Mundo de las formas

¿Qué relaciones se establecen?

Puzzles y estructuras rígidas. Relaciones

Los puzzles que se van a utilizar aquí corresponden a descomposiciones del cubo en 3 y 6 pirámides y a puzzles que reflejan relaciones entre el tetraedro y el cubo y el cubo y dodecaedro. Al fijar la atención en las estructuras que son estables y las que se deforman también se construyen modelos en los que están implicados los mismos poliedros.

Vamos a mostrar algunas respuestas de estudiantes para maestro a cuestiones que se les plantearon en el desarrollo de una clase a partir de los puzzles o en el contexto de convertir en rígidas las formas. Las cuestiones se referían a la descripción de puzzles o modelos y a la construcción de las piezas de los puzzles o de los otros modelos que se utilizaban como soporte.

Los estudiantes los hemos denominado como E1, E2 y E3 y P se refiere a la profesora. Para la actividad los estudiantes utilizaban los puzzles con las piezas y los modelos de pares de poliedros inscrito uno en otro que se muestran con una figura cuando hacen referencia a ellos.

Cabe destacar las relaciones entre diferentes sólidos que se pueden establecer en estos contextos. Al verbalizarlas, como implican varios poliedros, se han de precisar los poliedros que están implicados, la manera en que están colocados, las relaciones que existen entre los elementos de los poliedros que intervienen, la forma geométrica que se obtiene....

{1}	E1: Este puzzle del cubo y las 6 pirámides está bien. Pones las 6 pirámides con el ápice hacia adentro y todos los ápices van al centro del cubo.	figura 1
{2}:	E2: La base de las pirámides está, es igual, coincide con la cara del cubo. Por eso tenemos 6 pirámides, una por cada cara.
{3}	P: ¿Podéis decir algo más respecto de estas pirámides?
{4}	E2: Pues que puedo construirlas fácil. Primero construyo una caja-cubo que se pueda abrir, como ésta que tenemos aquí. Mido de vértice a vértice opuesto, la diagonal del espacio ¿no?, y la arista de estas pirámides es la mitad. La base es la cara cuadrada del cubo.
{5}	E2: Los desarrollos de estas pirámides los obtengo con el cuadrado de las caras del cubo y a cada lado le pongo un triángulo. En los 4 lados los triángulos son iguales. La medida para los otros dos lados del triángulo es la mitad de la diagonal del espacio.
{6}	P: ¿Cómo se puede determinar la diagonal del espacio del cubo? ¿Podéis dibujar un triángulo en el cubo, de manera que uno de los lados sea la diagonal del espacio?
{7}	E1: Ya lo tengo [en un cubo abierto construido con material ha dibujado el triángulo rectángulo de la figura]. Un lado es la arista del cubo y el otro la diagonal.	figura 2
{8}	P: ¿Podéis conocer la diagonal de la cara cuando conoces la medida de la arista del cubo?
{9}:	E3: Sí. Tengo un triángulo rectángulo. La diagonal es la hipotenusa.
{10}	P: ¿Qué podéis decir de la altura de estas pirámides?
{11}	E1: Es la mitad que el cubo. Dos pirámides juntas miden como su arista.
{12}	P: Ahora pegar las pirámides a las caras del cubo pero con los ápices hacia afuera. El sólido obtenido se llama Rombododecaedro o dodecaedro rómbico. ¿Qué podéis decir de este sólido? figura 3

Resulta sorprendente que las 6 pirámides hacia adentro se juntan en el centro del cubo y si se colocan hacia afuera como en la figura, se obtiene un poliedro que se llama rombododecaedro.

