"Rompiendo las ideas de cara, vértice y arista

Las dos conversaciones que transcribimos en este apartado han tenido lugar entre niños de 12 años dirigidos por su profesora (la autora de esta página) en sesiones laboratorio desarrolladas en el marco de un Proyecto de investigación o entre estudiantes para maestro en el contexto de una clase de Laboratorio de Matemáticas. En las transcripciones, P hace referencia a la profesora y los estudiantes los hemos nombrado con E1, E2, E3 y E4

La actividad que se va a mostrar, al igual que la del apartado La construcción y..., se desarrolla en un contexto de construcción. Ahora bien, mientras que en este apartado se consideran modelos y armazones de poliedros con material comercializado, aquí se construyen modelos o armazones de pares de poliedros intersectados y se trabaja en un contexto de puzzles.

Las formas geométricas a partir de las que se desarrolla la actividad son las de la figura. Corresponden a la estrella octangular y al modelo compuesto del cubo y octaedro.

figura 1

La estrella octangular puede verse como la intersección de dos tetraedros iguales y el modelo compuesto del cubo y octaedro corresponde a la intersección de estos dos poliedros.

Estos modelos de pares de poliedros intersectados también se pueden ver como un agregado de varios sólidos. Por ejemplo, como se muestra en la figura siguiente, la estrella octangular está compuesta de un octaedro y 8 tetraedros, de manera que todos los sólidos que forman la estrella se forman con los mismos triángulos; las aristas de todos ellos tienen la misma longitud.

figura 2

Y también puede verse como un tetraedro al que se ha añadido a cada una de sus caras un tetraedro que tiene una arista que mide la mitad que la del tetraedro de partida.

El modelo compuesto intersección del cubo y el octaedro puede obtenerse cuando al cubo se le añaden pirámides cuadradas iguales a cada una de sus caras. Las caras laterales de estas pirámides son triángulos equiláteros. El lado de estos triángulos puede obtenerse a partir de la arista del cubo, aplicando Pitágoras, ya que corresponde a la distancia entre los puntos medios de lados vecinos (véase la figura). Este lado corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden la mitad que la arista del cubo.

figura 3

Cabe subrayar la actividad que se puede desarrollar en clase considerando estos modelos, al establecer relaciones de diferente tipo entre diferentes sólidos. Esto es, se pueden verbalizar relaciones que implican varios poliedros, con lo que para verbalizarlas se han de precisar los poliedros que están implicados, la manera en que están colocados, las relaciones que existen entre los elementos de los poliedros que intervienen, la forma geométrica que se obtiene....

Por otro lado, al igual que se hace en "Ideas de poliedro y..." del apartado La construcción y..., la actividad se puede dirigir para mostrar cómo se revisan las ideas de algunos conceptos, cuando aparecen objetos que nos obligan a ello. Al observar que algunos modelos agregados de sólidos pueden verse también como pares de modelos intersectados, puede aparecer conflicto entre las ideas que se tenían hasta entonces de cara, vértice y arista y la que se desprende de esta otra manera de ver el modelo. En esta actividad nos centramos en este apartado. Vamos a mostrar la actividad que hemos desarrollado en algunas sesiones con niños de 12 años o con estudiantes para maestro cuando la estrella octangular o el modelo compuesto del cubo y octaedro se consideran en clase como una situación soporte para desarrollar actividad.

En las experimentaciones realizadas con niños de 12 años, cuando preguntamos a dos de ellos si la estrella octangular y el compuesto del cubo y octaedro correspondían cada uno de ellos a modelos de un poliedro o de varios, y les pedimos también que si los veían como varios poliedros, dijeran cuántos, obtuvimos las siguientes respuestas. La transcripción es textual, tal y como ellos la habían escrito en el papel.

{1} E1: La estrella octangular sí [se refiere a que sí que es poliedro], porque el espacio está delimitado por polígonos. Podría verse como 2 pirámides juntas que no las podemos sacar u 8 pirámides.
{2} E2: La estrella esa sí, porque es como una bipirámide pero con más pirámides. Son varios poliedros juntos. Son 8 pirámides equiláteros.
  Respecto al compuesto del cubo y el octaedro respondieron:
{3} E1: Varios: 1.) Un cubo y una bipirámide cuadrangular o 2.) 14 pirámides 8 triangulares y 6 cuadrangulares. Y como un cubo y un octaedro.
{4} E2: Varios. 7 poliedros 6 pirámides cuadradas de base cuadrada y un cubo.

Cabe comentar la influencia que tienen las estrategias y los procedimientos utilizados para obtener o generar modelos de sólidos en las ideas que se forman de ellos. La idea que se deduce de los puzzles es que estos modelos están compuestos de diferentes espacios encerrados (se les llama celdillas.). Estas celdillas son las que se añaden a las caras de un poliedro para obtener otro. En {2}y {4} se refleja esta idea, y en {1} y {3}se han contemplado diferentes maneras de verlos: como agregados de poliedros y como pares de modelos intersectados.

