La construcción y las relaciones entre poliedros regulares y...

Protocolo 1. Propiedades y relaciones entre el tetraedro y el octaedro.

{1} P: Hoy vamos a centrarnos en este sólido [se refiere al octaedro] ¿A qué familias pertenece?

figura 35
{2} E2: Es bipirámide. Mira. Aquí están las dos pirámides [las muestra]. Sus caras son triángulos.
{3}P: ¿Pertenece a alguna otra familia de las que hemos estudiado?
{4} E1: Sí, es... Mi padre me los ha enseñado. Está en dibujos de libros... Sus caras son iguales. Es polígono regular.
{5} E3: Sí, ya... tiene ... a ver... uno, dos, tres, cuatro,... son 8. Esos polígonos regulares tiene.
{6}E1: Ah! ¡No! Es poliedro regular... Son 5.
{7}E3: Pero eso sólo se lo sabe ella [se dirije a la profesora].
{8}E2: Yo tampoco lo se. Pero está formado por 8 triángulos regulares.
{9}P: Si nos fijamos en los vértices, ¿qué se puede decir?
{10}E2: Se juntan 4 triángulos.
{11}P: Cuando lo apoyamos en cualquiera de sus vértices siempre tiene el mismo aspecto y también nos da igual apoyarlo en una cara o en otra porque también tiene siempre el mismo aspecto.
{12}E3: Pero es diferente si se apoya en cara que si se apoya en vértice.
{13}P: Si, cuando se apoya en vértice se identifica mejor que es una bipirámide cuadrada. Se dice que es un poliedro regular porque sus caras son polígonos regulares iguales y sus vértices son iguales. Y se llama octaedro porque tiene 8 caras.
{14}E2: Sus caras son triángulos regulares. En los vértices hay 4.
{15}P: Si, por eso se puede decir que sus caras son polígonos regulares y sus vértices iguales. ¿Pertenece a otra familia de las que hemos estudiado?
{16}E1:

Yo no lo sé, pero puedo hacerlo... A este [se refiere al triángulo] le pongo triángulos y a éste, que es igual, también le pongo triángulos, y si lo ponemos junto así... ya lo tenemos...

[E2 construye también, pero después de tener los triángulos juntos, en vez de construir el octaedro, construye tetraedros]

figura 36
{17}P: ¿En qué familia de sólidos podemos construir los ejemplos de esa manera?
{18}E1: Ya! En los antiprismas, pero aquí todos son triángulos. Las estrellas se forman con triángulos también.
{19}P: O sea, este modelo es un poliedro regular porque ... Es bipirámide cuadrada porque ... Y es antiprisma triangular porque ....
{20}E2: Con esta estrella tengo una pirámide. Tiene las 4 caras éstas.
{21}E3: En las pirámides sólo necesito una estrella de éstas, porque los triángulos los junto así.
{22}E1: O también... ya lo hemos visto... con un antiprisma, el octaedro, tengo dos pirámides. Ahora las pirámides tienen todas caras triángulos.
{23}E2: Y mira, también, con lo de un antiprisma tengo una bipirámide también pero ahora junto triángulo con triángulo.
{24}E1: Pero la base la tengo que quitar... Se ríen todos porque recuerdan que E2 no quería aceptarlo cuando se discutió a partir de un antiprisma cuadrado.
{25}P: Vamos a fijarnos ahora en la pirámide. ¿Cuántas caras tiene? ¿Qué forma tienen? ¿Cómo son sus vértices? ¿Cambia de aspecto si lo apoyamos en un vértice u otro? ¿Cuando lo apoyamos en cara, se nota cuando lo hacemos en una cara o en otra?

Los enunciados {1} a {19} centran la atención en que el octaedro pertenece a 3 familias de sólidos que se pueden estudiar en primaria. La conversación continuó recordando las propiedades de cada una de estas familias y particularizándolas para el octaedro.

Cabe señalar que en las experimentaciones realizadas, la mayoría de los estudiantes (tanto los niños de 12 años como los estudiantes para maestro) identificaron el octaedro como bipirámide pero no como ejemplo de antiprisma. Hay que centrar la atención en que el octaedro también puede verse como una ¨pulsera¨de 6 triángulos equiláteros que se cierra con dos triángulos (uno por cada lado) que están girados uno con respecto al otro. En muchas ocasiones ha habido que dirigir también hacia modelos del octaedro que remarcan la característica que ha enunciado E1 en {16}. Se facilita así una nueva idea para el octaedro: puede verse como dos casquetes que encajan.

Mientras estábamos discutiendo sobre las características del octaedro, los niños construían con las indicaciones que daban alguno de ellos; por ejemplo, E1 en {16} o E2 en {20}. Esto permitió remarcar relaciones que hay entre los el tetraedro y octaedro (dos poliedros regulares) centrando la atención en sus desarrollos, como se muestra en {20} a {24}.