La sesión continuó hallando el número de elementos del rombododecaedro. Los estudiantes tienden a contar las caras sobre el modelo por lo que sienten la dificultad que hay para contar elementos cuando la disposición es espacial. Por ello, se les sugiere que se fijen en lo que ocurre con los elementos de los poliedros de partida (el cubo y las pirámides que se añaden a sus caras) en relación con los elementos del poliedro obtenido. Se centra la atención en que para los vértices permanecen los de las dos familias de partida (los vértices del cubo y los de las pirámides). Para las caras, desaparecen las del cubo y permanecen las de las pirámides, pero cada dos triángulos forman una cara del poliedro obtenido. Y para las aristas, las aristas del cubo se convierten en otro elemento del poliedro obtenido (son las diagonales pequeñas de las caras) y las aristas de las pirámides constituyen las aristas del nuevo poliedro.

Determinar el número de elementos del poliedro obtenido aplicando las observaciones que se han hecho aún conlleva dificultades para algunos estudiantes para maestro. Resulta necesario que el profesor dirija a los estudiantes para que utilizando los siguientes razonamientos deductivos hechos a partir de un soporte visual (utilizando el modelo para poder visualizarlos) se determine el número de caras, vértices y aristas del nuevo poliedro. Pero cuando dirige el profesor no se tiene dificultad para que los estudiantes puedan concluir que el rombododecaedro o dodecaedro rómbico se llama así porque tiene 12 caras que son rombos. Dado que el cubo tiene 6 caras y de cada una salen 4 triángulos (las caras laterales de las pirámides), se obtienen 24 triángulos. Pero cada dos triángulos forman un rombo porque están en el mismo plano. También se observa que por cara cara del cubo se obtiene un vértice de orden 4 (los ápices de las pirámides) y los vértices del cubo se mantienen. Por lo que el rombododecaedro tiene 6 vértices de orden 4, dispuestos en el espacio como los centros de las caras del cubo, y 8 vértices de orden 3, dispuestos en el espacio como los vértices del cubo.

De manera análoga se razona que tiene 24 aristas. Por cada cara del cubo surgen 4 (las aristas laterales de las pirámides) y las aristas del cubo pasan a ser diagonales de las caras.

Cuando se parte del puzzle del cubo y las 3 pirámides se tiene más dificultad para resolver todos los problemas que se han planteado con el puzzle del cubo y las 6 pirámides. Incluso acoplar las 3 pirámides en el cubo requiere de algunos intentos.

figura 4

A partir de este puzzle se centra la atención en la ventaja que ofrece hacer observaciones sobre las características de las pirámides y cómo se colocan en el cubo para poder reproducir el puzzle rápidamente. Así se resalta que tres pirámides rellenan un cubo de manera que la base de éstas está sobre las 3 caras del cubo que se juntan en un vértice del cubo y el ápice de todas ellas está al otro lado. Los 3 ápices de las pirámides se juntan en el vértice del cubo opuesto al que concurrían las bases. Dos caras laterales son triángulos rectángulos que corresponden a media cara del cubo. Los otros dos triángulos tienen lados diferentes que corresponden a la arista del cubo, la diagonal de una cara y la diagonal del espacio.

Se centra la atención en el uso que se hace del vocabulario geométrico; nos fijamos en si en las respuestas que han dado se ha especificado a qué diagonal nos referimos, si a la de la cara o a la del espacio; así se hace notar que, por ejemplo en {7} sólo se ha indicado diagonal.

También revisamos si queda claro el sólido al que nos estamos refiriendo cuando hablamos de caras, vértices aristas, altura o diagonales. Remarcamos que como en los puzzles hay varios sólidos implicados, al hablar de un tipo de elementos tiene que quedar claro a qué sólido nos referimos. Así, se trabajan enunciados como ¨En el puzzle de las tres pirámides y el cubo, la altura de las pirámides que forman el cubo coincide con la arista del cubo¨. ¨En el puzzle de las seis pirámides y el cubo, la altura de las pirámides que forman el cubo coincide con la la mitad de la arista del cubo¨.

A partir de los puzzles de la figura se pueden explorar relaciones entre el tetraedro y cubo, el cubo y el dodecaedro.

figura 5

Relaciones que enunciaron estudiantes para maestro fueron las que indicamos a continuación.

