Ahondando en la descripción y la clasificación

Descripción de prismas, antiprismas, y...

T-5

Presentar modelos de prismas (antiprismas, pirámides, bipirámides).

a) Cuestionar el número de caras, de vértices y de aristas. Pedir que se señale la estrategia que se ha utilizado para hallar estos números y mostrar con un ejemplo que una buena manera de contar es separando el modelo en pisos y contar los elementos de cada piso.

Para los antiprismas, pedir que vuelvan a hallar estos números utilizando una manera de contar basada en otra estrategia de construcción.

b) Indicar el número de lados del polígono de la(s) base(s) y la familia a la que pertenece (se tienen modelos de alguno de ellos pero no de otros), y cuestionar el número de elementos (caras, vértices y aristas) que tiene el modelo correspondiente. Pedir también que se explique cómo se ha llegado al resultado.

c) Pedir que se determine el número de caras, vértices y aristas de un prisma, un antiprisma, una pirámide y una bipirámide, n-agonal. Pedir también que se explique cómo se ha contado para llegar al resultado y que se simbolice la relación encontrada.

T-6

a) Mostrar un prisma hexagonal y pedir que se halle el número de ángulos de las caras que tiene, el número de ángulos diedros y el número de ángulos de los vértices.

b) Pedir que se complete la tabla siguiente para prismas triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.

c) Pedir que se comparen los números que hay en las diferentes columnas de la tabla y que se establezcan y formulen relaciones entre ellos.

d) Pedir que se utilicen varios antiprismas, pirámides y bipirámides para verificar si la relación encontrada para los prismas entre el número de ángulos diedros y el número de aristas, y entre el número de ángulos de los vértices y el número de vértices, se verifica también en estas familias de poliedros.

e) Pedir que se rellene la siguiente tabla y que se enuncien y simbolicen las relaciones que hay entre el número de ángulos diedros, o el número de ángulos de los vértices, y el número de lados del polígono de las bases de la familia correspondiente.

T-7

a) Pedir que se complete la tabla siguiente. Apuntar que para hallar el número de ángulos de las caras de los diferentes ejemplos de estas familias se descomponga el ejemplo en pisos o en "trozos" y que se cuente los ángulos de las caras por trozos o por pisos.

b) Preguntar de qué depende el número de ángulos de las caras de un prisma (antiprisma, pirámide, bipirámide) y pedir que expresen y simbolicen las relaciones correspondientes. Apuntar que para hallar el número de ángulos de las caras de un prisma n-agonal cuenten los ángulos de las caras por trozos o por pisos y que luego generalicen los elementos de cada nivel.

c) Pedir que se utilicen otros procedimientos para determinar el número de ángulos de las caras de un prisma (antiprisma, pirámide, bipirámide) n-agonal. Mostrar con un ejemplo que nos podemos fijar en los vértices y en los ángulos de las caras que se juntan en cada uno de ellos, podemos separar los vértices por pisos y así contar los ángulos de las caras de cada piso.

T-8

a) Pedir que se dibujen todas las diagonales de los polígonos de las bases de dos prismas hexagonales, uno cóncavo y otro convexo. Luego pedir que se dibujen las diagonales de las caras laterales.

Para cada prisma pedir que se cuenten todas las diagonales de las caras que tiene.

b) Pedir que se rellene la tabla siguiente:

c) En un modelo abierto de un cubo (ortoedro, romboedro) pedir que se introduzcan las varillas que pueden representar las diagonales del espacio de ese modelo. Cuestionar cuántas diagonales del espacio salen de cada uno de los vértices y cuántas diagonales del espacio tiene el cubo (ortoedro, romboedro). Preguntar también si las diagonales del espacio del sólido correspondiente son iguales o no y cuántas medidas diferentes encontramos para ellas.

d) Pedir que en modelos abiertos se introduzcan todas las varillas que pueden representar las diagonales del espacio de los modelos considerados y que se rellene la tabla siguiente:

e) Pedir que en modelos abiertos de ejemplos de prismas (antiprismas) se ajusten varillas que representen las diagonales del espacio del sólido correspondiente, que se midan y se compare su tamaño con la de la diagonal de la base con la que se corresponde (se forma un triángulo con ambas diagonales y una arista lateral del sólido).

