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(¿Son o no ejemplos?) Utilizando propiedades geométricas insuficientes En la presentación de este apartado hemos descrito brevemente el modelo de razonamiento de Van Hiele. En el segundo nivel, "la figura se convierte en la portadora de sus propiedades". A continuación vamos a indicar algunas respuestas de estudiantes para maestro y de maestros en ejercicio a tareas de identificación de ejemplos o no ejemplos de prismas y pirámides. Éstas explicaciones reflejan que se empieza a reconocer la presencia de propiedades matemáticas de los objetos pues sus respuestas están basadas en propiedades geométricas pero éstas aún son insuficientes y en algunos casos están expresadas de manera imprecisa o mezclando terminología geométrica y visual. En los comentarios se centra la atención en cómo se puede conducir la clase cuando algunos estudiantes expresan propiedades de este tipo.
Cuando las respuestas que dan los estudiantes en clase corresponden a las indicadas en {1} a {16}, el profesor puede seleccionar los modelos adecuados, que vamos a indicar a continuación, para hacer notar que no se han dicho suficientes propiedades para que cualquier persona que no ha visto el modelo pueda saber que es de la familia que se ha indicado. Se trata de que los estudiantes vayan precisando las ideas que van expresando sobre las familias correspondientes a partir de los modelos que muestra el profesor. La respuesta {1} expresa características de las formas tridimensionales. Mostrando modelos de poliedros que no sean prismas se puede hacer notar que las características indicadas las verifican formas que no corresponden a prismas. A partir de la unidad base de la figura, formada por polígonos iguales y gomitas (liguillas) se puede remarcar que las respuestas {2} y {3} necesitan de otra condición que haga referencia a que las aristas laterales son iguales o a que las bases son paralelas. Asímismo, la pirámide truncada de la figura puede sugerir que en {3} no se ha indicado tampoco que en los prismas los polígonos de las bases son iguales.
figura 12 Cuando se explica por qué se piensa que un polígono es regular, es muy usual entre estudiantes para maestro o maestros en ejercicio que sólo se tenga en cuenta una de las condiciones, como puede comprobarse en {4} y {5}. Para explicar que un polígono no es regular, también son frecuentes las respuestas que niegan las dos condiciones, como se muestra en {6}. Resulta interesante mostrar el el ortoedro y el romboedro de la figura, que son prismas de base irregular, porque sus caras (todas ellas pueden ser bases) no cumplen una de las condiciones de los polígonos regulares. Con estos modelos como soporte, al centrarnos en las caras, se puede incidir en que para que un polígono sea regular tiene que verificar las dos condiciones (igualdad de lados y de ángulos) y para no ser regular basta con que una de ellas no se verifique, aunque también será irregular si no verifica ninguna de las dos.
figura 13 En relación con las condiciones que afectan a todas las caras de un tipo (por ejemplo, a las caras laterales) y a la manera de negar estas condiciones, cabe fijarse en {7} a {9}. Se tiene que enfatizar que en un prisma recto todas las aristas laterales son perpendiculares a las bases y que los modelos de esta subfamilia también son ejemplos de prisma. Al explicar la subfamilia a la que pertenece el modelo se indica el nombre de la familia más general a la que pertenece y además otras características que explican que estamos considerando los ejemplos de ella que son rectos. La respuesta {8}, además de no señalar que el modelo pertenece a los prismas, refleja que no puede usar de manera matemáticamente correcta el ¨al menos¨. La propiedad de los polígonos cóncavos, la ha readaptado a los convexos, con lo que en vez de exigir a todos los ángulos que sean menores de 180º, sólo se lo exige a uno de ellos. Ante una respuesta como ésta es interesante averiguar si se ha confundido el nombre de convexo con el de cóncavo y se ha usado el menor de 180º en vez de mayor de 180º. ¿O se quería expresar que el prisma es convexo porque no es cóncavo, es decir, porque no tiene algún ángulo de las caras mayor de 180°? La respuesta {9} refleja que el todo (referido a los ángulos de las caras laterales) se niega con el ninguno, en vez de con "al menos uno". El prisma oblicuo de la figura muestra que hay prismas oblicuos que tienen alguno de sus ángulos de las caras laterales rectos. Pero todos ellos no lo son.
figura 14 En relación con las respuestas {10} a {14} los poliedros de la figura pueden llevar a que se señalen otras propiedades que hagan referencia a que los modelos que se muestran son prismas. Por ejemplo, la propiedad que se expresa en {10} la verifica cualquier poliedro regular. Y si se indica además que es un prisma, las propiedades indicadas las cumple cualquier paralelepípedo.
figura 15 El modelo de la figura, se llama rombododecaedro. Puede obtenerse a partir del cubo y del octaedro añadiendo pirámides a sus caras. Al mostrar este modelo se puede notar que la propiedad que se indica en {11} no es suficiente para explicar que el modelo corrresponde a un romboedro. Se tendrían que añadir otras propiedades, por ejemplo, que tiene 6 caras iguales.