{1}	E1: Un tetraedro y 4 pirámides forman un cubo. Pero tienes que colocar las piramides en cada cara del tetraedro de una determinada manera, sino no sale. Dos triángulos de las caras de las pirámides tienen que formar la cara cuadrada del cubo por lo que los triángulos se tienen que juntar para que salga.
{2}:	E2: Cuando al tetraedro se le añaden otras 4 pirámides a sus caras se obtiene el cubo. Dos caras de estas pirámides forman una cara del cubo. Las bases de las pirámides coinciden con las caras del tetraedro. Los vértices de las pirámides son los vértices del cubo.
{3}	E1: Un cubo y 6 casquetes iguales forman un dodecaedro. Pero tienes que colocar los casquetes en cada cara de manera que el trapecio de uno de los casquetes quede al lado del triángulo de otro casquete para que juntos se forme la cara pentagonal.
{4}	E2: Cuando al cubo se le añaden otros 6 ¨trozos de éstos¨ a sus caras se obtiene el dodecaedro. Los ¨trozos¨ están formados por partes del pentágono. Dos pentágonos del dodecaedro se parten con una diagonal y así tengo los dos triángulos y 2 trapecios que alternativamente junto al cuadrado de la cara del cubo. Y ya tengo el ¨trozo¨ que se añade a cada cara del cubo. Cuando los trapecios se juntan por su lado pequeño se forma una arista del dodecaedro. Si miramos estas aristas, tengo 6, una por cada ¨trozo¨ me salen las 6 aristas del dodecaedro ¨bonitas¨ (forman 3 rectángulos perpendiculares entre sí). Al juntarse un triángulo de un ¨trozo¨con el trapecio de otro ¨trozo¨ me sale la cara pentagonal del dodecaaedro.

De las respuestas {1} a {4} puede notarse cómo se trabajan relaciones entre los poliedros implicados en un modelo así como descripciones de estos poliedros en términos de los elementos de los poliedros de partida (tetraedro o cubo y pirámides) y del poliedro obtenido (el cubo o el dodecaedro).

Al igual que con los puzzles anteriores es interesante seguir centrando la atención en el uso que se hace del vocabulario geométrico. Por un lado, nos fijamos en cómo se han nombrado los elementos de un poliedro determinado. Por otro, centramos la atención en el poliedro al que corresponden los elementos de los que se está hablando. Por ejemplo, se hace notar que en {2} se nombran las caras laterales de las pirámides como ¨las caras de las pirámides¨ y que en {3} no se precisa los poliedros a los que se refieren las observaciones que se hacen.

Utilizar los modelos facilita ¨comunicar¨ porque mostramos en ellos los elementos de los que hablamos, por ello, a partir de la descripción teniéndolos como soporte se insiste en que cuando se verbalizan las relaciones además de señalarlos se nombren los elementos y el poliedro correspondiente. Los casquetes de los que se habla en {3} se añaden a cada cara del cubo y la cara pentagonal se refiere al dodecaedro. Se propone separar en el enunciado los dos tipos de poliedros que intervienen en él: los poliedros de partida y el poliedro obtenido. Se trata de que al trabajar con puzzles, además de establecer relaciones entre sólidos, se trabajen estos aspectos.

Las respuestas siguientes surgieron después de que para introducir la actividad que se iba a desarrollar en clase en este contexto de rigidez de formas hiciéramos notar que los armazones que se pueden construir con varillas y mecanismos de engarce en muchos casos no son estables, no son rígidos. Nos fijamos en que si construimos armazones de pirámides, se puede comprobar que las pirámides que tienen por base un triángulo sí que lo son; las pirámides que tienen por base un cuadrado, que son la base de una estructura que se utiliza con frecuencia, pueden fortalecerse mediante una diagonal en el cuadrado. De la misma manera las pirámides que tienen por base un pentágono se fortalecen añadiendo dos diagonales al pentágono para que quede compuesto de triángulos. A partir de esta introducción nos planteamos encontrar diferentes maneras de convertir en rígido el armazón del cubo. Se comenzó añadiendo diagonales a las caras y se decidió añadir sólo una diagonal por cada cara porque así ya quedaba triangularizada la estructura. Sólo algunos estudiantes consiguieron el tetraedro inscrito en el cubo. Aquí comienza la conversación entre 3 estudiantes que transcribimos a continuación:

