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Sobre los elementos de los sólidos
¿Es o no diagonal de un polígono? ¿Es
o no diagonal del espacio?
Las transcripciones que incluimos aquí corresponden
a discusiones entre niños de 12 años en clases laboratorio,
en el marco de un proyecto de investigación. Se consideraba la
familia de los prismas como situación para desarrollar actividad
geométrica y se estaba inmerso en tareas de descripción
de esta familia. Se había apuntado la conveniencia de proceder
de manera estructurada en las tareas de descripción de familias
de sólidos; esto es, se había sugerido que después
de haber enumerado todas las propiedades relativas a los elementos que
los componen (caras, vértices y aristas), sobre la igualdad, paralelismo
y perpendicularidad, se consideraran otros elementos de los sólidos
(la altura, los ángulos y las diagonales) y se apuntaran las propiedades
que se descubrieran relativas a estos elementos. Al considerar como elementos
de los sólidos las ¨diagonales¨, se habían distinguido
tres tipos:
Las diagonales de las caras,
que corresponden a las diagonales de los polígonos que forman
el poliedro. Al centrar la atención en ellas se había
subrayado que su estudio correspondía al de las diagonales
de los polígonos, sólo que al hablar de diagonales
de las caras, en vez de fijarnos sólo en las de un polígono
se consideraban las de todos los polígonos que formaban el
poliedro. |
figura 19 |
figura 20 |
Las diagonales del sólido,
que unen vértices del sólido que no pertenecen a la
misma cara. La idea se introdujo visualmente a partir de modelos
en los que se juntaban vértices del sólido con varillas
y se preguntaba sobre lo que se pensaba acerca de si el segmento
introducido correspondería o no a diagonal del espacio. En
el protocolo 2 se muestra cómo se elaboró una “idea”
ingenua para este tipo de diagonales. |
|
Los planos diagonales, son planos que se obtienen a partir
de dos diagonales de caras. La idea también se introdujo
visualmente a partir de modelos.. |
figura 21 |
Protocolo 1: Perfilando la idea de diagonal de una
cara.
La conversación que transcribimos a continuación
se planteó cuando intentábamos describir los prismas en
términos de diagonales de las caras. Tuvo lugar la siguiente conversación:
| {1} E1: |
Toma un modelo y pregunta: Las diagonales son esto
¿no? [y señala una diagonal de una cara]? |
figura 22
|
| {2} P: |
¿Qué es para ti la diagonal de un polígono?. |
| {3}E2: |
Pues cuando se juntan dos vértices así [señala
una diagonal de una cara]. |
| {4} P: |
Vale pues señálame ahí
diagonales [le da un prisma de base hexágono cóncavo]. |
| {5} E2: |
Este con éste, éste con éste y
éste con éste. Y ahora éste con éste y
éste con éste y éste con éste [Se ha pasado
a otro vértice] [Y sigue con los demás considerándolos
por turno. Señala también las que quedan fuera del polígono]. |
| {6}E3: |
Salta y dice en plan irónico, Claro... mira,
esta también es... |
figura 23 |
| {7}E1: |
Sí mira [y pone la varilla que une dos vértices].
Se sale del plano. |
| {8}P: |
Cuando se sale del plano, ¿Es o
no es diagonal del polígono? |
| {9}E1: |
Sí que es. |
| {10}E3: |
No. No es. |
|
| {11}E2: |
Esto sí que es diagonal, lo que
pasa es que aquí está un trozo de plano que no está. |
| {12}P: |
Las diagonales son las que unen dos vértices,
¿pero dos vértices cualesquiera? |
| {13}E1: |
Dos vértices que no sean... que
estén... así... Que unen vértices que no son
vecinos. Están en la misma cara pero no están juntos,
que es lado. |
| {14}E2: |
Dos vértices que se unan por una diagonal pero
que haya plano. Oblicuas. |
figura 24 |
| {15}E3: |
Esta no es [y señala una que queda fuera del
polígono]. Y ésta tampoco. Es arista. De la misma cara
sí, pero que no estén unidos por una arista. |
| {16}E1: |
Sí pero si lo ponemos así... [y gira
el prisma]. Ya no es oblicuo. |
| {17}E3: |
Pero que estén en el plano. |
| {18}E2: |
Sí pero que estén en el plano,
porque si hay un agujero, al plano le quito un agujero, entonces éste
ya no se une con ése. |
| {19}P: |
¿O sea que las diagonales tienen
que estar dentro del polígono? ¿Fuera del polígono
no pueden estar? |
| {20}E1: |
No. |
| {21}P: |
¿Antes no habíais dicho que sí? |
| {22}E2: |
[Se mete con ella]. Era por llevar la contra. |
| {23}E1: |
Vale pues ahora ya digo que no [y tira el modelo del
prisma]. Pues ahora digo que sí. |
| {24}P: |
Y a vosotros os suena que se os haya puesto la condición
de que las diagonales tenían que estar dentro del polígono? |
| {25}E1: |
Claro, porque es diagonal de un polígono. Como
es diagonal del polígono tiene que estar dentro del polígono.