Comentarios

Las tareas T-5 a T-8 informan sobre las ideas que se forman los estudiantes sobre los conceptos implicados y sobre la medida de ellos, y al igual que la tarea T-2, tienen que ver con la descripción de los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides.

Estas tareas permiten, además de que se elaboren listas de propiedades para estas familias de sólidos, que se centre la atención en lo que se puede extender de la familia de los prismas a las otras familias de sólidos (antiprismas, pirámides y bipirámides), en lo que los estudiantes extienden y en cómo lo hacen. En particular, aconsejamos que al abordar estas tareas en clase se preste atención a la propiedad de los prismas, las aristas laterales son iguales, y observar si algunos estudiantes la asocian (como ha ocurrido en nuestras experimentaciones) a los antiprismas, pirámides y bipirámides.

Por otra parte, estas tareas pueden utilizarse para evaluar cómo adaptan los estudiantes los procedimientos utilizados en los prismas para conjeturar y demostrar las fórmulas que dan el número de elementos de un determinado tipo (C, V, A, aC, ad, ?V, dC y dE) para resolver estos mismos problemas en la familia dada.

La tarea T-5. Sobre el número de caras, vértices y aristas. Las actividades que incluye esta tarea se refieren al número de caras, vértices y aristas de un prisma, antiprisma, pirámide o bipirámide concreta, y de un caso general. Remitimos al apartado ¿Qué propiedades cumplen? donde se muestra cómo se ha desarrollado esta actividad para los prismas con niños de 12 años en el contexto de clases laboratorio y con estudiantes para maestro.

La actividad T-5a, que ya se ha abordado como tarea en otras opciones de este apartado tiene como propósito, por un lado, recordar la conveniencia de contar de manera estructurada y, por otro, remarcar que las diferentes estrategias de construcción nos llevan a utilizar diferentes procedimientos para contar. Utilizamos la familia de los antiprismas para ello. En T-5a se pretende que los antiprismas se descompongan en una cinta de triángulos y dos polígonos, o en dos casquetes que se acoplan, formados por un polígono bordeado de triángulos.

En la actividad T-5b, para dirigir la actividad podemos plantear las cuestiones siguientes: ¿Cuántas caras tiene un prisma cuya base tiene 20 lados? ¿Cuántos vértices? ¿Cuántas aristas? Puede ser que, para algunos estudiantes (especialmente los niños), en los modelos para los que determinar estos números conlleva más dificultad (especialmente para hallar el número de caras o de aristas de un antiprisma, o para modelos en los que el polígono de las bases tiene muchos lados) se tengan que introducir otras preguntas que dirijan el razonamiento y que lleven al resultado. Por ejemplo, si al preguntar por el número de aristas de una pirámide cuyo polígono de la base tiene 20 lados, los niños no llegan al resultado, se puede continuar de la siguiente manera: ¿Cuántas aristas tiene en la base? Vamos a ver... (se muestra el modelo de una pirámide cuadrada) si el polígono de la base tiene 4 lados, ¿cuántas aristas tienes en la base? ¿Cuántas laterales? ¿Y en total?. Si el polígono de la base tiene 6 lados (se muestra un modelo de una pirámide hexagonal), ¿cuántas tiene en la base? ¿Cuántas laterales? ¿Y en total? Si el polígono de la base tiene 20 lados, ¿cuántas tienes en la base? ¿Cuántas laterales? ¿Cuántas en total?

Con la actividad T-5c los estudiantes abordan un tipo de generalización: reemplazan una constante por una variable. Se pasa de un elemento cuyo polígono de la base tiene un número concreto de lados a otro, cuyo polígono de la base tiene n lados. Además, tienen que simbolizar el resultado, o expresarlo verbalmente, y para diferentes familias. Por ejemplo, para un antiprisma n-agonal, el número de caras se obtiene multiplicando n por dos y sumando 2 y se simboliza así: 2n+2. Se formula de la siguiente manera: "Se duplica el número de lados y se añade 2".

Fielker (1979, pp. 127-128) respecto a este tipo de generalización apunta:

El hacer hipótesis en geometría a veces se ve en términos numéricos. Es posible que los niños a veces revelen hipótesis incorrectas, pero es importante que tengan confianza para hacerlas y para reconocer que son incorrectas y puedan hacer algo para corregirlas, aunque necesiten para ello alguna ayuda del maestro.