{1}	E1: Vale. Yo convierto en rígido un armazón del cubo añadiendo una diagonal a cada cara. Pero a mi no me ha salido el tetraedro.	figura 6
{2}:	E2: Es que tienes que ponerlas de tres en 3. Apoya el cubo en un vértice. Desde el vértice de arriba salen 3. Mira a qué vértices llegan y desde éstos también tienen que salir 3. Al final quedan 3 vértices que tienen vértices y los otros 3 vértices opuestos [los señala en el modelo] que no tienen vértices. También puedes hacerlo mirando que cuando de un vértice no salen diagonales al dibujar una en las caras que se juntan en ese vértice, sale un triángulo.	figura 6
{3}	E1: Pero es que yo así con varillas no veo el tetraedro; no puedo imaginarlo.
{4}	E3: A mi también me resulta difícil. Tengo que poner el cubo apoyado en un vértice y así el tetraedro, aunque esté con líneas lo puedo imaginar.
{5}	E2: Es que para ver el modelo dentro del cubo y poder saber que es un tetraedro si sólo dibujo diagonales en las caras, tengo que ver el tetraedro apoyado en arista. Y yo eso ya lo veo bien porque cuando construimos el tetraedro vimos que también podía verse como dos triángulos y dos triángulos que se ponían como en cruz. Quedaba el tetraedro como apoyado en arista que es como queda dentro del cubo cuando el cubo se apoya en cara.	figura 7
{6}	P: Muestra el modelo de la figura y pide que se describa el modelo en términos de los elementos de los poliedros implicados.	figura 8
{7}	E1: Sí, es mucho mejor haber visto antes el tetraedro apoyado en arista. Si no, yo nunca lo hubiera reconocido ahí dentro. Y ahora con este modelo ya veo el tetraedro, las pirámides que se añaden a sus caras y el cubo que está como armazón de fuera.	figura 8
{8}	E3: Es que es también como el puzzle que vimos que al tetraedro le añadíamos pirámides y salía el cubo, pero ahora parece diferente. Allí tenía el tetraedro y obtenía el cubo y ahora parece que tengo el cubo y meto dentro el tetraedro.
{9}:	P: Sí, en las tareas de los puzzles las relaciones que estudiamos surgen generando sólidos partiendo de otros sólidos, con los que se establece la relación y agregando otros. Ahora, cuando estamos en el contexto de convertiir en rígidas algunas formas, las relaciones que se establecen entre los sólidos son relaciones de inscripción. En este caso, el tetraedro está inscrito en el cubo porque todos sus vértices están sobre vértices del cubo y no sobresalen. Intentar describir este modelo de pares de poliedros inscrito uno en otro en términos de los elementos de los poliedros implicados. Por ejemplo, se puede decir que las aristas del tetraedro (el poliedro inscrito) corresponden a diagonales de caras del cubo (el poliedro circunscrito).

En el apartado La construcción y ... ya hemos indicado que resulta más difícil identificar un sólido cuando se da el armazón que cuando se da el modelo. Este problema se agudiza cuando en modelos de pares de poliedros se da el armazón del poliedro inscrito en vez de presentar un modelo del mismo.

figura 9

Con el armazón es difícil delimitar las caras de los poliedros, y más aún si éstos están incluidos en otros. Como se expresa en {7} la dificultad se suaviza si previamente se han tratado los poliedros regulares en todas las posiciones (apoyados en cara, vértice y arista) y mostrando modelos de pares de poliedros inscrito uno en otro de manera que el poliedro inscrito se muestre con el modelo y el poliedro circunscrito con armazón. Cuando se tratan estas cuestiones en clase muchos estudiantes tienen que volver de nuevo a los puzzles o a encajar sólidos en modelos abiertos para inscribir un modelo en otro (como en la figura).