Si no fuera del polígono, esto [y señala la que está
fuera del polígono] también sería diagonal. Esto
es si hablamos de diagonal de un polígono, pero si no es de
un polígono, sí. |
| {26}P: |
Es que siempre hablamos de diagonales de un polígono
o de un sólido. Ahora estamos hablando de diagonales del polígono.
Diagonal de una cara es cuando se unen dos vértices que no
son vecinos y ya no se ponen más condiciones. |
| {27}E1: |
Ah! Pues tienen que estar fuera. |
| {28}E3: |
Sí |
| {29}E2: |
Pues sí. Entonces ya lo había dicho antes.
El que se unían así lo había dicho yo ya, así
que... |
| {30}E3: |
Pero luego has cambiado de idea. |
Con respecto a las diagonales de los polígonos ocurre
con frecuencia que los estudiantes tienen una idea de este concepto formada
exclusivamente a partir de los polígonos convexos, lo que lleva
a asociar como atributo de este concepto el que éstas tienen que
quedar completamente incluidas en el interior del polígono.
Además, dado que el concepto de diagonal es un concepto
relacionado, esto es, siempre está referido a otro concepto (diagonal
de un polígono, diagonales de las caras, diagonales de los sólidos),
como remarca E1 en {25}, el nombre que tiene parece que hace referencia
a que tiene que quedar en el interior del polígono.
Así pues, la idea de que las diagonales de los polígonos
tienen que quedar en el interior del polígono es muy resistente.
Incluso los estudiantes que de entrada, siguiendo la sistematización
de la que ya han sido entrenados al contar, en un principio incluyen las
diagonales que caen fuera del polígono, cuando se les cuestiona
si son o no diagonales, cambian a menudo de opinión, como se refleja
en la conversación anterior. Es necesario discutir con ellos directamente
este problema, y aún así, a menudo vuelven a aplicar que
las diagonales tienen que quedar dentro del polígono, o dentro
del sólido (si nos referimos a las diagonales del espacio) al resolver
alguna actividad sobre ellas en otro contexto y en otro tiempo. Se sugiere
que en estos casos se haga de nuevo hincapié en que en la idea
que se da de diagonal de un polígono no se incluye como condición
el que quede dentro del polígono. Ésta es una propiedad
que se asocia a la familia de los sólidos convexos.
De la conversación desarrollada hasta ahora es importante
destacar también cómo los estudiantes razonan en términos
de propiedades. Aún cuando se rompía con la imagen de diagonal
que se tenía hasta entonces, que provenía de los polígonos
convexos, cuando en {26}se centró la atención en las condiciones
que tiene la diagonal del polígono, las respuestas que dan todos
ellos en {27} a {30} reflejan que tienen en cuenta sólo las condiciones
impuestas. Pero como ya hemos dicho, es muy posible que en otra situación
y en otro tiempo, la idea sobre la que se ha discutido, vuelva a aparecer
en sus respuestas.
Cabe señalar también la idea que se elabora
para diagonal de un polígono en {12} a {18}en la que los atributos
se van perfilando entre los 3 niños que participaron en la experimentación.
