(¿Se aplican ideas que se tienen que revisar?)

Respuestas en las que un modelo pertenece a dos familias

Las siguientes respuestas expresan que un mismo modelo puede pertenecer a dos familias disjuntas; esto es, que puede ser cóncavo y convexo, recto y oblicuo ó de base regular y de base irregular. En otras respuestas de este grupo la explicación de que un modelo pertenece a dos familias que están incluidas una en otra se basa en condiciones que no son suficientes para la familia específica (la familia incluida).

Las respuestas anteriores reflejan que las condiciones impuestas para las familias que se consideran no se aplican a las caras correspondientes. En {1} se ha extendido la caracterización de los prismas cóncavos como prismas en las que las bases son polígonos cóncavos a los prismas convexos, pero no se ha aplicado la condición a las bases sino a las caras laterales, lo que ha llevado a concluir que el prisma también es convexo porque también tiene caras convexas. Cuando se da una respuesta de este tipo, es interesante discutir sobre las características que tienen estas familias y hacer notar que la caracterización de los prismas cóncavos y convexos se hace a partir de las bases ya que las caras laterales, al ser paralelogramos en todos los prismas, siempre son polígonos convexos. Un prisma es convexo o cóncavo cuando sus bases son polígonos de estos tipos.

De la misma manera, ante una respuesta como {2} se puede incidir en que los prismas de bases regulares pueden tener caras laterales que son polígonos regulares (cuando son cuadrados) o polígonos irregulares (rectángulos, rombos o romboides). Para considerarlos de bases irregulares o de bases regulares centramos la atención en las bases. Cuando las bases de los prismas son polígonos que tienen lados y ángulos iguales son de bases regulares. Cuando las bases de los prismas tienen lados iguales pero ángulos distintos, ángulos iguales pero lados distintos o lados y ángulos distintos, entonces son prismas de bases irregulares.

Las respuestas {3} y {4} pueden llevar a discutir sobre las condiciones que se imponen a los prismas rectos y cómo se niegan estas condiciones. En los prismas rectos las caras laterales son rectángulos, incluyendo el cuadrado como caso especial de rectángulo porque corresponde a un prisma que tiene una altura determinada. Cuando las caras laterales de un prisma no son todas ellas rectángulos (incluimos el cuadrado como un rectángulo especial), entonces tenemos los prismas oblicuos. Pero no resulta sencillo comprender que la negación de ¨todas¨ las caras laterales son rectángulos no es que ¨no hay ninguna cara rectángulo¨ sino ¨al menos una cara lateral no es rectángulo¨. O que la negación de "Los ángulos de las caras laterales son rectos" es que "al menos un ángulo de las caras laterales es recto". Pueden haber prismas oblicuos que tengan por caras laterales rectángulos (o sea, tenga algún ángulo de cara recto) y otro tipo de paralelogramo más general (con lo que habría también ángulos de las caras distintos de 90º) , como en el modelo de la figura. Pero no pueden haber prismas rectos con alguna cara lateral que no sea rectángulo; esto es, los ángulos de las caras laterales de los prismas rectos miden todos ellos 90º. Las caras laterales de los prismas rectos sólo pueden ser rectángulos generales y rectángulos-cuadrado.

Otra observación que se puede hacer se refiere al uso que se hace del lenguaje geométrico. Se habla de caras y es muy probable que se quiera hacer referencia a las caras laterales. En la sección ¿Cómo se usa la terminología? ¿Cómo se interpreta? se trata con más detenimiento este problema, que es muy usual cuando uno se está introduciendo en el uso del lenguaje geométrico.

La respuesta {5} merece también un comentario. Establecer relaciones entre los cuadriláteros conlleva bastante dificultad como se ha hecho notar en bastantes investigaciones realizadas en Didáctica de la geometría. Castelnuovo (1963, 1979), con la construcción de los cuadriláteros con varillas (que tienen agujeros distribuidos a la misma distancia) que se juntan con chinchetas (las chinchetas se utilizan como mecanismos de unión), proporciona un entorno dinámico en el que los cuadrados surgen como uno de los posibles rombos, el rectángulo como uno de los posibles paralelogramos, etc. Así, se puede explicar mediante la construcción que, por ejemplo, el cuadrado y el rombo tienen relación de inclusión: De todos los rombos que podemos construir, juntando los extremos de 2 varillas iguales, que se cortan en el punto medio de ambas perpendicularmente, el cuadrado es uno de ellos; cuando las varillas de partida son iguales. Por tanto, el cuadrado es un rombo particular. De la misma manera se puede explicar que el cuadrado es un rectángulo particular; las reglas de construcción ahora son que se parte de varillas iguales y que se juntan en el punto medio. El cuadrado es uno de los posibles rectángulos que se construyen al juntar los extremos de estas dos varillas de partida una vez que se han juntado por el punto medio de ambas; el cuadrado surge cuando las varillas se cortan perpendicularmente. Se puede concluir pues que el cuadrado es un rombo y un rectángulo particular. Si en la construcción imponemos otras condiciones para juntar las varillas que funcionan como diagonales de los cuadriláteros se pueden establecer las relaciones siguientes: el rombo es un paralelogramo y una cometa particular, el rectángulo es un paralelogramo y un trapecio isósceles particular. Asimismo, en Guillén (1999) y en Guillén (1997, pp. 292-293; 1999) se trata con detalle cómo se puede proceder para facilitar que los estudiantes lleguen a establecer estas relaciones así como las dificultades que encuentran para ello. En la sección Para conocer más se pueden encontrar las referencias de estos trabajos.

La respuesta {5} refleja que sólo se aplica a parte de las caras las condición que en la familia se impone para todas ellas. En un paralelepípedo las 6 caras son paralelogramos. Pueden ser todas ellas cuadrados, con lo que obtenemos el cubo, todas ellas rectángulos, con lo que obtenemos los ortoedros, todas ellas rombos iguales, con lo que obtenemos los romboedros y pueden estar mezcladas (4 cuadrados y dos rombos generales, diferentes romboides, rectángulos y romboides,...), con lo que obtenemos otros paralelepípedos. Por tanto, cuando en un modelo que tenga 6 caras se observa que éstas son rectángulos y paralelogramos más generales (romboides), se puede concluir es que es un paralelepípedo. Pero no corresponde a un ortoedro porque si bien los rectángulos son paralelogramos, todos los paralelogramos no son rectángulos. Y los ortoedros son prismas cuyas caras son rectángulos. Las posibilidades para sus caras son los rectángulos generales y los rectángulos-cuadrado que pueden estar mezclados o ser todos ellos del mismo tipo. Cuando todas las caras son cuadrados tenemos el ortoedro-cubo.

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