Resulta conveniente volver de nuevo a los puzzles. Si los estudiantes no lo hacen notar, como se ha hecho en {8}, puede hacerlo el profesor para así, después de haber mostrado modelos como en {6}, subrayar lo que se ha indicado en {9}.

Con las cuestiones que se plantean cuando se centra la atención en las estructuras que son estables y las que se deforman se obtienen algunos resultados ya establecidos a partir de tareas de puzzles y truncamientos que remarcan los milagros del “encaje” en el estudio de los sólidos. Permiten que se relacionen los sólidos entre ellos o con figuras planas (las que se obtienen como sección) y que se expresen estas relaciones de diferentes maneras y con mayor o menor precisión: Un cubo puede descomponerse en un tetraedro y 4 pirámides. Un tetraedro se puede inscribir en un cubo de manera que las aristas del tetraedro son diagonales de las caras del cubo: una por cada cara. Los 4 vértices del tetraedro están en 4 vértices del cubo que no son opuestos entre ellos. Son las caras del tetraedro las que se corresponden con los 4 vértices del cubo opuestos a los seleccionados para los vértices.

Extendiendo la situación, también se puede precisar cómo inscribir un cubo en un dodecaedro.

Partiendo del modelo de la figura, siguiendo pasos análogos a los descritos en {1} a {8} se puede establecer que un cubo puede inscribirse en un dodecaedro de manera que los 4 pares de vértices opuestos del cubo están sobre 4 pares de vértices opuestos del dodecaedro, las aristas del cubo corresponden a diagonales de caras del dodecaedro, hay una diagonal en cada cara y se juntan de 3 en 3 en cada vértice del cubo, y las caras caras del cubo se corresponden con los 3 pares de aristas del dodecaedro que forman rectángulos perpendiculares entre sí.

figura 10

Llegar a expresar con precisión estas relaciones conlleva dificultad para los estudiantes para maestro. Al trabajar en este contexto de las formas rígidas, al igual que en el contexto de los puzzles, además de al aspecto de relación de la geometría, se tiene que prestar atención especial al aspecto lingüístico. Para los estudiantes, elaborar los enunciados a partir de una tabla les facilita considerablemente enunciar de manera precisa estas relaciones. La tabla tiene dos columnas, como se muestra en la figura para el tetraedro inscrito en el cubo. En la primera columna, encabezada con el poliedro inscrito, se indican las características relativas a caras, vértices y aristas del poliedro inscrito y en la columna de la derecha, encabezada con el poliedro circunscrito, se indican los elementos del poliedro circunscrito con los que se corresponden.

Tetraedro

4 V-----------------
4 C-----------------
6 A-----------------

Cubo

Están sobre 4 V--------------------------
Se corresponden con los 4 V opuestos a los que tienen vértices ---------------------
Coinciden con 6 diagonales de caras (una por cada cara) ---------------------

Una vez construida la tabla resulta sencillo elaborar los enunciados de estas relaciones.

figura 11

Al introducir varillas en un cubo, juntando los vértices opuestos, o uniendo un vértice con todos los demás, se descompone al cubo en 6 y 3 pirámides respectivamente. Pero resulta mucho más sencillo imaginar las 6 ó 3 pirámides cuando se construye el modelo de ellas que cuando se tienen que identificar a partir de su armazón.

