La construcción de antiprismas: "Ideas" y propiedades

Protocolo 1. Construyendo modelos y armazones de antiprismas. Propiedades de los antiprismas

Este protocolo, al igual que los que se incluyen en Construcción de prismas: “Ideas” y propiedades, muestra que las ideas y las propiedades que los estudiantes precisan para una familia de sólidos, muy a menudo están basadas en las estrategias que se han usado al construir los modelos de los ejemplos de ella. Estas estrategias permiten que los estudiantes lleguen a comprender diferentes ideas de las familias elegidas, de parte de sus caras o de sus elementos. Por ejemplo, para los prismas, en los protocolos de ¨Construcción de prismas: “Ideas” y propiedades¨, se ha indicado que los prismas pueden verse como una banda de rectángulos, paralelogramos, rombos o cuadrados unida, cerrada por los dos lados con el mismo polígono. O como dos polígonos que se juntan con aristas laterales. Éstas aristas laterales forman rectángulos, paralelogramos, rombos o cuadrados que junto con las bases delimitan un espacio. Y también se han visto como un polígono que se desplaza paralelamente a sí mismo en alguna dirección.

La familia que se describe a continuación es la de los antiprismas, familia de sólidos que no se incluye en los libros de texto de primaria pero que, como puede constatarse en éste y en los protocolos de esta sección en los que se resaltan las relaciones Relaciones entre antiprismas, pirámides y … y Relaciones entre poliedros regulares y ... , a partir de esta familia de sólidos se puede desarrollar una rica actividad matemática en este nivel.

{1} P: [Muestra el antiprisma hexagonal de la figura y pregunta] ¿A qué familia pertenece?

figura 16
{2} E2: Es un antiprisma. Porque las caras éstas [las señala] laterales son triángulos. Y lo hacemos así... La cinta de triángulos que la cierro.
{3}E1: Sí, la pulsera es de triángulos en vez de con rectángulos... Bueno... paralelogramos. También se cierra con dos polígonos iguales que están girados. Y son paralelos también, como en los prismas, pero ahora aquí, en las caras laterales tengo triángulos. Y además también... mira... Que de cada base salen los mismos triángulos que de la otra. Se puede hacer de esa manera también. Mira, tengo triángulos boca abajo y triángulos boca arriba. Salen de la base de arriba y de la de abajo.

figura 17
{4} P: ¿Cuántos triángulos tendremos en las caras laterales? ¿Tienen que ser iguales?.
{5} E2: No se... En éste, 5 boca abajo y 5 hacia arriba. 10. Sí son iguales. Pero en éste que hay aquí no son iguales
{6}P: ¿Puedes decir otras propiedades de los antiprismas?
{7}E2: No se... Es que ella ya ha dicho las dos que eran . Otra yo no sé.
{8}P: Si te fijaras en los vértices, ¿podrías decir algo?
{9}E2: No sé, pero en éste [se refiere al de la figura] se juntan 4 caras; tres de aquí [señala las laterales] y la base. Y en éste [de las figuras anteriores] también.

figura 18
{10}P: Y eso, ¿pasa en todos los antiprismas?
{11}E2: No sé
{12}E1: ¡Ah! ¡Ya! Así también se podía hacer pero era un lío. Yo al principio no me aclaraba con las varillas esas [Se refiere a la construcción, que habíamos hecho en otra sesión, del armazón de un antiprisma]. Vamos a hacerlo otra vez que yo no me acuerdo.
{13}E2: Yo tampoco.
{14}E1: A ver, miro éste y me dices si lo hago bien o mal. Hago la base. Ahora pongo 2 varillas a cada vértice de esta base. Ya lo tengo poniendo la otra base.

figura 19
{15}E2: Sí porque las dos se ponen inclinadas y así se juntan
{16}P: ¿De qué orden son los vértices de los antiprismas que habéis construido? ¿Cuántas varillas salen de cada vértice?
{17}E2: 4. Tienen 4 orden.
{18}P: Los vértices de los antiprismas son de orden 4 porque en ellos se juntan dos aristas de la base y dos aristas laterales (Lo muestra en el armazón que han construido). Al mirar el modelo podemos decir también que en ellos se juntan 4 caras: 3 triángulos de las caras laterales y la base. ¿De qué orden eran los vértices de los prismas?

figura 20
{19}E2: Pues... a ver... La base y pongo una arista hacia arriba. 3. Tienen orden 3.
{20}E1: En esos es más fácil. Tengo la base y en cada vértice pongo una varilla en vez de dos.

 

En los enunciados {1} a {20} se describen los sólidos que llamamos antiprismas relacionándolos con la familia de los prismas. Cabe señalar las ideas que se han expresado en {2} y {3} para esta familia basadas en la construcción de modelos y las propiedades que se expresan para ella y para los prismas en {14} a {20} basadas en la construcción de armazones.

Llegar a precisar ideas sobre familias de sólidos exige que se dedique atención a la construcción de varios ejemplos de una familia dada. Ahora bien, como se constata en {11} a {13}, el trabajo de construcción no afianza las propiedades porque se le dedique una sesión. Las propiedades de las familias de sólidos han de retomarse en diferentes contextos y en tiempos diferentes.

También queremos hacer notar cómo {3} y {20} reflejan que las propiedades de los antiprismas se comparan con las de los prismas, remarcando parecidos y diferencias. Consideramos que al estudiar unas familias relacionándolas con otras, por un lado, se proporciona un contexto para recordar las propiedades que ya se han estudiado en otro contexto. Por otro lado, se introduce en una manera de estudiar donde al destacar las relaciones lo que se aprende es más duradero.

Cabe señalar también como E2 tiene dificultad a veces para expresar las propiedades utilizando el lenguaje geométrico de manera precisa. Por ejemplo, en {17} se indica: ¨tienen 4 orden¨, de manera análoga a como se dice que los polígonos tienen a lados. También cabe señalar cómo al hacer observaciones o descripciones de lo que se está haciendo, se recurre con frecuencia a lenguaje de gestos (se señalan las caras) y a posiciones estándar; a partir de ellas se habla de arriba, abajo... En estos casos, el profesor o bien aprovecha la idea que el estudiante ha expresado y la enuncia de manera precisa, o bien plantea una pregunta a los estudiantes que los hace reflexionar sobre cómo se han expresado. No se puede concluir que los estudiantes no tienen ninguna imagen para determinadas familias porque no puedan expresar ideas de ellas; son tareas independientes, y hay que separarlas, especialmente cuando consideramos la imagen inicial que el estudiante se está formando cuando se les introduce estas familias. Puede tenerse una imagen inicial de una familia de sólidos que incluya determinados ejemplos y que permita identificar con más o menos dificultad, otros y, sin embargo, no poder expresar una idea verbal de ella.

Dado que la geometría tiene una gran variedad de vocabulario propio, al desarrollo del lenguaje geométrico hay que dedicarle atención especial en la enseñanza. En el protocolo ¿Cómo se usa la terminología? ¿Cómo se interpreta? se trata la atención en ello.

regresar arriba

Subapartado de:
La construcción y...
Para reflexionar sobre cómo aprendemos y nos expresamos...