La conversación continuó recopilando las propiedades del tetraedro, haciendo notar que es pirámide y poliedro regular y remarcando que con los desarrollos planos de dos tetraedros (tienen 4 caras cada uno) se podía construir un octaedro (tiene 8 caras).

En los protocolos que se refieren a los prismas Construcción de prismas y ... hemos puesto de manifiesto que este material comercializado tiene limitaciones para la construcción de los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides, dado que sólo se pueden construir ejemplos de familias muy especiales (los rectos de bases regulares). Ahora bien, el material no tiene limitaciones para estudiar los poliedros regulares. Como se constata en este protocolo y en el siguiente, construir con el material comercializado formado por polígonos facilita que se descubran relaciones, que pueden establecerse visualmente, entre los poliedros regulares o entre éstos y los de familias de sólidos que también se pueden estudiar en primaria.

Protocolo 2: Relaciones entre antiprismas, pirámides y bipirámides con el icosaedro.

{1} P:

Ahora vamos a estudiar este modelo [se refiere al icosaedro] A ver si al descomponerlo en otros podéis encontrar algunos de los que ya hemos estudiado.

[Los niños disponen de modelos del icosaedro y lo miran cambiándolo de posición]

figura 37
{2} E1: ¿Cómo se llama ? Sí, es... otro de los que me ha enseñado mi padre. Es otro poliedro regular de esos. Pero yo sólo lo había visto en los libros, no así. Así se ve mejor.
{3}P: A ver, ¿Qué podéis decir de él? ¿Cuántas caras tiene? ¿Podéis descomponerlo en otros?
{4} E1: ¡Um ! Pues un montón... [Coge el modelo desde un vértice y dice] Pues que yo le quito lo de abajo y lo de arriba y tengo...

figura 38
{5} E2: Lo de arriba es una pirámide. Y lo de abajo también...
{6}E1: Mira, puedo hacerlo con este antiprisma de éstos y a esta base le pongo una pirámide y a la otra otra.

figura 39
{7}E3: Sí, las pones aquí en las bases, que son iguales.
{8}E2: Son pentágonos. Esto es el antiprisma y lo otro son pirámides.
{9}E3: Sí, pero no necesitas los pentágonos éstos de las bases porque luego los tienes que quitar.
{10}E1: Pero si los quitas se te rompe todo. Yo no lo puedo hacer... todo se me rompe. Los pongo y luego los quito con la cabeza. A ver... ¿cómo se llama ?
{11}E3: Pero entonces no tienes uno, tienes 3. Y si lo mueves se te caen y ya no sale éste. Está mejor éste [señala un modelo de icosaedro] que no tiene los pentágonos.
{12}E1: ¿Cómo se llama ?
{13}P: ¿Cuántas caras tiene? ¿Cuántos triángulos hay en cada pirámide? ¿Cuántos triángulos hay en la parte central? Se llama icosaedro.
{14}E2:

vamos a construirlo. Con los de cartón y las gomitas es más fácil.
[Se ponen todos a construir con los troquelados]

figura 40
{15}E2: A mi me salen dos ... dos pirámides... 5 y 5. Tengo 10. Son dos. Y los del centro.
{16}E3:

A mi me salen 20. Porque tengo los de la pulsera que son 10.
{17}E2: Sí, 20, 5, 10 y 5.
{18}E1: Y también lo puedo hacer de otra manera. Mira... [lo señala en un modelo] le pongo a éstos los triángulos que están hacia abajo. Y a ésta los que salen hacia arriba... A los lados éstos le pongo triángulos, van hacia abajo. Cuando los pongo en la pirámide de abajo, salen los triángulos que están hacia arriba....

figura 41
{19}E3: Es que al poner los triángulos en las pirámides se cierran. Salen bipirámides. Tengo 10 triángulos en una.
{20}E1: Pero puedo abrirlas y ya tengo ese si lo pongo junto. Tengo 10 triángulos y 10 triángulos. Tengo 20 triángulos.
{21}P: Sí, se llama icosaedro porque tiene 20 caras. Lo podemos determinar de varias maneras. Una de ellas puede ser: Lo apoyamos en un vértice. En la pirámide de arriba tenemos 5 triángulos, en la cinta central tenemos 5 triángulos hacia abajo y 5 triángulos hacia arriba. Y faltan los 5 triángulos de la otra pirámide. En total: 20. Mirar a ver si las podéis contar de otra manera.

Además de los comentarios del protocolo anterior, con respecto a éste protocolo cabe señalar también cómo las estrategias que se usan para construir los modelos y/o el análisis que se hace de los mismos puede utilizarse para contar el número de caras. De la misma manera, las estrategias usadas para construir esqueletos (armazones) de sólidos puede facilitar determinar el número de aristas y/o de vértices. De ahí que al estudiar los poliedros regulares, en relación con el icosaedro cabe considerar las dos estrategias de construcción que apunta E1 en {6} y en {18}. Si en clase no hay ningún estudiante que hace éstas observaciones, como nos ha ocurrido a nosotros en algunas experimentaciones, se plantearán otras preguntas que conduzcan a ellas.

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