Este contexto puede ser muy adecuado para introducir ideas de los diferentes tipos de diagonales de los sólidos, de las que hemos hablado en el apartado Sobre los elementos de los sólidos. Introducidos estos elementos, se puede trabajar la verbalización de relaciones describiendo los modelos obtenidos al convertir en rígido el cubo de diferentes maneras. Usando tablas para facilitar expresar de manera precisa estas relaciones los estudiantes llegan a concluir: Cuando en cada cara del cubo se introduce una diagonal de cara, una por cada cara, de manera que se juntan de 3 en tres en cada vértice del cubo, se obtiene un tetraedro inscrito en un cubo de la manera como hemos descrito antes.

Cuando en un cubo se introducen las 4 diagonales del espacio, se descompone éste en 6 pirámides iguales cuyas bases son las caras del cubo, su altura, la mitad que la arista del cubo y sus aristas laterales la mitad que la diagonal del espacio del cubo.

Cuando en un cubo se introducen todas las diagonales (las diagonales de las caras y las diagonales del espacio) que salen de uno de sus vértices, se descompone el cubo en tres pirámides iguales cuyas bases son las caras del cubo, su altura coincide con la arista del cubo y sus aristas laterales son la arista del cubo, dos diagonales de las caras del cubo y la diagonal del espacio del cubo.

A los estudiantes para maestro y a los maestros en ejercicio que han participado en nuestras experimentaciones les ha fascinado los milagros del encaje en la geometría de los sólidos. Resulta muy efectivo para ello hacer un resumen con todas las relaciones que se han establecido que implican diferentes poliedros, que están expresadas de manera diferente o con mayor o menor precisión. Por ejemplo, Un tetraedro se puede inscribir en un cubo con los vértices del tetraedro en vértices del cubo. Un cubo puede descomponerse en un tetraedro y 4 pirámides. Un cubo se puede descomponer en tres (o seis) pirámides iguales. Seis pirámides rellenan un cubo y hacia afuera forman un rombododecaedro...

Estas observaciones conducen a plantearse nuevas cuestiones: ¿Podremos inscribir el tetraedro en el octaedro? ¿Y el cubo en el octaedro? En el apartado Características numéricas. Relaciones se trata esta cuestión pero desde un punto de vista diferente.

A los estudiantes para maestro que han colaborado en nuestro trabajo también les ha resultado muy interesante centrar la atención en los diferentes niveles en los que se puede desarrollar la actividad en este contexto de convertir en rígidas algunas estructuras que se deforman. Desde este punto de vista, lo que se destacaría del apartado es la actividad que se puede desarrollar al iniciar el estudio de la geometría y cuando ya se razona en términos de propiedades geométricas. Como hemos indicado en Guillén (2004), cuya referencia se encuentra en la sección Para conocer más, en un primer nivel los modelos están completamente construidos o lo muestra el profesor. Éste plantea cuestiones sobre los poliedros obtenidos. Las relaciones entre los poliedros implicados en un modelo o entre poliedros y elementos de la geometría plana son relaciones visuales. El lenguaje utilizado en las cuestiones es informal; nos apoyamos en los modelos concretos, colocados de una determinada manera. Ejemplos de cuestiones que podemos plantear son: ¿Con cuántas de estas pirámides se puede llenar el cubo? ¿Cómo se colocan las pirámides?, ¿Dónde queda el ápice? Señálalo en el modelo ¿Dónde queda la base? ¿Cómo son de altas estas pirámides? ¿Cómo son de largas las aristas? Señala los elementos en este cubo al que le hemos quitado una cara.

En el segundo nivel, al que corresponden las respuestas de estudiantes que hemos indicado aquí, pueden observarse y descubrirse las relaciones entre los elementos de los poliedros inmersos en un modelo. También pueden construirse algunos modelos precisos con ayuda del profesor.

En un tercer nivel, ya se puede comprender que en el cubo y en el dodecaedro el conjunto de diagonales de las caras está estructurado, de manera que al salir 3 por cada vértice del cubo se producen dos tetraedros inscritos en él y al salir 3 por cada vértice del dodecaedro se producen 5 cubos inscritos en él.

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