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Sobre contenidos geométricos Los poliedros regulares. ¿Cuántos? La información que se aporta en los extractos siguientes se complementa con la que se incluye en la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? en las opciones Relaciones entre poliedros regulares y... del apartado ¨La construcción y...¨ y Características numéricas. Relaciones, del apartado ¿Qué relaciones se establecen? 18- Sobre las reglas de construcción para obtener los poliedros regulares. La familia de sólidos que vamos a considerar como soporte para desarrollar actividad en las siguientes clases es la de los poliedros regulares. […] Van a surgir dentro de tareas de construcción. […] Tenemos que construir siguiendo condiciones. Primera condición: tengo que usar polígonos regulares. Entonces podría preguntar ¿Cuáles no me valen? Con polígonos regulares me pueden salir cosas preciosas, porque puedo mezclarlos, pero ahora a vosotros os voy a dar una nueva condición. Condición segunda: Polígonos iguales. Con estas dos condiciones todavía me saldrían cosas como ésta [muestra una bipirámide pentagonal] que no me interesa. Mientras que ésta sí la quiero [muestra el icosaedro] ¿Qué pensáis que cambia?
El número de caras y algo más. Éste sí lo quiero también [muestra el octaedro]. Éste también lo quiero [muestra el cubo].
Desde luego que las caras son iguales, que las caras son regulares; en las caras no tenemos que mirar ¿Qué otras cosas podríamos mirar? Las aristas, desde luego que las aristas son iguales. Tampoco tenemos que mirar en ellas ¿Dónde nos queda mirar? En los vértices ¿Y qué pasa en los vértices? […] Tercera condición: Todos los vértices son iguales. Con una condición salen un montón, con las dos condiciones todavía nos salen algunos que descartamos ¿Cómo los descartamos? Porque cuando los apoyamos en cualquiera de sus vértices no siempre se puede conseguir que tenga el mismo aspecto. ¿Cómo descubrimos las diferencias? Procedemos por turno. Nos fijamos en las caras: son iguales y regulares. De las aristas no podemos decir nada que los diferencie; en todos ellos las aristas son iguales. Sin embargo, si nos fijamos en los vértices, podemos decir que la bipirámide pentagonal no tiene el mismo aspecto cuando se apoya en los vértices ápices que cuando se apoya en los vértices de la base. Se puede decir también que en los vértices de la bipirámide pentagonal no se juntan las mismas caras: cinco vértices son de orden 4 (los de la base) y dos son de orden 5 (los ápices). […] En todos ellos las caras son polígonos regulares ¿Qué polígonos descartamos? ¿Qué condiciones tienen los polígonos regulares? ¿Descartamos algún tipo de polígono de los que hay en el material comercializado? ¿Qué condiciones tienen los polígonos regulares? Un polígono regular tiene lados iguales y también ángulos iguales, y no se nos tiene que olvidar ninguna de las dos. ¿Este será polígono regular? [dibuja una “casita” de lados iguales] ¿La casita que hago con 5 varillas iguales es polígono regular? -alumnos: no
¿Por qué no? -alumnos: los ángulos Porque los ángulos no son iguales, se le llama semirregular, porque cumple una condición pero no cumple la otra. ¿Y el rombo general? ¿Este rombo será polígono regular? [dibuja un rombo general]. Los lados son iguales, pero ¿los ángulos son iguales? Bueno, hay un rombo, este rombo [dibuja un cuadrado apoyado en un vértice] uno de los rombos sí que es polígono regular, pero otros no. -alumno: pero es un cuadrado! ¿no?
