Ahondando en la descripción y la clasificación

Modelos con varios poliedros. Relaciones y construcción

T-9

a) Intentar convertir en rígido el armazón del cubo introduciendo varillas que juntan un vértice con todos los que no son vecinos a él (no están unidos con él por una arista) y que representan diagonales del sólido y de la superficie.

Para los sólidos en los que se ha descompuesto el cubo pedir que se indique la forma de las caras, la familia a la que pertenecen, cuál es su base, su altura y a qué elementos del cubo corresponden las diferentes aristas.

Pedir que se construyan estas pirámides.

b) Intentar convertir el armazón del cubo en rígido introduciendo varillas que juntan pares de vértices opuestos del cubo y que representan las diagonales del espacio del cubo. Plantear la actividad anterior para los sólidos que se obtienen con esta descomposición del cubo.

c) Intentar convertir el armazón del cubo en rígido introduciendo una varilla por cada cara del cubo, que representa una diagonal de la cara, de manera que las varillas (o las diagonales que representan) se junten de 3 en 3 en cada uno de los 4 vértices del cubo seleccionados. Pedir que se identifique el sólido que ha quedado inscrito en el cubo y que se indiquen los elementos del cubo con el que se corresponden los vértices, las caras y las aristas del sólido inscrito en él.

Pedir que se determine la longitud de la arista del sólido inscrito a partir de la del cubo y que se construya el modelo de ambos poliedros.

d) Intentar convertir en rígido el dodecaedro introduciendo una varilla por cada cara del dodecaedro, que representa una diagonal de la cara, de manera que las diagonales se junten de 3 en 3 en cada uno de los 8 vértices del dodecaedro seleccionados. Plantear la actividad anterior para el modelo formado por estos dos poliedros.

Comentarios

La tarea T-9. La búsqueda de relaciones entre poliedros y entre sus elementos. En las actividades de la tarea T-9 el intento de obtener modelos rígidos va a proporcionar actividad geométrica. Hacemos notar que algunos modelos no son rígidos. Para convertirlos en rígidos unimos los vértices del sólido con varillas que representan las diagonales de las caras, o del espacio, del sólido y proponemos algunos problemas de relación, descripción o construcción de los sólidos obtenidos en términos de los elementos de los poliedros implicados. En la opción ¨Actuando, creando y produciendo¨ ya hemos planteado tareas de identificación y de relación. Pero ahora las relaciones entre los modelos implicados, o entre sus elementos, ya se expresan de manera precisa en términos de propiedades geométricas en vez de con propiedades visuales, y además determinamos también la relación que existe entre las longitudes de las aristas de los poliedros implicados.

Si los estudiantes no han resuelto las actividades que hemos diseñado en un contexto de Puzzles en la opción ¨Afianzando y soltando¨, el profesor puede ayudarse de modelos de estos poliedros, pues como ya hemos indicado ahí, el reconocer los poliedros que forman estos modelos a partir del armazón exige de una gran visión espacial. En este caso, aconsejamos que el profesor plantee las actividades sobre puzzles y descomposiciones que hemos propuesto en esta opción, para que los estudiantes puedan llegar a descubrir y enunciar la gran variedad de relaciones geométricas que se pueden establecer a partir de los modelos que se construyen en la tarea T-9. Remitimos también a los apartados ¨Rompiendo¨ las ideas de cara y... y a la opción Puzzles y estructuras rígidas. Relaciones, del apartado ¿Qué relaciones de establecen? de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? En estos apartados se describen los puzzles y modelos a los que se hace referencia en las actividades de la tarea T-9 y se muestra cómo se ha desarrollado actividad matemática a partir de ellos.

Las actividades T-9a y T-9b remarcan que el cubo puede descomponerse en 3 ó 6 pirámides iguales. Las actividades T-9c y T-9d centran la atención en que un tetraedro puede inscribirse en un cubo y un cubo en un dodecaedro de manera que los vértices y las caras opuestas a éstos del tetraedro yacen o se corresponden con vértices opuestos del cubo y los vértices del cubo se corresponden con vértices opuestos del dodecaedro; las aristas del tetraedro o del cubo yacen sobre diagonales de las caras del cubo o del dodecaedro respectivamente y las caras opuestas del cubo se corresponden con aristas opuestas del dodecaedro.

Con estas actividades se puede llamar la atención sobre que el conjunto de las diagonales de las caras del cubo o del dodecaedro está estructurado; que si introducimos todas las diagonales de las caras de un cubo, y todas las de un dodecaedro, al considerar una por cada cara, grupos de 6 diagonales de las caras del cubo forman un tetraedro, y grupos de 12 diagonales de las caras del dodecaedro forman un cubo; se puede hacer ver que tenemos 2 tetraedros en un cubo y 5 cubos en un dodecaedro, aunque para ello puede que se tengan que visualizar cada tetraedro, o cada cubo, por separado; incluso se puede mostrar que cada uno de ellos surge completo al elegir como punto de partida una cara del cubo, o del dodecaedro, y en ella cada una de las diagonales de esta cara; porque ya elegida ésta, el resto de las diagonales de las caras del modelo considerado queda fijado.

La construcción de los modelos: Relación entre la medida de las aristas. En las actividades que incluye la tarea T-9 también se pide a los estudiantes que construyan los modelos, para lo que se tiene que hallar la relación entre la medida de las aristas de los poliedros implicados.

Algunos estudiantes puede que resuelvan esta actividad construyendo el modelo, o armazón, del poliedro circunscrito y estimando con varillas el tamaño de la arista del modelo inscrito. Otros, pueden determinar la medida de la arista del poliedro inscrito, a partir de la arista del poliedro circunscrito aplicando el teorema de Pitágoras o, para la actividad T-9d, el teorema del coseno. En este caso el profesor tendrá que dirigir la tarea y añadir más cuestiones o pistas para que, por una parte, los estudiantes lleguen a delimitar los elementos que forman el triángulo adecuado en cada caso, y por otra, determinen la medida de los elementos del triángulo seleccionado que son necesarios para hallar el elemento buscado.

Por ejemplo, para hallar la diagonal del espacio del cubo, conviene seleccionar el triángulo rectángulo formado por una arista del cubo, la diagonal de una cara y la diagonal del espacio. . Para hallar las aristas del cubo inscrito en el dodecaedro (que corresponde a la diagonal de un pentágono regular) hay que seleccionar el triángulo formado por la diagonal de un pentágono regular y dos de sus lados.

Las experimentaciones que hemos realizado nos han mostrado que si bien la mayoría de los estudiantes de Magisterio pueden aplicar el teorema de Pitágoras, muy pocos pueden aplicar el teorema del coseno.

Cuando se aborde esta tarea en clase, además de apuntar la fórmula del teorema del coseno para triángulos isósceles, habrá que explicar detenidamente que la relación entre las aristas del dodecaedro y del cubo inscrito pueden hallarse aplicando este teorema: Dado se cumple que a2 = 2b2 (1- cosa).

Habrá que precisar que el triángulo que forman 2 aristas del dodecaedro y una arista del cubo inscrito es isósceles, y que al ser el pentágono de las caras del dodecaedro un pentágono regular, se conoce la medida de su ángulo (mide 108°).

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