Si algún estudiante no está preparado para dar las respuestas en términos de n, o para emitir enunciados simbólicos de esta naturaleza, hay que volver a los ejemplos concretos y a las preguntas como las que hemos indicado antes, que cuestionan resultados parciales, por pisos, o por casquetes, como pasos previos para cuestionarlo para n. De lo que se trata también es de que los estudiantes tengan la oportunidad de dar expresiones verbales en torno a la expresión simbólica correspondiente.

En las experimentaciones que hemos realizado hemos verificado que cuando planteamos cuestiones para determinar el número de caras, de vértices y de aristas, de un sólido, a partir del número de lados del polígono de la base, determinar el número de caras y de aristas de un antiprisma conlleva más dificultad para los estudiantes que determinar estos números, o el número de vértices, para las restantes familias. También se observan diferencias individuales respecto a la capacidad para simbolizar y para operar con n dependiendo del grado de dominio que se tiene de las características asociadas al nivel 2. Una vez que ya se ha trabajado la manera de establecer las fórmulas para las caras, los vértices y aristas de estas familias, mientras que algunos estudiantes no presentan dificultad para contar los elementos de todas las familias de manera estructurada, pueden generalizar sin necesidad de considerar previamente casos particulares y no tienen ninguna dificultad en operar con n, hay estudiantes que razonan en términos de propiedades geométricas y no manifiestan tanto dominio de la generalización. Estos estudiantes también cuentan de manera estructurada para todas las familias y operan perfectamente con n; aunque sus respuestas no son tan rápidas como las de los anteriores y necesitan de ejemplos concretos en los que n es pequeño para poder responder para un n mayor, o en general. Para determinar el número de caras y de aristas de los antiprismas suelen tener dificultades, que las superan una vez que consideran casos concretos.

También hay estudiantes que hallan perfectamente los números para ejemplos concretos de estas familias pero tienen dificultad para operar con n. Por ejemplo, en las respuestas que indicamos a continuación de una niña de 12 años, al sumar 2 + n lo simboliza como nn; nx2+2 lo simboliza como nn, n + 1 como 1n; n + 2 como 3nnn.

Pirámides

1) Nº de vértices = 5+1 =6. El polígono de la base 5 lados; Nº de vértices = 25+1 =26. El polígono de la base 25 lados; Nº de vértices = n+1 =1. El polígono de la base n lados;

2) Nº de aristas = 5+5 =10. El polígono de la base 5 lados; Nº de aristas = 25+25 =50. polígono base 25 lados; Nº de aristas = n+n=2n; polígono base= n;

3) Polígono base = n; Nº de caras= n+1 = 1n.

Bipirámides

1) Vértices. Polig. base = 5 lados, n lados; 5+ 2 = 7; n + 2 = 3nnn.

2) Aristas = Polig. Base = 5 lados, n lados. 5 x 3 = 15; n x 3 = 3n.

3) Caras. Polig base = 5 lados, n lados. 5 x 2 = 10; n x 2 = 2n.

Cabe comentar que esta niña había trabajado previamente la construcción de ejemplos con material comercializado y había expresado ¨ideas¨ para las familias que surgían del procedimiento de construcción, como se relata en el apartado La construcción y ... de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? Las propiedades que se expresaron en este contexto de construcción relativas a la disposición de los elementos podía usarlas para hallar los elementos, aunque no pudiera simbolizarlas correctamente en términos de n. Cuando le preguntamos por cada operación que hacía para hallar los números para el antiprisma concreto y que cómo se podría hallar ese número si el antiprisma tuviera como base un polígono de n lados, respondió:

Para las aristas hay que sumar 4 veces el número de lados del polígono de la base, por eso la he puesto 4 veces. Yo lo he hecho primero 2 de las bases y luego las de arriba que salen así de los vértices, pero es ponerlas 2 veces también; por eso es 4 veces.

Los vértices, hay que multiplicar por 2 por los de arriba y los de abajo.

Las caras al final hay que sumar 2 que son las bases.

Hay triángulos boca arriba y cara abajo así... salen de una base y de la otra por eso están por 2.