Este rombo es un cuadrado, pero ¿es rombo? -alumno: s…s…si Es el rombo cuadrado; es el más bonito, además es polígono regular. O sea, de todos los rombos que tenemos hay uno que es más bonito, cumple más propiedades que los otros rombos: sus ángulos son rectos. […] Pero todos los rombos no son cuadrados -alumno: ¿por qué? Todos los cuadrados son rombos, pero ¿este rombo
es cuadrado? -alumnos: no Lo que pasa es que a , como tiene más propiedades,
tiene ángulos rectos, además de rombo se le llama cuadrado. […] Bajo esas condiciones me van a salir los poliedros regulares: Caras polígonos regulares y los polígonos tendrían las dos condiciones (lados y ángulos iguales), caras iguales y vértices iguales. De esas tres condiciones no se nos tiene que pasar ninguna, caras regulares, caras iguales y vértices iguales. Con esas tres encontraríamos todos los que vamos a estudiar. Sin embargo, cuando ya los tengamos todos ellos, veremos que además de eso en términos de igualdad podremos decir todo lo que queramos y más. Por ejemplo éste nos saldrá [muestra el dodecaedro] y diremos aristas iguales, ángulos de las caras iguales, ángulos diedros iguales, ángulos de los vértices iguales, secciones …
Se pueden decir muchísimas cosas de los poliedros regulares; si miráramos las simetrías, los políedros regulares tienen determinadas simetrías,… Como otra manera de introducir conceptos, la profesora introduce los poliedros regulares a partir de tareas de construcción con material comercializado. Ahora no se está en un contexto del entorno cotidiano; los conceptos los introduce al llevar a cabo una tarea de construcción. Los modelos que se estudiarán aparecen en la misma clase. En la primera sesión hace una introducción sobre el tipo de material comercializado que se puede utilizar para la tarea de construcción. Al iniciar el estudio, como está en una tarea de construcción la profesora va diciendo las condiciones para construir los modelos, al establecer las condiciones se está acercando también a la clasificación de poliedros de caras regulares: particulariza cambiando las condiciones de construcción, pasa de una familia de poliedros de caras polígonos regulares a una subfamilia de poliedros de caras polígonos regulares iguales y al poner la tercera condición introduce la idea de poliedro regular como poliedro que tiene caras polígonos regulares iguales y vértices iguales. Al introducir la idea de poliedro regular con las condiciones de construcción está trasladando la función de éstas a ser propiedades. Como se está refiriendo constantemente a polígonos regulares, pues se introduce también su estudio, se hace referencia a las propiedades de éstos y se relaciona con las de los poliedros regulares. Al revisar la idea de polígono regular, como ejemplo aparece el cuadrado y se aprovecha para acercarse nuevamente a la clasificación inclusiva de algunos cuadriláteros: El cuadrado es un rombo. Menciona algunos conceptos que se pueden estudiar, como son simetrías y ejes de rotación. Da la idea de que los poliedros regulares son un soporte muy rico para continuar el estudio de la geometría en niveles posteriores a la primaria. 19- ¿Cuántos poliedros regulares hay? ¿Cuáles son? ¿Cómo convencer de que no hay más? Los poliedros regulares los vamos a descubrir inmersos en tareas de construcción. Vamos a revisar lo que ya vimos el otro día. Las reglas de construcción son: polígonos regulares, iguales y vértices iguales […] Si empezáis con cuadrados, sólo cuadrados, si empezáis con triángulos sólo con triángulos, si empiezais con cuatro en un vértice en todos los vértices tiene que haber cuatro, si empiezais con 5 polígonos en un vértice pues siempre 5. Si empiezo con tantos pues siempre tantos. Estas son las tres reglas de construcción. ¿Qué propiedades tenían los polígonos regulares? Dos: lados iguales y ángulos iguales [lo apunta en la pizarra], mientras que, cuando pasamos a poliedros regulares las condiciones son: caras polígonos regulares, caras iguales y vértices iguales […] ¿Cuántos poliedros regulares hay? ¿Y cómo convenzo de que no hay más? ¿Cuántos pensáis que habrá? [espera respuesta] ¿Cuántos polígonos regulares hay? Eso sí que lo tenéis que saber ¿Tampoco sabéis cuántos polígonos regulares hay? Infinitos, vale, en los polígonos están el triángulo, el cuadrado [va poniendo dibujos en la pizarra], el pentágono éste que tiene los lados iguales y los ángulos iguales, el hexágono éste que tiene los lados iguales y los ángulos iguales. Y así ¿cuántos habrá? Infinitos. Polígonos regulares hay infinitos. ¿Y poliedros regulares cuántos pensáis que va a haber? -alumno: los