Así, en {13}, E1 expresó que unen vértices de la
misma cara pero que no son vecinos porque en este caso se tienen lados
del polígono de las caras. E3 apuntó en {15}que las diagonales
de las caras tenían que estar en la misma cara pero que unían
vértices que no estaban unidos por una arista. E2, en {14} subrayó
un atributo visual que incluyen algunos estudiantes en su imagen de diagonal
de un polígono, ¨son oblicuas¨, y que inmediatamente E1,
en {16} hizo notar que es un atributo que proviene de la posición
con la que se muestre. Dado que la decisión sobre este atributo
había quedado pendiente, una vez que se pusieron de acuerdo sobre
el otro atributo que creaba discusión, volvieron a considerar éste.
La conversación continuó como indicamos a continuación.
| {31}E1: |
¿Las diagonales son inclinadas o no? Yo creía
que no pero... En un crucigrama las diagonales siempre son así
y así y así [en la mesa con el dedo dibuja rayas como
si tuviera el crucigrama]. Las diagonales siempre son así
[y señala las rectas inclinadas] nunca son rectas.
Las diagonales son éstas [señala las diagonales del
cuadrado]Y éstas y éstas y éstas [en la mesa
con el dedo raya las paralelas a las diagonales del cuadrado: Lo
que se entiende por diagonal en un crucigrama] Busca en diagonal...
en diagonal...Tiene un montón de diagonales. |
| {32}P: |
Porque considera los cuadrados de las diferentes medidas (formados
por 4 casillas, 9 casillas...) y en ellos las diagonales. |
| {33}E1: |
Pero a veces no hay casillas. A veces sólo hay...letras.
A veces no hay casilla y entonces [habla muy despacio y no se entiende]. |
| {34}P: |
Si giras el crucigrama ya consigues alguna diagonal como las que
tu dices que son rectas, que quieres decir que no están inclinadas.
Porque cuando están inclinadas, ¿no son rectas? ¿Son
curvas? |
| {35}E1: |
Sí, sí. Son rectas también, pero así...
[señala rectas perpendiculares a la horizontal], que no están
inclinadas como en los crucigramas. |
| {36}P: |
Pasa lo mismo que en el cuadrado. Mira, si lo colocas apoyado en
un vértice, ¿Cómo son las diagonales? |
| {37}E1: |
¡Vale! Pero pasa pocas veces y nadie lo hace. Pero sí
claro, si pongo así el cuadrado, me salen rectas, ... [se ríe],
no están inclinadas. |
En los comentarios anteriores ya hemos hecho referencia
a que un atributo que también tiene mucho peso en la imagen que
algunos estudiantes construyen de diagonal de un polígono o de
diagonal del espacio es que éstas tienen que ser inclinadas. En
el contexto de clase es interesante discutir sobre este atributo para
que si algún estudiante lo tiene, pueda revisarlo. Se trata de
que puedan observar que las diagonales de un polígono son ¨oblicuas¨
o no dependiendo de la posición en la que se muestran. También
se puede centrar la atención en que las diagonales, cuando están
inclinadas, también son rectas, como ha hecho notar la profesora
en {34}.
La discusión sobre las diagonales de las caras todavía
puede continuar. El modelo que se puede utilizar para ello puede ser el
de un prisma cuya base es un polígono con 3 vértices en
la misma recta. En la sesión descrita anteriormente, la discusión
continuó como sigue; en ella se muestra que si bien dos de los
niños al contar las diagonales sistemáticamente consideraban
como dos diagonales del polígono las que unían 3 vértices
en línea, no admitían que correspondían a dos diagonales
en vez de a una.
| {38} E1: |
Mira una diagonal que pasa por una arista [el prisma
que ha seleccionado es como el de la figura que tiene 3 vértices
en la misma recta. Señala la diagonal]. |
figura 25
|
| {39} |
Es una diagonal pero pasa por una arista. Entonces
con una diagonal ya tendríamos hechas 2 diagonales: con esta
diagonal [señala la grande] ya tendríamos hecha esta
diagonal [señala la pequeña]. Entonces tendríamos
las dos diagonales con trazar una línea. |
| {40}P: |
¿Pero cuántas diagonales tenemos 1 ó 2? Esta
[pasa el dedo de vértice a vértice más lejanos]
y ésta [pasa el dedo de vértice a vértice más
cercano] o sólo ésta [la larga]? |
|
| {41} E3: |
Yo creo que dos porque ese también
es vértice y se une de ese vértice a ese vértice.