Sin embargo, cuando la situación se planteó con estudiantes para maestro, ninguno de ellos los describió como pares de poliedros intersectados hasta que el profesor dirigió hacia ello.

{1} E1: El modelo son ocho tetraedros iguales juntos [se refiere a la estrella octangular de la figura].
figura 4
{2} E2: Te has dejado el octaedro, al que le pegas los tetraedros.
{3} E3: No. Ese no se ve. Bueno, en éste transparente se ve, pero…
{4} E2: Sí.. pero... Recuerda las actividades de los puzzles. Pegando a caras del de ocho triángulos sale éste [Se refiere a la estrella octangular] con picos.
{5} E1: Te has dejado el octaedro, al que le pegas los tetraedros.
{6} E2: Pues es como con las bipirámides, las bases se quitan pero si tienes que decir cómo lo haces pues tienes que decir el de ocho caras triángulos. Así es más fácil.
{7} E1: Ponemos, o imaginamos que lo ponemos, pero mejor ponerlo y está ahí y luego imaginas que lo quitas para que sólo quede un hueco.
{8} E2: Pero yo sigo pensando en que hay que decir el sólido de ocho triángulos también. En las bipirámides dices que son dos pirámides y que la base no es cara. Pues aquí hay que decir que son ocho tetraedros que se añaden a las caras del ¿octaedro? y hay que decir también que las caras no son, que sólo tiene que quedar un hueco.
{9} E1: Sí, así queda más claro cómo van a estar los picos. Porque también podría ponerlos de otra manera.

En {1}a {9} puede notarse el peso que tenía en estos estudiantes el atributo de poliedro que se ha subrayado en "Relaciones entre antiprismas, pirámides y...", del apartado La construcción y... En este apartado incluimos una discusión en la que a partir de las bipirámides (formadas por las caras laterales de dos pirámides que se juntan por sus bases) se incide en que en los poliedros sólo hay un espacio interior. Estos enunciados muestran que la idea de poliedro que prevalece es la que proviene de las familias de sólidos que se han estudiado; la que ve un poliedro como una superficie que encierra perfectamente un único espacio.

{10} P: ¿Podéis ver la estrella octogonal de otra manera ?
{11} E1: Pues no se...
{12} E2: Aquí se ha construído [se refiere a uno de los modelos] con un tetraedro y se le han añadido tetraedros a las caras. A todas ellas.
{13} E1: Pero es que entonces también se puede ver como dos tetraedros. Aquí se ve muy bien porque están de distinto color.

figura 5
{14} P: ¿Cuántas caras tiene pues la estrella octogonal?
{15} E1: Uf! Pues un montón [señala los triángulos pequeños]. A ver... tengo 3 por cada uno del octaedro. Tengo 24 pues el octaedro tiene 8 caras.
{16} E2: Yo ahora no lo sé. Antes sabía que tenía ... los que dice ella. Pero es que, si es dos tetraedros... Pues tiene que tener 8 caras. Pero no... eso no puede ser. Las caras son los triangulitos pequeños, para que haya un espacio. Otra cosa es que yo lo vea también como dos tetraedros.
{17} E1: Pues no se... Porque mira... los han puesto del mismo color. Aquí parece que tenga 8 caras porque mira, estos que están del mismo color forman una cara del tetraedro. Y estos igual...
{18} E2: Y además está todo plano. Es como cuando construimos con los polígonos y vimos que todo lo que estaba plano era una cara...
{19} E1: Y si miramos el nombre. Se llama estrella octogonal.
{20} E2: Pero eso será porque tiene 8 picos. Bueno, no se... Pero ahora creo que serán 8 caras. Pero no... ¿Cómo va a ser eso cara ...? y se cortan entre sí... A ver [se dirige a la profesora] ¿Cuántas caras tiene, 24 u 8?
{21} P Depende de lo que queramos mantener. Si mantenemos que lo que queda en el mismo plano pertenece a la misma cara, entonces, ¿Cuántas caras tendría la estrella octangular?
{22} E1 Eso ya lo ha dicho ella, porque está del mismo color se ve muy bien que estos tres triángulos que se ven y el de dentro, que no se ve forman la cara de uno de los tetraedros. ¿Entonces tiene 8 caras? Pues yo eso lo veo rarírimo. Nunca lo había visto así.
{23} P Si quieres quedarte con la idea de poliedro que tenías hasta ahora, donde se pone como condición que se tiene que delimitar un único espacio y las caras no tienen que intersectar entre sí en segmentos que no sean aristas, pues entonces, tendrías que responder que la estrella octangular tiene 24 caras.
{24} E2 Pero ahora sí que me has liado. No se si son 8 o son 24. ¿Qué te tengo que poner si me lo preguntas?