mismos Pues los mismos, esa es una intuición basada en la analogía del plano y el espacio. ¡Cuidado! Porque la analogía proporciona muchas veces conjeturas correctas, pero en este caso no es así. Cuando se establecen conjeturas para los sólidos porque las cumplen los polígonos hay que revisarlas. […] No va haber infinitos poliedros regulares, así es que la actividad bonita es ver cuántos no habrá. En esta clase pretendo una especie de prueba que se llama por enumeración de posibilidades. […] O sea, voy a enumerarlos todos, voy a encontrarlos todos, si bien la prueba no se da en los primeros niveles, la manera de trabajar sí. […] Voy a encontrarlos jugando con las condiciones y las posibilidades que me permiten. […] Tengo en cuenta la condición uno, y la condición uno me dice que tienen que ser polígonos regulares, luego ¿qué posibilidades tengo? Pues voy a jugar sólo con triángulos, cuadrados, pentágonos, con los que sean y espero que en algún momento pueda decir que ya no hay más, porque si no está claro que habría infinitos. Cuando digo iguales, lo único que me añade es: si juego con cuadrados, sólo con cuadrados, si juego con triángulos, sólo triángulos, si juego con pentágonos sólo pentágonos. Pero cuando me meto en los vértices, ¿qué posibilidades tengo? Claro puedo empezar con vértices de orden 2, vértices de orden 3, vértices de orden 4, de orden 5, de orden 6, de orden 7, de orden 8, ... Bueno, esperaré que en algún momento diga que ya no puedo construir más, porque si no pasa eso es que hay infinitos. Y ahora que yo lo he escrito como si no estuviera en el mundo de las formas, cuando me veo eso digo ¿Puedo construir formas con vértices de orden dos? ¿Qué quiere decir vértices de orden 2? Que tendríamos sólo dos caras en un vértice ¿Con dos caras se puede formar vértice? No. […] Luego ¿esto para qué lo he escrito? [de orden 2 lo tacha en la pizarra] Se necesitan tres polígonos para formar un vértice cuando estoy con poliedros. Bueno si la cara es curva, como en el cono, la cara curva forma un vértice porque se dobla, pero en los poliedros, para que se forme un vértice se necesitan como mínimo tres caras. […] Empiezo con triángulos y voy a ver cuántos hay. Voy a empezar por los vértices de orden 3 ¿Qué quiere decir de orden 3? Que en cada vértice se juntan tres caras. […] Pongo tres en cada vértice, y la condición que tengo es que una vez que he empezado poniendo tres tengo que continuar siempre poniendo tres. […] Y ahora ya lo único que tengo que hacer es… Fijaos … Si yo ya lo tengo así [tres caras del tetraedro y lo muestra]. La única opción es que yo ponga éste [el último triángulo equilátero] aquí para que también queden tres. En este caso, más fácil ya no puede ser.
Ya hemos encontrado uno vamos a darle nombre. […] Si lo apoyo en cualquier vértice, tiene el mismo aspecto. Si lo apoyo en cualquier cara, tiene el mismo aspecto. Si lo apoyo en cualquier arista, tiene el mismo aspecto, cosa que no ocurre en otros. Ésta es una característica de los poliedros regulares. […] ¿Cómo lo llamaríamos? ¿Cómo lo hemos construido? Fijándonos en las caras ¿en qué nos vamos a fijar para darle nombre? -alumno: ¿en el número de polígonos? En el número de polígonos que he utilizado. Bueno pues sí, nos fijamos en el número de polígonos que he utilizado y que además tiene que tener la palabra “edro” para que parezca poliedro ¿Cuántas caras hemos necesitado? 3 para el pico y una para cerrar. […] Pues se llama tetraedro. Introduce la tarea de construcción dando las tres condiciones caras polígonos regulares, caras iguales y vértices iguales. Como es una situación de partida distinta a la de organizar formas del entorno, a la vez que se dan las condiciones se puede introducir el concepto de polígonos regulares, aristas, orden de vértices, etc. Se relacionan elementos del plano y del espacio al relacionar las condiciones de los polígonos regulares con las de los poliedros regulares, al igual que hay un acercamiento a la clasificación y la particularización cada vez que se da una condición de construcción. Analizando los poliedros regulares y a través de ejemplos la profesora conduce la clase para generalizar del plano al espacio y que los estudiantes noten que la familia de polígonos regulares es infinita. Posterior a eso, la profesora plantea una pregunta para que los estudiantes formulen una conjetura y haciendo una analogía entre los polígonos regulares y los poliedros regulares concluyan que la familia de los poliedros regulares también será infinita. La profesora enfatiza que la analogía proporciona muchas veces conjeturas correctas, pero que en este caso