Yo pienso que son dos porque se unen con dos vértices. |
|
| {42} E2: |
Una. Pero sale una recta. Fíjate. Fíjate
[con una varilla avanza por la diagonal grande]. Tendría que
tener, mira... [acerca mucho una a otra las dos varillas que representan
las dos diagonales] esto no puede ser. Tu lo haces así, como
lo cojas para mirar a esto, no lo tienes que calcular para que sean
dos. [Lo que quiere decir es que no puede ser que las diagonales estén
muy juntas sin superponerse que es cuando serían dos]. |
figura 26 |
| {43}E1: |
No sé. No sé por cual inclinarme. Pues
hemos dicho que sólo vamos a trazar una línea. |
|
| {44}E3: |
Pero una es éste con éste; entonces ya
son dos. |
| {45}P: |
Fijaos en que cuando os he dicho que me
señalaseis todas las diagonales, tú me has dicho; una
[señala la grande] y luego cuando has llegado a este vértice
me has dicho: una. Me has señalado 2 diagonales, no me has
señalado una. |
| {46}E2: |
Pero es que tú me has puesto un problema
y en el problema yo digo que son dos y ahora una.
Da igual que se una ese vértice con ese. Si quieres conseguir
éste con éste no sé cómo lo vas a conseguir
pues tendrá que pasar así y entonces en una línea...
de diagonal consigue éste y éste.
Además mira. Esto no es diagonal porque no se juntan. Empezaríamos
de éste por aquí [la varilla blanca la pone como si
fuera la diagonal grande] o como se hiciera, porque éste
[pone la varilla azul sobre el lado del polígono que es un
trozo de la diagonal grande] con éste no, son vecinos, entonces
esto no es ninguna diagonal, entonces aunque pongamos la diagonal
roja, pasamos por encima, se junta con ésta [se refiere a
la varilla blanca] por lo tanto es una.
¿O es que hay 3 porque éste se junta con éste;
éste con éste y éste con éste [además
de las dos diagonales señala el lado] por tanto son 3.
Y esto [se refiere a la varilla azul que ha colocado sobre el lado]
no es diagonal. No. Esta no sirve porque es un lado. Entonces si
no vale para una cosa tampoco vale para la otra. |
figura 27 |
| {47}E1: |
Oye, una cosa. Yo no me quedo con nada
porque no digo nada [y se ríe]. Claro, une dos vértices...
Pero son dos vértices asíii..., pero es que estos vértices
son muy raros, muy... yo que sé. |
| {48}E3: |
Eso es un vértice y esto es otro
vértice, y... siempre que unes un vértice con otro es
diagonal. |
| {49}E1: |
Pues entonces sí que es una diagonal. Vale es
diagonal. Aunque esté así... recta... [quiere decir
que coje un trozo de lado o de arista]. Si en vez de hacer un dibujo
hago dos, se ven bien las dos. Y ésta es diagonal aunque coja
un trozo del lado. |
figura 28 |
| {50}E2: |
Vale. Si haces dos dibujos en vez de uno, ya puedes
verlas. Aunque esta larga sí que es diagonal rara con un trozo
de lado... Ymira! en éste también pasa eso. También
tengo que poner dos en distinto dibujo para que se vean. |
 figura
29 |
Cabe señalar las respuestas de E3 en {41},{44} y
{48}, basadas en propiedades de las diagonales de los polígonos,
para convencer a los otros niños de que los segmentos que estaban
considerando eran dos diagonales del polígono porque juntaban vértices
que no eran vecinos. Sin embargo, el hecho de que no se había visto
hasta entonces diagonales que podían quedar superpuestas porque
el polígono tenía 3 vértices en línea, llevo
a que dos niños o no supieran qué responder o rechazaran
una de las diagonales. La indecisión de E1 se muestra en {43}y
{47} y en {42}y{46} se refleja la resistencia que ofreció el otro
niño para aceptar como dos diagonales del polígono aquellas
en las que una quedaba superpuesta sobre otra. Si bien aceptó que
un "trozo" de la diagonal podía coincidir con un lado
del polígono (o con una arista del prisma), se mostró muy
reacio para aceptar que el número de diagonales en este polígono
no variaba con respecto a otro polígono que tuviera el mismo número
de vértices. Como las diagonales del polígono las materializaba,
bien con varillas, o con una recta en un dibujo, el hecho que no pudieran
visualizarse dos diagonales diferentes, (porque una estaba superpuesta
sobre la otra) le llevaba a rechazar con contundencia una de ellas (la
más corta), aún en el caso de que al contarlas de manera
estructurada, contaba dos. La visualización de la diagonal en el
dibujo del polígono tenía mucho peso en la imagen que este
niño se había construido para diagonal de un polígono;
al no poder visualizar ambas no podía aceptarlas como dos diagonales.