figura 16 Cabe enfatizar también, utilizando el prisma de la figura (formado por 4 cuadrados y dos rombos) como no ejemplo, la propiedad del romboedro de que sus caras son iguales. Al igual que en los rombos los lados son iguales, en los romboedros, también denominados prismas de caras iguales, las caras son iguales. Se puede verificar que cuando se considera que el romboedro es un prisma que tiene 6 caras rombos, sin poner la condición de que sean iguales, los prismas de la figura, formados por los dos tipos de rombos (rombos-cuadrado y rombos) podrían ser ejemplos. Pero entonces, los romboedros ya no serían la familia de los prismas de caras iguales.
figura 17 La pirámide de la figura puede ser un ejemplo que muestre que la respuesta dada en {16}se tiene que precisar. Hay que enfatizar que para que una pirámide sea recta, no basta con que la altura trazada desde el ápice caiga en la base; tiene que caer en el centro de la base. Cabe hacer también comentarios sobre el uso del lenguaje. Ya se ha subrayado en otras respuestas de este apartado lo usual que es utilizar el término lados para referirse a un elemento de los sólidos. En la respuesta {15}, cuando se usa el término lados ¿se refiere a aristas? ¿A caras? ¿O sólo se está considerando una cara? ¿Se están enumerando propiedades de los paralelogramos aunque se escribe que el modelo es paralelepípedo? En el contexto de clase, estas preguntas pueden guiar la actividad. Con relación al uso del lenguaje, cabe mencionar también la respuesta {9}. Aunque se habla de ángulos en los sólidos, no se especifica a qué ángulos se refieren, si a los ángulos de las caras, a los ángulos diedros o a los ángulos de los vértices. En el apartado ¿Cómo se usa el vocabulario? ¿Cómo se interpreta? se centra la atención en esta problemática muy importante en el aprendizaje de la geometría. *** A partir de las respuestas que indicamos a continuación centramos la atención en que para explicar que un modelo es un no ejemplo de una familia basta con indicar una propiedad de esta familia que el modelo no verifica mientras que para explicar que es un ejemplo el modelo tiene que verificar todas las propiedades de la familia considerada.
A partir de las respuestas {1} a {9} se incide en que basta con verificar que una propiedad de la familia que se considera no la cumple el modelo que se muestra en la figura para poder asegurar que éste no es un ejemplo de ella. Así, en {3} se tiene una respuesta para los poliedros, en {1} a {5} se tienen varias respuestas diferentes para la familia de los prismas porque se señalan propiedades que no se cumplen centrándose en las bases, en las caras laterales, en las aristas, en los vértices... En {6} a {8} se tienen respuestas para indicar que el modelo no tiene bases regulares porque no cumple una de las condiciones o porque no cumple ninguna de las dos. La respuesta de {9} se refiere a los paralelepípedos. Cuando se trabaja en clase este tipo de tareas se ha de remarcar en repetidas ocasiones que un ¨todo¨ se niega con ¨al menos uno¨. Las situaciones de la vida cotidiana ayudan a que se pueda comprender. En las experimentaciones que hemos realizado hemos verificado que incluso cuando en la respuesta sólo se ha tenido en cuenta una de las condiciones, al expresarla verbalmente se niegan las dos; esto es, se ha observado que los lados del polígono no son iguales y se indica que en las bases irregulares ni los lados ni los ángulos son iguales. Por lo que se ha de prestar atención especial a la manera en que los estudiantes pueden expresar las condiciones que están teniendo en cuenta para dar su respuesta pues para ellos conlleva bastante dificultad expresarlas con precisión. Las respuestas {10} a {16} centran la atención en las descripciones que hacen algunos estudiantes para maestro al identificar el cubo y romboedro general como ejemplo o no ejemplo de la familia de los romboedros, también denominada Prismas de caras iguales (PCI). Cabe señalar:
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Subapartado de:¿Son o no ejemplos?Para reflexionar sobre cómo aprendemos y nos expresamos... |
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tiene 6 caras que son rombos iguales paralelos dos a dos. Tiene 12
aristas. El cubo igual pero con caras cuadrados.
Tiene 6 caras rombos (el cuadrado lo es) iguales, 8 vértices
(4 arriba y 4 abajo), 12 aristas (4 y 4 laterales y 4). Otra manera
de hacerlo: 6x4/2 pues, cada cara tiene 4 aristas y tenemos 6 caras.
Pero cada arista pertenece a dos caras no es 24 sino 12. Ángulos
de las caras tiene 4x6=24. Ángulos diedros como número
de aristas, 12. Diagonales de las caras tiene 4(4-1) = 12; que es
también 6x2=12. Diagonales del espacio= n(n-3); 4(4-3) = 4.