no es así. Subraya que hay que revisar las conjeturas que se establecen pasando al espacio lo que se verifica en el plano. Y continua la tarea de construcción guiada a descubrir que efectivamente la familia de poliedros regulares. Se proporciona una prueba mediante enumeración de posibilidades y justificación de que no pueden haber ninguno más. Se particulariza al poner ejemplos concretos para ilustrar las condiciones de construcción. Con ejemplos particulares (orden de vértices) se trabaja la descripción de los sólidos y se expresan condiciones necesarias para formar un vértice. De forma estructurada se selecciona el tipo de polígonos para construir el poliedro; igualmente de forma estructurada se van siguiendo las condiciones de construcción. Mientras se realiza la tarea siguiendo las condiciones se van describiendo la propiedades, así cuando el poliedro queda construido ya podemos decir algunas, por ejemplo el orden de los vértices y la forma de las caras. Ya construido el poliedro se centra la atención en una propiedad visual, los poliedros regulares tienen siempre el mismo aspecto apoyado en cualquier cara, el mismo aspecto apoyado en cualquier arista y el mismo aspecto apoyado en cualquier vértice. Es también una idea ingenua de poliedro regular. Se identificará el poliedro dando el nombre basado en el número de caras. Viéndolo al revés, primero el nombre, en lo que sigue se podrá indicar la propiedad del número de caras de ese poliedro. […] ¿Vértices de orden 4? Empezamos 4 en un pico [lo va construyendo], 4 en un vértice, … Sigo…
¿Pinchado del vértice o así? ¿Así? Pues vale, cada uno tendría su propia manera de contar que llevarían a distintas estrategias para contar y a diferentes propiedades del modelo. Eso lo haremos luego, cada uno empezaría con su propia manera luego se le plantearía ¿de qué otra manera? […] Os lo enseño así, apoyado en cara, como si fuera un tambor, o apoyado en un vértice, como una lámpara ¿Contáis? -alumnos: 8 8, bueno […] ¿Cómo lo vamos a llamar? Octaedro, […] Construye de manera estructurada, ya se tiene el tetraedro, ahora inicia con polígonos triángulos equiláteros y vértices de orden 4. Igualmente se determina el número de caras para asignarle el nombre. Como tiene 8 caras, su nombre es octaedro. También describe el poliedro con propiedades visuales y relaciona la forma con objetos del entorno cotidiano. Además está fomentando que los estudiantes busquen sus propias estrategias para contar los elementos que conforman el poliedro. Y empezaría construyendo un vértice de orden 5 y seguiría siempre de 5 en 5. […] Y al final tengo esto [muestra el icosaedro] Y ahora tenemos que contar cuántas caras tiene. Lo primero que tendríamos que decidir es cómo lo colocamos para contarlas y utilizar diferentes estrategias para contar que nos llevarán a diferentes propiedades.
[…] Conviene familiarizarse con el modelo apoyado en diferentes elementos, pues se facilita después delimitar secciones, planos de simetría, ejes de rotación, … Encontrar los planos de simetría y los ejes de rotación se facilita mucho cuando los modelos se observan apoyados en los diferentes elementos. Lo miro así: Lo voy a apoyar en cara a ver qué planos me salen, lo apoyo en la arista y a ver qué planos me salen y lo apoyo en vértices a ver qué planos me salen…. Y si estudio secciones pues lo mismo, lo apoyo en caras, vértices y aristas y miro la forma que tienen las secciones que cumplen determinadas condiciones. Empezamos ya para ver de qué manera contaría el número de caras de este poliedro que acabamos de construir. Ya construido el poliedro regular con vértices de orden 5, como ya no es tan fácil tener en la cabeza todas las caras que se han utilizado para construirlo, la tarea siguiente es identificar la posición conveniente para contar de manera estructurada las caras. Al observar el modelo en diferentes posiciones se trabajará la descripción del modelo; en este caso se menciona las seccionees y los planos de simetría. […] A ver, en voz alta ¿Quién quiere decir cómo lo ha contado? Eso de los de arriba lo he oído bastante, 5 arriba y 5 abajo sale fácil. O sea, que está claro que el icosaedro lo hemos partido, bueno pues esta manera de analizarlo nos va a facilitar encontrar, por ejemplo, desarrollos. […] Se puede ver ahí una pirámide, se puede ver ahí bajo otra pirámide y lo del centro se puede ver como un tambor que es de una familia que se llama antiprismas. El icosaedro se puede ver como que hay un antiprisma ahí [lo señala con las manos] Es un tambor con una pirámide por arriba y otra por abajo Esa es una manera de verlo, pero hay otras.
