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(¿Son o no ejemplos?) Utilizando una definición Las respuestas que se incluyen aquí se basan en las definiciones que los estudiantes para maestro que participaron en nuestras experimentaciones construyeron para algunas familias de sólidos. Estas definiciones se elaboraron a partir de las ideas ingenuas y de atributos visuales que se habían expresado en un contexto de construcción; algunas se pueden consultar en La construcción y... y también en Utilizando ideas ingenuas. o Utilizando atributos visuales. En este apartado aclaramos también como las definiciones las concebimos como un largo proceso que puede llevar a pensar que la idea-definición que se tiene en un momento dado para un concepto geométrico puede precisarse si aparecen objetos que obligan a ello.
En el apartado de Utilizando ideas ingenuas hemos indicado cómo en el marco del modelo de Van Hiele, las definiciones que se dan en un primer nivel son genéticas, esto es, diciendo cómo está hecha la cosa que se define. Si después esta definición es reformulada de un modo más formal, la nueva definición deberá conectar con la anterior. Las definiciones que se expresan en las respuestas {1} a {9} conectan con las ideas ingenuas y los atributos visuales que se han expresado en otras respuestas de este apartado de manera que éstas se han reformulado de un modo más formal, en términos geométricos. Las respuestas {3} a {7} inciden en que las subfamilias establecidas con criterios visuales (los prismas rectos y oblicuos, cóncavos y convexos) pueden describirse con el nombre de la familia a la que pertenecen (prismas, pirámides,...) y una propiedad/es que caracteriza/n a la subfamilia que se ha establecido. Cuando las subfamilias se establecen centrando la atención en la regularidad de las bases, la respuesta {8} remarca que para explicar que el modelo es un ejemplo de prisma de bases regulares se han de verificar las dos condiciones (igualdad de lados y de ángulos), pero para explicar que es de base irregular basta con que una de las condiciones no se verifique. En relación con la definición que se ha dado en {9} para los romboedros, cabe señalar que puede incluir al cubo como ejemplo o no dependiendo de si los cuadrados se consideran como rombos o no. También cabe centrar la atención en el dibujo del romboedro general que se ha hecho que sugiere que sólo este tipo de romboedros se considera ejemplo de esta familia. Remitimos a la opción Utilizando propiedades geométricas de este mismo apartado, donde se puede conocer más sobre cómo se va elaborando la definición que se indica en {9} para los romboedros y sobre diferentes respuestas que han dado estudiantes para maestro; unas incluyen al cubo como ejemplo de los romboedros y otras lo excluyen. Ampliando la información que hemos dado en la presentación de este apartado sobre el modelo de razonamiento de Van Hiele, queremos matizar que cuando un estudiante ya razona en términos de propiedades geométricas, para él definir una familia de sólidos es equivalente a describirla; por definir entiende dar una lista de propiedades, que pueden caracterizar a la familia, ser insuficientes, o redundantes. Van Hiele (1986), cuya referencia puede encontrarse en la sección Para conocer más señala que los objetos (clases de objetos) pasarán a ser la representación de todas estas propiedades y habrá una equivalencia entre el objeto con un nombre concreto y las propiedades con las que lo describen: Cuando, después de cierto tiempo, estos conceptos están suficientemente claros, los estudiantes pueden empezar a describirlos. Con esto, se mencionan y se llegan a hacer explícitas las propiedades geométricas de las figuras geométricas. Las figuras pasan a ser la representación de todas estas propiedades. [...] Aquí tenemos una total equivalencia: no solamente una figura posee unas determinadas propiedades, sino que también los niños pueden llamar siempre a una figura con esas propiedades con el mismo nombre. [...] Al final, las propiedades se recordarán directamente sólo con la palabra (Van Hiele, 1986, p. 168). Es posteriormente cuando la palabra definir adquiere un significado muy aproximado al que tiene en matemáticas, que como indica Freudenthal (1973, p. 416), aquí tienen su significado especial: "una definición no sirve sólo para explicar a la gente lo que se quiere decir con una cierta palabra; las definiciones son eslabones en cadenas deductivas". Las definiciones no intentan reflejar la esencia de las cosas sino que organizan propiedades, seleccionan las mínimas, se enganchan en un sistema deductivo y se colocan en él al principio. Van Hiele (1986, p. 170) subraya que "después que los estudiantes han examinado el carácter de señal de varias figuras, descubrirán que algunas combinaciones de propiedades producen las figuras deseadas y que otras combinaciones no". Pero no se puede insistir en el aspecto deductivo de la definición antes de haber descrito las figuras, las clases y haberse familiarizado con todos los elementos de las clases. En relación con las definiciones para los niveles que se está considerando aquí queremos subrayar cómo éstas se elaboran como consecuencia de la experiencia de los estudiantes con el estudio de la geometría. Se conciben como el final de un largo proceso (examen de ejemplos, análisis de propiedades, clasificaciones, etc.). Se expresan ideas ingenuas que se van precisando y matizando porque aparecen objetos que obligan a ello. Puede parecer pues que la idea o definición de los estudiantes de un concepto matemático no va a ser nunca la definitiva; siempre cabe esperar que podamos encontrar ejemplos que cuestionan la definición del concepto que tenemos hasta entonces. La inclusión de algunos ejemplos dentro del mundo de objetos posibles supondrá una expansión de la imagen que se tendrá para el concepto. La exclusión del mundo de ejemplos, objetos que verifican la idea o la definición que se tiene del concepto, supondrá que se precise la imagen que se tiene o la definición del concepto considerado. |
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