han de presentar los modelos? ¿Qué idea/s erróneas puede ser que se tenga que romper? ¿Qué podemos hacer para ello?

d) ¿Qué problemas pueden aparecer si una familia de sólidos o de polígonos se introduce sólo a partir ejemplos muy específicos? Por ejemplo, si los prismas los introducimos sólo a partir de los prismas rectos de bases regulares, ¿qué propiedades asociaríamos a los prismas que no son propiedades de ellos porque sólo las cumplen los prismas convexos?

T-15

a) Partiendo de los diferentes procedimientos que tenemos para generar el cilindro y los prismas, ¿qué parecidos y diferencias encontramos entre los prismas y el cilindro?

¿Y entre las pirámides y los conos? ¿Y entre los prismas y los antiprismas? ¿Y para los antiprismas y las pirámides?

b) ¿Qué ideas ingenuas de prisma pueden surgir al generar ejemplos con diferentes procedimientos? ¿Y para los antiprismas, pirámides, bipirámides?

c) ¿Qué idea tenemos de base de un prisma? ¿Cómo se puede intentar romper la idea que proviene del leguaje cotidiano? ¿Qué ideas ingenuas de bases de un prisma pueden surgir de generar los prismas con diferentes procedimientos? ¿Qué ideas tenemos de bases/e de los antiprismas, pirámides, bipirámides?

d) El siguiente vocabulario: paralelepípedo, polígono, ortoedro, prisma, paralelogramo, poliedro, rectángulo, ¿se refiere a figuras planas o a sólidos? ¿Qué relaciones podemos establecer entre ellos?

T-16

a) Nos proponemos enumerar las propiedades de los prismas (antiprismas, pirámides y bipirámides). ¿Qué comentarios cabe señalar sobre lo que resulta conveniente hacer antes de abordar este problema? ¿Qué resulta útil para no olvidar ninguna propiedad?

b) ¿Qué propiedades conocemos de los prismas (antiprismas, pirámides y bipirámides)? Cuando indiquemos el nº de elementos de un determinado tipo (caras, vértices o aristas) además del número cabe señalar también cuál es la disposición de ellos en el espacio.

Para cada propiedad, ¿qué comentarios cabe subrayar relativos a ideas erróneas y sobre cómo se puede revisar y/o corregir?

c) ¿Qué otras estrategias se pueden utilizar para halla de nuevo el número de caras, vértices y aristas de los prismas (antiprismas, pirámides y bipirámides) y su disposición en el espacio?

d) ¿Qué comentarios se pueden hacer sobre cómo aprovechar las propiedades de los prismas para determinar las propiedades de los antiprismas o de las pirámides? Considerando cada una de estas familias, ¿qué propiedades de los prismas se mantienen como propiedades de estas otras familias y qué modificaciones se tienen que hacer en alguna de ellas para que sean propiedades de la otra?

e) ¿Cómo podemos pasar de un prisma a un antiprisma? ¿Y de una prisma a una pirámide? ¿Qué se mantiene y qué cambia en esta transformación? ¿Cómo podemos explicar a partir de estas transformaciones por qué el número de caras de un prisma que tiene por bases un polígono de n lados es n+2, el de un antiprisma 2n+2 y el de una pirámide n+1? ¿Cómo se pueden interpretar las expresiones que tienen el número de aristas y el número de vértices de estos ejemplos generales de prisma, antiprisma y pirámide?

g) ¿Cómo podemos justifica las expresiones que para un prisma dan el nº de ángulos de las caras, los ángulos diedros, los ángulos de los vértices, las diagonales de las caras y las diagonales del espacio?

f) ¿Cómo podemos determinar el nº de ángulos de las caras de un prisma n-agonal utilizando diferentes estrategias? ¿Podemos explicar cada una de ellas y hacer comentarios en relación con las dificultades que conllevan o en relación con el nivel de razonamiento que requiere la estrategia utilizada?

¿Podemos adaptar las estrategias utilizadas en los prismas para hallar el número de estos elementos en los antiprismas, pirámides y bipirámides? ¿Cómo?.

T-17

a) Cabe construirse un listado de propiedades entremezclando algunas que son propiedades de los prismas, otras que sólo las cumplan algunas subfamilias (pero no todos ellos) y otras que las cumplan sólo alguno de los ejemplos. El listado siguiente es una muestra. Para cada enunciado cabe cuestionarse si es o no propiedad de los prismas y responder a las siguientes cuestiones:

¿Qué comentarios cabe señalar para alguna de ellas en relación con ideas erróneas y sobre cómo se pueden revisar estas ideas y/o corregir?

Si no es propiedad, ¿hay algunos ejemplos o subfamilias de los prismas que la cumplen? ¿Cuáles?

– Las aristas son iguales.

– Las aristas laterales son iguales.

– Las aristas de las bases son iguales.

– Las caras son iguales.

– Los ángulos de las caras son iguales.

– Los ángulos de las bases son iguales.

– Los ángulos de las caras laterales son iguales.

– Los ángulos diedros de las caras laterales son iguales.

– Los ángulos diedros de las caras laterales y las bases son iguales.

– El número de ángulos de las caras es 6n y el número de ángulos diedros, 3n.

– Las diagonales de las caras son iguales.

– Las diagonales del espacio se cortan en el centro del prisma.

– El número de diagonales de las caras es n(n+1).

b) Se puede repetir la actividad anterior cambiando el listado de propiedades y cambiando la familia de sólidos que se considera. Por ejemplo, en vez de considerar la familia de los prismas se considera la subfamilia de los prismas de caras regulares (las caras laterales son cuadrados y las bases son polígonos regulares).

c) ¿Por qué puede ser interesante trabajar con los niños actividades análogas a las planteadas en a) y b)?

¿Qué otro tipo de tareas se pueden plantear para trabajar la descripción de familias que tienen infinitos elementos?

d) Cabe hacer una recopilación de las tareas en las que se trabaja la descripción, bien de ejemplos, de familias finitas o de familias infinitas. Para cada tipo de tarea se pueden hacer comentarios sobre las dificultades que conllevan para los niños que razonan en un determinado nivel.

Para responder a las cuestiones que se plantean en las tareas T-12 a T-17 remitimos a los otros dos apartados de esta sección En algunas clases de geometría ¿Qué? ¿Cómo? y Propuestas, sugerencias, preguntas,... para clase. Por otro lado, los apartados de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? que también aportan información en relación con las cuestiones que planteamos aquí son: La construcción y..., ¿Qué propiedades cumplen?, ¿Se aplican ideas que se tienen que revisar? y Comunicar y...

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