En este pico tengo 5 triángulos y en el otro 5 triángulos, y ahora todo el problema lo tenemos en lo de en medio. […] 10 y ¿Cómo los habéis contado? […]
Habéis contado los que tiene vértice hacia abajo y vértice hacia arriba, […]
Tenemos una pirámide pentagonal y a cada lado le colgamos uno. Hacemos lo mismo a partir de otra pirámide pentagonal. Luego encajamos los dos casquetes. Sería otra manera de construir el icosaedro. Si cada casquete lo considero un desarrollo, me quedaría una bipirámide pentagonal, pero si lo abro y engarzo con el otro casquete, me sale el icosaedro. Es otra manera de contar. Tendremos 5 + 5 + 5 + 5 = 20 caras. […] Se llama icosaedro. Al analizar las diferentes estrategias llevadas a cabo por los estudiantes se revisan propiedades de los poliedros, se describen propiedades y relaciones existentes entre parte de los elementos que lo conforman y otros sólidos, o bien se introducen tareas nuevas como el estudio del desarrollo plano. Como estrategia para contar las caras la profesora describe el poliedro como si estuviera construido con una composición de otros poliedros; además introduce familias nuevas, los antiprismas y las bipirámides. Está analizando el icosaedro, la construcción del icosaedro, y se ve por un lado, como la composición de un antiprisma pentagonal de caras regulares y dos pirámides pentagonales de caras regulares. Por otro, como en encaje de dos casquetes cuyos desarrollos corresponden a desarrollos de bipirámides pentagonales. Vértices de orden 6, pondría 6 triángulos. Empiezo poniendo 6 triángulos ¿Qué ha pasado? [lo muestra y espera respuesta] ¿Qué se ha construido?
-alumnos: un hexágono. Un hexágono, cuando yo construyo 6 triángulos me sale un hexágono. Empiezo [hace un dibujo de hexágono con la división de los 6 triángulos] Y ahora ¿Por qué nos ha pasado que sale un hexágono? Esto que ha pasado que se queda completamente plano [marca el ángulo central de 360º] ¿Por qué ha pasado eso? ¿Cuánto mide el ángulo de un triángulo equilátero? -alumno: 60º 60º ¿Cuánto mide el ángulo de un triángulo equilátero? ¿Cuánto mide la suma de los ángulos de un triángulo? -alumnos: 180 Como los tres son iguales, 180 dividido por tres, cada
uno 60 [ Luego 6 en un vértice ya no puede haber, ¿Y 7 si quiero que todos los vértices sean iguales? En cuanto yo intente poner 7 triángulos en un vértice ¿Qué me pasa? Que se mete para dentro; obtendremos modelo cóncavos. […] Si tengo vértices que se meten para adentro, no voy a poder conseguir construir un modelo en el que todos los vértices sean iguales, Luego, ¿qué va a pasar? Que con triángulos convenzo a cualquiera de que ya no hay más. Exactamente igual lo repetimos con los otros polígonos. […] Inmersos todavía en la tarea de construcción dadas unas condiciones, al intentar hacer con triángulos equiláteros vértices de orden 6 se pasa a un situación en el plano: 6 triángulos equiláteros unidos los 6 por uno de sus vértices forman una figura plana. Además se relacionan los triángulos con los hexágonos. El razonamiento utilizado para el caso de vértices de orden 6, en términos de los ángulos de los triángulos que se juntan en un vértice, se extiende a los casos siguientes para justificar que no habrá más poliedros regulares con caras triángulos equiláteros o con cualquier otro tipo de polígono regular. La construcción de poliedros regulares utilizando otro tipo de polígono regular se hace de la misma manera que con el triángulo equilátero. Como indica la profesora, las justificaciones de que con cuadrados sólo sale el cubo y con pentágonos el dodecaedro, y ya no se puede obtener ningún otro poliedro regular más que los que ya se han obtenido, se trabajan para completar la resolución de la tarea planteada y seguir trabajando tipos de pruebas que se dan en la enseñanza de las matemáticas en las que se justifica que algo no puede ser. |
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] eso es el ángulo de un triángulo equilátero [ 
]
Pero claro si tengo 6 [señala el dibujo del hexágono] 6
por 60 ¿Cuánto me sale? [
] 360º. O sea que da la vuelta entera, se me queda plano. 