En {10}a {24} se muestra, por un lado, la ventaja de haber revisado en el contexto de la construcción con material comercializado la idea de cara y arista (véase el protocolo 3: Sobre las representaciones físicas, del apartado Prismas: "Ideas" y propiedades y disponer de modelos de la estrella octangular en las que lo que pertenece a la misma cara tenga el mismo color. Ello se constata en {17}, {18} y {22} y se repite después en otras ocasiones en la conversación que continúa (véase {26}y {31}). Por otro lado, estos enunciados dan cuenta del peso que tiene en los estudiantes la imagen de poliedro que se han formado con los ejemplos que se han visto hasta entonces y las resistencias que ofrecen para cambiarla porque, como dice uno de ellos en {21}, ¨eso se ve rarísimo¨.

{25} P:

Pues que depende de cómo la veamos. La estrella octangular es un modelo que nos proporciona una situación muy interesante para discutir sobre las ideas que tenemos para algunos conceptos, en particular para cara. Estas ideas, las vamos precisando a medida que aparecen objetos que provocan discusión. Si respondes que la estrella octangular son dos tetraedros intersectados, que tiene 8 caras, con forma de triángulo, que están formadas por los 4 triángulos de los picos que quedan en el mismo plano, has extendido la idea que tenías de cara de un poliedro y has incluido en tu imagen de poliedro posibilidades para juntar las caras que antes no tenías.

¿Y cuántas aristas va a tener? ¿Cuántos vértices?
{26} E1: Pues lo mismo. Estas dos están en recto, son una. Todo lo que quede en recto será una arista. Es lo mismo que vimos cuando alargábamos las aristas poniendo bolitas que juntaban las varillas.

figura 6
{27} E2: Y esto no son vértices. Sólo son vértices los picos, los vértices de los tetraedros que forman la estrella octangular.
{28} P: ¿Qué ideas daríais ahora para cara, vértice y arista?
{29} E1: Pues que todo lo que queda plano o recto es uno y sólo son vértices los picos.
{30} E2: La cara, como antes, es un trozo de superficie del sólido. Pero ahora hay que decir también que todo lo que queda plano es una cara. La arista es donde se juntan dos caras, pero todo lo que queda en la misma recta es una arista. Y los vértices... Ahí se juntan aristas pero no de cortan como en éstos [señala los puntos de corte de las aristas].
{31} E1: Pues eso, como con los armazones y las bolitas. Dijimos que vértices no era cada bolita sino donde se juntan las aristas y no continúan en recto.
{32} E1: Claro! Como ahora la cara es el triángulo grande, las aristas son las aristas de los tetraedros grandes, que es donde se juntan las caras de ahora. Cuando las caras las consideramos los triángulos pequeños, las aristas son las de las pirámides, porque es donde se juntan las caras en este caso.

De los enunciados {25}a {31} queremos subrayar los comentarios que hace el profesor en {25}donde muestra la concepción que se tiene sobre la enseñanza de conceptos. Éstos no se introducen con una definición sino con eejemplos y no ejemplos y se van verbalizando ¨ideas¨ para ellos que se van perfilando y precisando a medida que aparecen objetos que obligan a ello. También cabe centrar la atención en las ideas que expresan los estudiantes en {30} y {31} para cara, vértice y arista y en la observación que hace E1 en {32}.

La sesión continuó considerando el modelo compuesto del cubo y octaedro y realizando las mismas cuestiones que para la estrella octangular. Así, además de volver a revisar las ideas de caras, vértices y aristas de un poliedro, se establecieron relaciones entre los sólidos que formaban el modelo y el modelo obtenido. Se expresó que el modelo compuesto puede verse como intersección del cubo y el octaedro y también de otras dos maneras: como un cubo al que se le añaden pirámides cuadradas iguales a cada una de sus caras o como un octaedro al que se añaden pirámides triangulares.

figura 7

Se trató también la tarea de la construcción de los modelos. Se observó que la mitad de la arista del octaedro coincide con el segmento que une los puntos medios de los lados vecinos de la cara del cubo. Se hizo notar también que este segmento se puede conocer a partir de la medida de la arista del cubo. Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo que corresponde a media cara del cubo se encontraron las relaciones numéricas de las aristas de los poliedros implicados en los modelos. Conocida esta relación entre las aristas, se plantearon otro tipo de problemas; unos se referían al dibujo de desarrollos planos de las piezas, otros eran problemas prácticos, ligados a la destreza manual que se tiene y otros eran problemas estéticos cuyas decisiones repercuten en el modelo final obtenido.

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