Estos estudiantes pueden llegar a comprender, cuando se dirige la atención a ello, que los números se pueden obtener en dos pasos: primero se cuenta el número de elementos que cambia cuando cambia el número de lados del polígono de las bases (por ejemplo, para hallar el número de caras se halla el número de caras laterales ya que este número depende del número de lados del polígono de la base), número que vendrá dado en términos de n porque depende del ejemplo. Después se ha de añadir el número que hace referencia a las caras o vértices que no se han contado aún; número que se puede hallar fácilmente (por ejemplo, para hallar el número de caras, este número se refiere a que hay 2 bases), que no cambia en los diferentes ejemplos, y que por tanto no hay que indicarlo en términos de n.

También cabe comentar las respuestas de otros estudiantes que no pueden resolver esta actividad en términos de n a ningún nivel. Para responder para un elemento concreto de estas familias del que no disponen del modelo, necesitan más ayuda que los otros niños. No pueden generalizar ni expresar en términos de n el número de aristas de los elementos de ninguna de estas familias y además no encuentran sentido a que se plantee este problema para n. Cuando preguntamos a uno de estos estudiantes por el número de aristas de la base de una pirámide si en ésta tenía un polígono de n lados, respondió: "¿Y cuánto es n?". Consideramos varios casos particulares en los que n aumentaba progresivamente. Para cada caso le pedíamos que contara los elementos de la base, luego los laterales y después le preguntábamos por el total. Cuando después cuestionamos el número de aristas que tenía una pirámide en la base y el número de aristas laterales, si el polígono de la base tenía n lados, en ambos casos respondió que n, pero al pedirle el número total, no supo operar con las n y respondió que n.

Los comentarios del párrafo anterior llevan de nuevo a que tiene que ser el profesor el que decida las sugerencias que tiene que apuntar a los diferentes estudiantes para dirigir la actividad.

Las tareas T-6 a T-8. Sobre el número de los diferentes tipos de ángulos y de diagonales de los sólidos. Estas tareas abordan el problema de responder a la pregunta ¿cuántos? para diferentes elementos (diagonales, ángulos), para representantes generales de diferentes familias (prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides, n-agonales) y nos movemos en el plano y en el espacio. Así pues, con estas actividades trabajamos diferentes tipos de generalización. Como indica Fielker (1979, p. 113), "la idea de generalización que está implicada en estas actividades, trabaja de distintas maneras según lo que uno varíe". Aquí, en unas actividades variamos el número de lados del polígono de la(s) base(s) y generalizamos para un polígono de n lados; en otras variamos la familia a la que pertenecen los sólidos; pueden ser prismas, antiprismas, pirámides, bipirámides. En otras variamos la dimensión del espacio en el que operamos. Por ejemplo, unas veces planteamos el determinar las diagonales de las caras y otras las diagonales del sólido.

Con todas las preguntas sobre ¿cuántos? que planteamos, pretendemos que se llegue a concluir que el número que nos piden, depende del número de lados o de vértices del polígono de las bases (independientemente de la forma de éste) y de la familia del sólido correspondiente. Intentamos que, para cada familia, los estudiantes puedan establecer una correspondencia entre el número de vértices de este polígono y el número que se nos pide en la pregunta en cuestión.

En las actividades de otras opciones ya se han introducido los diferentes tipos de ángulos y de diagonales. Con estas actividades resulta conveniente enfatizar de nuevo que como en los sólidos hay ángulos y diagonales de varios tipos, cuando se habla de ángulos o de diagonales referidos a un sólido, o de propiedades de éste relativas a ángulos o a diagonales, hay que especificar a qué ángulos o diagonales nos referimos. Ya hemos enfatizado los problemas de lenguaje que conlleva la utilización de nombres compuestos.

Ambicionan también que se utilicen varios procedimientos para determinar el número de ángulos de las caras. Remitimos al apartado ¿Qué propiedades cumplen? donde se muestra cómo se ha desarrollado esta actividad con estudiantes para maestro y las estrategias que utilizaron para determinarlos.

También vale la pena destacar que, al igual que se ha hecho para determinar el número de caras, de vértices o de aristas de estas familias, todas las generalizaciones se hacen a partir de casos concretos. La actividad T-6a, que sirve para poner en contacto con la problemática de determinar el número de diferentes tipos de ángulos, plantea este problema para un prisma hexagonal y la actividad T-6b, pretende que se encuentren, a partir de casos concretos, las relaciones que ligan el número de ángulos diedros y el número de aristas y el número de ángulos de los vértices y el número de vértices.

