|
|
|
Sobre los elementos de los sólidos ¿Son o no paralelas? ¿Son o no perpendiculares? En este apartado se centra la atención en las relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre sus elementos. Hacemos notar cómo los modelos físicos proporcionan un contexto muy rico para estudiar las relaciones de paralelismo y perpendicularidad. La idea de paralelismo se forma en una edad temprana. El paralelismo y la perpendicularidad se perciben en el contexto de las formas rígidas, y una buena manera de hacerlo es exactamente en este contexto. A un niño se le puede mostrar las aristas paralelas de una regla, de una hoja de papel, de una caja, o las aristas perpendiculares de una escuadra, o de una caja, y se les puede preguntar qué les ocurre si se mueve el objeto. Realizando este experimento se podrá comprobar por la conducta de los niños que la conservación del paralelismo o de la perpendicularidad se constituye pronto. En este apartado centramos la atención en estas relaciones utilizando los modelos físicos para su estudio. Vamos a informar sobre lo que ha ocurrido en algunas de nuestras experimentaciones en las que han participado niños de 12 años o estudiantes para maestro. Protocolo 1: Acerca del paralelismo Hemos comprobado en repetidas ocasiones que la identificación del paralelismo en el contexto de los sólidos depende de los elementos que se consideran y de los sólidos correspondientes.
De estas respuestas se puede notar que si se responde a nivel visual se indica que no son paralelas. La respuesta tiene una explicación, pues no se corresponden con la imagen de rectas paralelas que uno se ha construido a partir de los ejemplos que se nos han presentado, que llevan a una idea de rectas paralelas como los railes de un tren, o como los filos de una regla. Pero si se aplica la idea que se tiene de que dos rectas en el plano son paralelas si al prolongarlas nunca se encuentran, como se ha plasmado en {2}, se responde que sí que son paralelas. En {3} puede notarse cómo el niño que considera que en las bases de los prismas sólo son paralelas las aristas que se corresponden entre ellas, se resiste a aceptar lo que defiende el otro niño que razona su respuesta en términos de propiedades y concluye que al considerar una arista de una base de un prisma todas las aristas de la otra base son paralelas a ella porque si se prolongan nunca se encuentran. La observación que hace E1 en {4} permite introducir las rectas que se cruzan. Con lo que aprovechamos las respuestas para remarcar la diferencia que existe entre el plano y el espacio y precisar así ideas para paralelismo de rectas en el plano y en el espacio, y para rectas que se cruzan. En el espacio, dos aristas son paralelas si puedo formar paralelogramos al unir sus extremos. Cuando no se cortan y tampoco son paralelas, decimos que se cruzan. Al plantear el mismo problema con estudiantes para maestro, verbalizaron las ideas siguientes: "En el plano son paralelas si al prolongarlas nunca se encuentran y en el espacio, dos rectas son paralelas si al desplazar una de ellas paralelamente a ella, podemos hacer coincidir ambas¨. ¨Cuando en el espacio las rectas al prolongarlas no se cortan y no son paralelas, las rectas se cruzan". Protocolo 2: Acerca de la perpendicularidad El protocolo siguiente, correspondiente a una conversación de estudiantes para maestro, lo hemos mostrado también en en un artículo de Enseñanza de las Ciencias de 2000, (Guillén, 2000), al que también se hace referencia en la sección Para saber más. Remitimos a este trabajo donde pueden encontrarse una gran variedad de ¨ideas¨que se forman algunos estudiantes sobre determinados contenidos geométricos, que pueden haberse formado por varias causas. La conversación tuvo lugar en el contexto de una clase de estudiantes para maestro. Se consideraba la familia de los prismas como situación para desarrollar actividad geométrica y se estaba inmerso en la descripción de esta familia descubriendo propiedades de igualdad, paralelismo y perpendicularidad relaticas a los elementos que los componen (caras, vértices y aristas). Uno de los estudiantes enunció para los prismas una propiedad que sólo la verifican los prismas rectos: Las aristas laterales son perpendiculares a las bases. Centramos la atención en que la respuesta se había basado en una subfamilia de los prismas (los prismas rectos) sin tener en cuenta los prismas oblicuos (que también son prismas) y la conversación continuó como indicamos a continuación.