Sólo cuando E1, en {49,} apuntó la idea de que se dibujaran
en dos polígonos (para que así pudieran verse las dos) el
niño, de momento, cambió de opinión.
Protocolo 2: Elaborando una idea para diagonal del
espacio
Una vez que se acepta que las diagonales de los polígonos
pueden quedar fuera, al discutir las diagonales de los sólidos
puede surgir este problema de nuevo, pero ya no se pone resistencia para
aceptar que las diagonales de las caras pueden quedar fuera de la superficie
y las del espacio puede que no queden completamente en el interior. La
conversación siguiente da cuenta de ello. Ésta se desarrolla
entre niños de 12 años, en una clase laboratorio, en el
marco de un proyecto de investigación. En ella se intenta verbalizar
una ¨idea¨ para las diagonales del espacio.
| {1} P: |
¿Cómo quedarían las
diagonales en el espacio? Porque hasta ahora sólo hemos hablado
de diagonales de las caras. |
| {2} E1: |
¡Ah¡ Pues yo no tengo ni idea
de eso. |
| {3}P: |
[En el modelo de la figura señala una diagonal de una cara
y pregunta]. ¿Será diagonal del espacio? |
figura 30 |
| {4} Todos: |
No. E2: Es de ... Es de una cara. |
| {5} E1: |
Si lo uno con éste, [Señala una arista]
es una arista. |
| {6}E3: |
[Interrumpe]. Sería ésta... mira... [y
une vértices que no pertenecen a la misma cara]. |
| {7}E1: |
[Interrumpe]. ¿Esto sería
una diagonal? Una pregunta...Si cogemos esto y lo atravesamos así:
Pummm [señala una diagonal del espacio]. ¿Esto sería
una diagonal? |
| {8}E2: |
Si lo atravesamos sí. En el espacio
una diagonal es cuando une dos vértices pero... |
| {9}E1: |
Opuestos, nooo... |
| {10}E2: |
[Coge el modelo ]. Con éste sí
[señala un vértice de la base y lo junta con dos de
la otra base, como en la figura]. Con éste sí que será
diagonal y con éste también. |
figura 31 |
| {11}E3: |
Del espacio... [lo dice en tono irónico].
Estamos hablando del espacio... Una diagonal del espacio une vértices...
pues que los atraviesen.
Éste no es porque está unido con una arista... Y
éste tampoco es y ésta tampooco porque lo puedo unir
por aquí también [señala una diagonal de los
cuadrados como se muestra en la figura].
Éste sí que es [y señala una diagonal del
espacio] porque si nos metemos por dentro habrá que llegar
ahí, porque por aquí [señala la superficie]
es muy difícil el ir así [y señala un camino
que une los vértices pasando por las caras] . |
figura 32 |
| {12}E1: |
[Interrumpe]. Las diagonales se tienen
que meter por dentro [y hace gestos con las manos señalando
rectas inclinadas]. |
| {13}E2: |
Yo creo que las diagonales del espacio es cuando un
vértice se une con otro y... o sea que no se unen en el mismo
plano, como por ejemplo éste y éste [y señala
dos vértices de una cara] sino que se unen con los de la otra
parte. Que no estén en la misma cara. |
figura 33 |
| {14}E3: |
Este vértice no se puede ni con éste,
ni con éste... Con esta cara [señala la base] no se
puede con ninguna.