Una vez que ya se han encontrado estas relaciones se puede mostrar a los estudiantes que éstas tienen sentido: siempre que hay un ángulo diedro tiene que haber dos caras, que son las que lo forman, y estas dos caras forman también una arista al juntarse. El vértice del ángulo en el plano puede considerarse análogo a la arista del ángulo diedro en el espacio. Ambos comparten análogas relaciones: los segmentos que forman el ángulo en el plano se juntan en el vértice y las caras que forman el ángulo diedro en el espacio se juntan en una arista. En el plano no hay ángulo sin vértice y no hay vértice sin ángulo (y de hecho hay dos, el interior y el exterior). En el espacio no hay ángulo diedro sin arista y no hay arista sin ángulo diedro (y de hecho también hay dos, el interior y el exterior). Con respecto a los ángulos de los vértices, una vez que se llega a comprender que el ángulo de los vértices no se refiere a los ángulos de los diferentes polígonos que forman los vértices (lo que lleva a una idea de que hay varios ángulos por cada vértice del sólido) sino a su suma (que es un único ángulo), se acepta de inmediato la relación encontrada: el número de ángulos de los vértices es el número de vértices.

La tarea T-8. Sobre los diferentes tipos de diagonales. A partir de las actividades de T-8 de nuevo verificamos si los estudiantes asocian a las diagonales del plano o del espacio atributos de más, muy visuales, porque basan su idea en las diagonales de los polígonos o sólidos convexos. Si es necesario de nuevo aclararemos que el atributo que se incluye en la idea de diagonal de un polígono es que une dos vértices que no son vecinos, y en la de diagonal del espacio, que une vértices que no pertenecen a la misma cara. Subrayaremos que el que quede dentro o fuera no es una propiedad del concepto de diagonal, lo que pasa es que sí que la verifican algunos ejemplos, pero otros pueden no verificarla. Remitimos a Sobre los elementos de los sólidos de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos?, donde se muestra cómo en el contexto de una clase laboratorio con niños de 12 años se perfila la idea de los diferentes tipos de diagonales de los sólidos: diagonales de las caras y diagonales del espacio.

Las tareas T-6 a T-8. Los diferentes tipos de ángulos y de diagonales. Las experimentaciones realizadas también nos advirtieron de que hay que fijarse en si los estudiantes consideran todos los ángulos o diagonales del tipo que se está considerando o sólo una parte. En las actividades que incluyen las tareas T-6 y T-7 hemos sugerido en repetidas ocasiones que se tengan en cuenta todos los de un determinado tipo. Si bien este tipo de dificultades se suelen superar a medida que avanza la instrucción, si se les presta la debida atención, como subrayamos también en el apartado ¿Cómo se usa la terminología? ¿Cómo se interpreta? al principio es usual que con respecto a los ángulos de las caras, se consideren sólo los de las caras laterales, o los de una de ellas; y para los ángulos diedros, o bien se tienen en cuenta los ángulos que forman las caras laterales entre ellas (CL-CL), o los que forman las caras laterales con las bases (CL-B). Muy pocos estudiantes de los que razonaban en términos de propiedades geométricas tenían en cuenta desde el principio todos los ángulos de las caras y los dos tipos de ángulos diedros: CL-CL y CL-B. Al abordar este problema tuvimos que subrayar la peculiaridad que presentan las bipirámides (sólo tienen adCL-CL). Pero para esta familia también tuvimos que hacer notar en repetidas ocasiones que sólo se había considerado un tipo de ángulos diedros: los ángulos diedros que forman las caras de cada una de las pirámides entre ellas o los ángulos diedros que forman las caras de la una pirámide con las de la otra.

La tarea T-8. Procedimientos para hallar los diferentes tipos de diagonales. Respecto a las diagonales de las caras, también queremos llamar la atención sobre que en la actividad T-8a pedimos que se determinen las diagonales de las caras laterales y las diagonales de las bases y luego el número de diagonales de las caras. Al igual que ocurre con los ángulos de las caras, cuando se piden las diagonales de las caras, los estudiantes muy a menudo sólo tienen en cuenta las caras laterales, o una sola cara. Pero si cuando se tratan los diferentes tipos de ángulos ya se ha trabajado en especial el que se tengan en cuenta todas las caras, incluidas las bases, los resultados se dejarán notar también al considerar las diagonales de las caras. Si bien ocurre que este tipo de errores se vuelven a repetir en algunas tareas que implican este concepto, cada vez ocurre con menos frecuencia.

