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¿Son o no ejemplos? En este apartado se centra la atención en algunas respuestas que han dado algunos estudiantes para maestro y/o maestros en ejercicio en tareas de identificación de sólidos y/o de familias de sólidos, cuando éstos se han mostrado a partir de representaciones físicas (modelos huecos y/o macizos y/o esqueletos) y/o a partir de dibujos, colocados en la posición estándar y en otras posiciones, y se pedía que se identificara como ejemplo o no ejemplo de una familia de sólidos dada y que se explicara la respuesta. Las respuestas que se incluyen aquí están relacionadas con las de ¿Qué propiedades cumplen...y con las de ¿Se aplican ideas que se tienen que revisar? donde se centra la atención en si algunas familias de sólidos verifican o no determinadas propiedades y en determinadas ¨propiedades¨ que se asocian a determinadas familias de sólidos. Este apartado también está relacionado con el denominado ¿Qué sólidos verifican...? donde también se tienen que identificar sólidos o familias de sólidos pero el punto de partida es una o varias propiedades. Las familias de sólidos que hemos considerado para su identificación son: Los poliedros, los prismas, los prismas rectos y oblicuos, los prismas cóncavos y convexos, los paralelepípedos, los romboedros y los ortoedros. Ahora bien, si bien las respuestas que presentamos se refieren a la identificación de ejemplos y no ejemplos de estas familias, los comentarios que vamos a hacer centran la atención en el tipo de respuesta que se ha dado: Si está basada en atributos visuales, en ideas ingenuas, en propiedades geométricas, en las definiciones que se tienen, si se utilizan relaciones entre familias,... Por lo que en lo que sigue no vamos a incluir respuestas en las que no se dan explicaciones y no vamos a distinguir apartados según la familia implicada en la tarea de identificación. Cabe señalar también que no vamos a mostrar respuestas que contengan ideas o propiedades que se tienen que revisar. En este tipo de propiedades se centra el apartado ¿Se aplican ideas que se tienen que revisar?. Las respuestas las hemos agrupado como sigue. A ellas se puede acceder picando el título correspondiente. Utilizando propiedades geométricas insuficientes Aplicando relaciones entre familias Para la organización de las respuestas que se incluyen aquí hemos tenido como referencia el modelo de razonamiento de Van Hiele. En los trabajos que se referencian en la sección Para conocer más, y en particular en Guillén (2004), se puede encontrar más información sobre este modelo de razonamiento aplicado a la geometría de los sólidos. Ahora sólo vamos a dar una breve descripción del mismo. Este modelo de razonamiento, que ha sido elaborado por los profesores holandeses Dina y Pierre Van Hiele, ha tenido gran influencia en la investigación que se ha realizado en Didáctica de la geometría. Está formado por dos componentes: El primero es la descripción de los distintos tipos de razonamiento geométrico de los estudiantes a lo largo de su formación matemática, que van desde el razonamiento intuitivo de los niños hasta el formal y abstracto de los estudiantes de las licenciaturas de Matemáticas; el segundo es una descripción de cómo puede un profesor organizar la actividad en sus clases para que los estudiantes puedan acceder al nivel de razonamiento superior al que tengan (las 5 “fases de aprendizaje”); básicamente estas cinco fases constituyen un esquema para organizar la enseñanza. A continuación indicamos las características correspondientes a los 2 primeros niveles de razonamiento al considerar el modelo aplicado a la geometría plana y hacemos algunas matizaciones que surgen al considerar el modelo aplicado a la geometría de los sólidos. Para el Nivel 1 (Reconocimiento), en la investigación se han subrayado las siguientes características generales:
Para explicar las características de este nivel para la geometría de los sólidos vamos a indicar cómo se introduce en su estudio. En el apartado Algunos objetos ¿Qué forma tienen? ae refleja que éstos se han introducido intentando organizar el mundo de los objetos que aparecen en el entorno del estudiante, y después, al consultar La construcción y... se puede notar que los objetos se estudian en clase inmersos en procesos de construir y generar sólidos utilizando material comercializado y otros procedimientos de generar sólidos. Cabe hacer notar que el material comercializado está formado por polígonos que son las piezas con los que se construyen los modelos; en el modelo resultante corresponderán a las caras de los poliedros. Otro material comercializado está formado por varillas y mecanismos de engarce, que son las piezas con los que se construyen los armazones (esqueletos) de los poliedros; en el modelo resultante corresponderán a las aristas y a los vértices de los poliedros. Cuando se plantea el trabajo inmerso en tareas de construcción de modelos y de elaboración de "ideas" de familias de sólidos a partir de la construcción de modelos o armazones, junto con el modelo sencillo que se quiere construir se perciben también las piezas con las que se obtiene el modelo (que en términos de análisis corresponden a los elementos del modelo resultante). Como características de este primer nivel para la geometría de los sólidos podemos apuntar:
Veamos ahora las características generales que se han subrayado en la investigación para el Nivel 2 (Análisis):
Si nos centramos en los sólidos, relativo a las tareas de construcción de modelos y de elaboración de "ideas" de familias de sólidos a partir de la construcción de modelos o armazones cabe matizar:
Ahora bien, cabe señalar que no conlleva la misma dificultad para los estudiantes establecer relaciones entre sólidos y entre "trozos" de ellos, que puede facilitar la descripción de los mismos, que establecer relaciones entre sus propiedades. Establecer relaciones entre las propiedades requiere de razonamientos asignados al nivel 3 de razonamiento. En el modelo de Van Hiele la instrucción es un factor básico para avanzar en el nivel de razonamiento. Van Hiele (1986, p. 50) apunta que "la transición de un nivel al siguiente no es un proceso natural; tiene lugar bajo la influencia de un programa de enseñanza/aprendizaje. La transición no es posible sin el aprendizaje de un nuevo lenguaje". También llama la atención sobre el hecho de que "es posible que ciertas formas de enseñanza no permitan alcanzar los niveles superiores, pues los métodos de pensamiento usados en esos niveles permanecen inaccesibles a los estudiantes". Por otro lado señala que "la maduración que lleva a un nivel superior debe considerarse, por encima de todo, como un proceso de aprendizaje y no como una maduración de tipo biológico" (Van Hiele, 1986, p. 173). Asimismo cabe subrayar la relación que existe entre el lenguaje y los niveles de razonamiento. Cada nivel lleva asociado un tipo de lenguaje, entendiendo por ello no sólo las palabras o construcciones gramaticales empleadas, sino también el significado que se les da. Esta característica explica la incomprensión que puede existir entre dos personas que utilicen lenguajes de diferentes niveles. Y también explica que para verbalizar observaciones o para dar respuestas a tareas los estudiantes utilicen un lenguaje visual y/o geométrico expresado con más o menos precisión. En el apartado Cómo comunicamos ampliamos lo relativo a este aspecto para la geometría de los sólidos. |
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