Cabe señalar cómo no resulta inmediato interpretar los dibujos de los sólidos si no se ha centrado la atención en los convenios que se utilizan en este tipo de representación. Dado que en los dibujos de los sólidos se ¨rompe¨ algunas propiedades de éstos (las medidas de los ángulos de las caras y las longitudes de algunas aristas) para poder determinar relaciones de igualdad y perpendicularidad entre su elementos, en la enseñanza se ha de prestar atención a este tipo de representación. Se puede comparar con el modelo correspondiente y buscar lo que se mantiene y cambia en estas representaciones y las propiedades del sólido que se reflejan con una y otra representación. En el apartado ¿Cómo comunicamos... se trata también esta problemática. En las experimentaciones que hemos realizado en las que han participado estudiantes para maestro y se ha trabajado con modelos de sólidos y con dibujos de los mismos, también se han planteado problemas con el reconocimiento de la perpendicularidad entre determinados elementos. Algunos estudiantes tienen dificultad para identificar como perpendiculares a una recta dada algunas rectas contenidas en el plano perpendicular y que la cortan. En los prismas rectos, el que la base no sea un rectángulo (el que el ángulo correspondiente de la base no sea recto) dificulta la identificación de la perpendicularidad entre la arista lateral y las aristas de las bases que comparten un vértice del prisma. Estos estudiantes, si bien no tuvieron dificultades para determinar las aristas perpendiculares a una dada en el cubo y ortoedro, cuando presentamos un prisma recto de base pentagonal ya se presentaron problemas. Como uno de los estudiantes indicó, "si una de las rectas es vertical y la otra es horizontal lo veo claro, pero sino... Es que aquí este lado [se refiere al lado del pentágono] está inclinado". Una vez que ya se había aceptado que la propiedad sólo la verificaban los prismas rectos y que esta subfamilia de prismas sí que verificaban la propiedad (las aristas laterales son perpendiculares a las de las bases), algunos estudiantes todavía no identificaron como perpendiculares la arista lateral y una diagonal de la base que compartían un vértice del prisma. Fue necesario colocar varillas que representaban los elementos del prisma o centrar la atención en la sección correspondiente para que se aceptara la perpendicularidad de estos elementos. Cabe mencionar la respuesta que dió un niño de 12 años a otro cuando en una sesión de laboratorio se trató con ellos la perpendicularidad de algunos elementos de los prismas rectos. Este niño mostraba a otro, utilizando un modelo con una base abierta y varillas, que la perpendicular a la base dibujada desde el centro de la base caía en el centro; y aclaraba:
Esta respuesta corrobora la importancia que tiene la presentación de un mundo de ejemplos suficientemente rico al introducir los conceptos para que con la imagen que uno se construya de un concepto se pueda dar cuenta de una gran variedad de situaciones en las que está implicado el concepto. Aceptadas las propiedades enunciadas para los prismas rectos relativas a perpendicularidad de sus elementos, una pregunta de un estudiante a la profesora del curso desencadenó la conversación que transcribimos a continuación.
Hemos verificado en repetidas ocasiones que un atributo crítico que tiene mucho peso en la imagen que los estudiantes se construyen de perpendicularidad de segmentos es que ambos tienen que tener un punto común. Cuando en las experimentaciones realizadas algún estudiante plantea la cuestión {5} (y si no lo hacen los estudiantes la plantea el profesor), esto es, si las aristas laterales de un prisma recto son perpendiculares a las aristas de la base con las que no comparten vértice (una vez que ya se había discutido que sí que lo eran con las otras), surge una rica discusión, como la descrita en {5} a {14}. La mayoría de estudiantes muestran resistencia para admitir como segmentos perpendiculares a uno dado los segmentos contenidos en un plano perpendicular al segmento elegido que no cortan al segmento, pero algunos estudiantes intentan extender la idea de perpendicularidad para que se incluyan estas situaciones como ejemplos posibles. Respuestas de estudiantes que defendían ambas posturas se han indicado en {13} y {14}. Cabe señalar también la referencia que hace E3 en {7} y {9} a otras sesiones que se describen en protocolos de este mismo apartado incluidos en Cuánto mide el ángulo de... y ¿Es o no diagonal de un polígono? ¿Es o no diagonal del espacio? |
Subapartado de:Para reflexionar sobre cómo aprendemos y nos expresamos...Sobre los elementos de los sólidos |
,
las aristas de la base y las laterales son ángulos distintos
de 90°. Los que son de 90° son éstos [los ha señalado
en la figura].
hay el mismo que si coges los lados de la base. Y esté lo girada
que esté, si no lo inclinas para abajo o para arriba, éstos
ángulos son de 90° siempre.
figura 10
y así 
.
No hace falta que esté 
.
Y según cómo las miras, están siempre
].
Lo que tienes que hacer cuando no se cortan para comprobar si dos
son perpendiculares es elegir otros segmentos, pero tienen que ser
paralelos a los dados.