Las actividades T-8b y T-8d tienen como objetivo que se encuentre el número de diagonales de las caras (dC) y del espacio (dE) de modelos físicos. Estas actividades recopilan en una tabla las diagonales de las caras y del espacio de algunos ejemplos de prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides, de los que previamente se han dibujado en el modelo las diagonales de las caras laterales y las diagonales de las bases, o introducido las diagonales del espacio en el modelo abierto considerado.

Si los estudiantes todavía no han mecanizado el contar de manera estructurada, después de haber hallado el resto de los elementos, con estas tareas se puede dirigir de nuevo para que las diagonales de las caras se cuenten de esta manera.

Respecto a estas actividades, nos interesa remarcar que, a diferencia de lo que hemos hecho al considerar los otros elementos de los sólidos, para las diagonales de las caras o para las diagonales del espacio, no hemos pedido directamente que se estableciese una fórmula generalizada. Los estudiantes que razonan en términos de propiedades geométricas puede que no puedan todavía realizar pruebas deductivas, aunque éstas estén basadas en la experimentación y tengan un soporte visual. Es por esto por lo que en las actividades de este nivel no incluimos pruebas de estas fórmulas que vayan más allá de la comprobación con varios ejemplos.

Vale la pena mencionar que sí que hemos pedido que se halle el número de diagonales de uno y otro tipo, que tiene un ejemplo de las diferentes familias de sólidos tratadas, cuya base tiene 20 lados. Para poder responder para este n concreto no es necesario que se obtenga una fórmula generalizada para n, pero sí que se tiene que averiguar qué operaciones tenemos que hacer con el 20 para obtener el número de diagonales de las caras o del espacio en este caso.

Los estudiantes pueden observar de los casos concretos de prismas, que las diagonales de las caras siguen la regla de formación, 3x2, 4x3, 5x4,... , y las diagonales del espacio esta otra: 3x0, 4x1, 5x2,... Pueden llegar a conjeturar que un prisma cuyo polígono de la base tiene 20 lados tendrá 20x19 diagonales de las caras y 20x17 diagonales del espacio. En este caso, lo que pediremos será que se hallen el número de diagonales de las caras de un ejemplo dado de una de las familias y que se compruebe con n pequeño si el número obtenido verifica el patrón descubierto para el número de diagonales de las caras, o de las diagonales del espacio, de la familia correspondiente. Luego pediremos que se halle este número para un ejemplo que tenga en la(s) base(s) un polígono con gran número de lados. Remitimos al apartado ¿Qué propiedades cumplen? donde se dan sugerencias para poder determinar las diagonales de las caras y del espacio para un prisma n-agonal (sus bases son polígonos que tienen n lados).

Las actividades incluidas en esta tarea no sólo tienen como propósito que se determinen los números de diagonales del plano o del espacio de modelos físicos. Al proponer en T-8c que se introduzcan, se cuenten y se midan las diagonales del espacio del romboedro, del ortoedro y del cubo, pretendemos remarcar que todos los poliedros implicados en la actividad tienen el mismo número de diagonales de ambos tipos y que mientras que en el cubo y el ortoedro son iguales, en el romboedro no. Si el profesor lo considera conveniente, se puede ampliar esta actividad cuestionando los prismas que tienen el mismo número de diagonales del espacio que estos poliedros. Se pueden seguir delimitando las familias cuyos ejemplos tienen el mismo número de diagonales del espacio, y descubriendo que el número de diagonales del espacio depende exclusivamente del número de lados del polígono de la base y no de la forma de éste.

Por otro lado, la actividad T-8e tiene como objetivo destacar que las diagonales del espacio de un prisma (dE) son mayores que las diagonales correspondientes de la base (db), además de porque las primeras "están inclinadas y cogen un volumen", como indicó uno de los estudiantes, porque se forma un triángulo con la dE, la db y la arista lateral (a) . Aplicando el teorema de Pitágoras o el teorema del coseno se puede explicar esta relación. Queremos hacer notar que sólo tiene sentido plantear esta actividad para los prismas y antiprismas, pues las pirámides o bipirámides sólo tienen un tipo de diagonales. En las pirámides tenemos las diagonales de la base y en las bipirámides, diagonales del espacio.

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