Ni con éstas dos tampoco [señala las dos caras laterales
que concurren en el vértice]. Ni con ésta que es arista.
Pero con ésta sí, porque con ésta haces...
Entonces ya puedo hacer fuuuuu [Y hace el gesto de atravesarlo].
|
figura 34 |
| {15}E1: |
Tienen que atravesar esto [señala
el modelo que tiene en las manos], el poliedro. Tiene que atravesar
el cuerpo, el volumen...
Pero tienen que unir dos vértices... Que une dos vértices
y tiene que ir por dentro del poliedro.
Ah no!, [coge el modelo de prisma cóncavo de la figura].
Que no se mete por dentro. Pero aquí no lo atraviesa. |
| {16}E3: |
Pues que se puede atravesar por fuera porque por fuera
también puede ser. |
figura 35 |
| {17}E1: |
Vale pues, por fuera o por dentro; da igual. No tiene
que ir rozaaando la cara. No tiene que ir por la cara. Tiene que volar.
Y tiene que juntar dos vértices. |
|
| {18}E3: |
Mira puede venir así, y así,
y así [señala un camino de dos segmentos, como en la
figura, que une los vértices pasando por las caras que forman
el entrante]. Mira!, sí que se puede meter por dentro. Si sigues
recto [baja por una cara lateral a la arista] y aquí, mira
aquí [cuando llega a la arista] sigues recto al final aparece
una diagonal. |
figura 36 |
| {19}E1: |
No puede ir por la cara. Tiene que volar.
Una diagonal tiene que ir así...[en la mesa hace una recta
inclinada con la mano]. De un vértice a otro [Lo muestra en
un modelo]. Puede quedar dentro o fuera pero tiene que quedar volando. |
| {20}E2: |
Y no puede ser más de un trozo. |
| {21}P: |
También lo podemos decir así:
Una diagonal del espacio es un segmento que une dos vértices
que no están en la misma cara. Al no poner más condiciones,
puede quedar por dentro del sólido, por fuera o parte por dentro
y otra parte por fuera. Pero se han de tener en cuenta las condiciones
que habéis descubierto: Une dos vértices del sólido
que no pertenecen a la misma cara y es un solo segmento. |
| {22}P: |
¿Y qué prismas pueden tener
alguna diagonal fuera? |
| {23}E2: |
Los cóncavos. |
Formarse una imagen de diagonal del espacio que permite
distinguir lo que es de lo que no, no ofrece dificultad, pero sí
el llegar a expresarla en términos geométricos. Como muestra
la conversación anterior, se dan ideas visuales muy precisas. Cabe
centrar la atención en el lenguaje de gestos o de metáforas
("tiene que ir volando") que utilizan los niños para
señalar que la diagonal del espacio no queda sobre la superficie
del sólido. En el apartado, Cómo
comunicamos... de esta sección se puede encontrar más
información sobre cómo se va desarrollando el lenguaje geométrico
en los niños.
De la conversación también puede comprobarse
que los niños, una vez que se ha discutido que las diagonales de
los polígonos pueden salirse de ellos, ya aceptan que las diagonales
del espacio pueden quedar fuera del sólido y que, si bien uno de
los niños indica la posibilidad de que una diagonal esté
formada por dos segmentos (en un intento de que no quede fuera del sólido)
esta idea se rechaza de inmediato.
Cabe fijarse en la idea que dan los niños del concepto
de diagonal del espacio; se preocupan de reflejar todas las condiciones
delimitadas. En {19} y {20} se apunta que la diagonal del sólido
une dos vértices, que puede ir por dentro o por fuera pero tiene
que quedar volando y que no puede ser más de un segmento.
Por otro lado, resulta interesante también cómo
E3, en {11} y {14}, al fijarse en uno de los vértices, no se centra
sólo en aquellos con los que se forma diagonal del espacio, considera
también aquellos con los que no es posible. La observación
resulta muy interesante cuando se plantea el problema de determinar el
número de diagonales del espacio que tiene un prisma.
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