Afianzando y soltando

Descomponiendo sólidos.

En los apartados ¨Rompiendo¨ las ideas de cara,... y ¿Qué relaciones se establecen? (en dos de sus opciones, ¨Puzzles y estructuras rígidas¨y ¨Relaciones de dualidad¨) de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? se describen los modelos a los que se hace referencia en las tareas T-9 y T-10. En estos apartados se muestra también cómo se ha desarrollado actividad matemática a partir de ellos en el contexto de clases laboratorio.

T-8

Proveerse de los modelos que reflejan pares de poliedros regulares inscritos uno en otro.

a) Repartir los siguientes modelos: un tetraedro inscrito en un tetraedro, un octaedro inscrito en un cubo y un cubo inscrito en un octaedro.

Para cada modelo pedir que se identifiquen los sólidos que lo forman y que se expresen las relaciones que existen entre los sólidos implicados.

b) Repetir la actividad anterior para los modelos siguientes: un cubo inscrito en un dodecaedro, un octaedro inscrito en un icosaedro, un tetraedro inscrito en un dodecaedro, un tetraedro inscrito en un icosaedro. En este caso, pedir que se identifiquen sólo los sólidos que les resulten familiares.

c) Repetir la actividad T-8a para la estrella octangular y para el compuesto del cubo y el octaedro.

T-9

a) El profesor junta con varillas un vértice del cubo con cada uno de los vértices no vecinos a él para descomponer el cubo en las 3 pirámides iguales.

Pedir que se identifiquen los sólidos en los que se ha descompuesto el cubo.

Pedir que se expresen las relaciones que existen entre los sólidos implicados.

b) Plantear la actividad anterior para un cubo descompuesto en 6 pirámides iguales.

c) El profesor introduce una diagonal en cada cara del cubo, de manera que se juntan de tres en tres. Obtiene así un modelo del tetraedro inscrito en el cubo. Plantear la actividad T-9a para este modelo.

d) En el modelo de un cubo (octaedro) con las caras de plástico transparente el profesor introduce varillas que unen centros de caras vecinas, para obtener un octaedro (cubo) inscrito en un cubo (octaedro). Plantear la actividad T-9a para estos modelos.

e) El profesor presenta el armazón de una estrella octangular y del modelo compuesto del cubo y octaedro. Plantear la actividad T-9a para cada uno de estos modelos.

Comentarios

En las tareas T-9 y T-10 se tienen que reconocer sólidos sencillos (el cubo, el tetraedro o el octaedro) cuando éstos se presentan en modelos que contienen sólidos inscritos o intersectados unos en otros.

La actividad T-9a relaciona pares de modelos conocidos cuando se presentan inscrito uno en otro de manera que los vértices del inscrito yacen en los centros de las caras del circunscrito. Los modelos tienen que estar construidos de manera que se vea el poliedro que queda en el interior. Si los estudiantes tienen problemas para identificar los sólidos implicados en esta actividad, podemos aprovechar el recurso del color (pues facilita la tarea). Podemos construir un modelo del poliedro inscrito de un color que resalte bastante; el armazón del poliedro circunscrito de otro color, y podemos pegar las caras a este armazón, construidas de plástico transparente para que se pueda ver el poliedro inscrito. La actividad T-9b presenta pares de modelos como los de T-9a, pero en T-9b sólo uno de los sólidos del par (que forman el modelo que se presenta) pertenece a las familias que ya se han estudiado.

Las actividades T-10a, T-10b y T-10c incluyen modelos en los que para los poliedros que recubren uno dado o para el poliedro inscrito en otro, se dan los armazones. Resulta muy difícil para los estudiantes visualizar que al introducir varillas en un cubo, juntando los vértices opuestos, o uniendo un vértice con todos los demás, se descompone al cubo en 3 o 6 pirámides respectivamente.

Resulta más difícil identificar un sólido cuando se da el armazón que cuando se da el modelo. Este problema se agudiza cuando en modelos de pares de poliedros se da el armazón del poliedro inscrito en vez de presentar un modelo del mismo. Con el armazón es difícil delimitar las caras de los poliedros, y más aún si éstos están incluidos en otros. Aunque los modelos de los poliedros circunscritos tengan las caras transparentes, los elementos de estos poliedros interfieren en la identificación de los modelos inscritos en ellos. El problema de la visualización tiene implicaciones serias en la identificación de estas formas. Hay que prestarles la debida atención.

Es muy probable que al abordar la tarea T-10, sea necesario volver de nuevo a actividades que ya se han realizado. Para poder resolver la tarea T-10 muchos estudiantes tienen que resolver de nuevo las tareas de puzzles (tarea T-4) o actividades en las que se encajan polígonos en modelos abiertos para inscribir un modelo en otro, o se presentan modelos de sólidos inscritos en vez de armazones de ellos (tarea T-9).

Las actividades T-9c y T-10e incluyen un trabajo con modelos, o armazones, formados por pares de modelos intersectados. Éstos también se pueden ver como un agregado de varios sólidos. Con estas actividades remarcamos cómo un modelo puede mostrar relaciones entre diferentes sólidos. Por ejemplo, la estrella octangular puede verse como la intersección de dos tetraedros iguales, o como el agregado de un octaedro y 8 tetraedros, de manera que todos los sólidos que forman la estrella se forman con los mismos triángulos; las aristas de todos ellos tienen la misma longitud.

Cuando estas actividades las hemos llevado a cabo con los estudiantes, lo usual es que los modelos intersectados los vean como agregados de sólidos. Y también hay algunos estudiantes que reconocen el modelo como sólidos intersectados, aunque no se haga explícito. En el apartado ¨Rompiendo¨las ideas de cara... se informa de ello.

Cabe comentar la influencia que tienen las estrategias y los procedimientos utilizados para obtener o generar modelos de sólidos en las ideas que se forman de ellos. La idea que se deduce de los puzzles y de otras formas dinámicas de construir los modelos que presentamos en T-9c y T-10e es que estos modelos están compuestos de diferentes espacios encerrados (se les llama celdillas.). Estas celdillas son las que se añaden a las caras de un poliedro para obtener otro. Para algunos estudiantes esta idea entra en contradicción con otra idea de poliedro, en la que se ha insistido especialmente con las bipirámides: en los poliedros sólo hay un espacio interior. En el apartado La construcción y..., en el apartado ¨Modelos y armazones: Ideas de poliedro y...¨ se muestra que este problema lo enfrentan los estudiantes y cómo tratan de explicarlo. La idea de poliedro que prevalece es la que proviene de las familias de sólidos que se han estudiado; la que ve un poliedro como una superficie que encierra perfectamente un único espacio.

Estos modelos de poliedros intersectados que presentamos en las actividades T-9c y T-10e también pueden verse en relación con los que hemos incluido en las actividades T-9a y T-10d. Las experimentaciones que hemos realizado con estudiantes de Magisterio han mostrado que sólo los estudiantes que tienen una visión espacial desarrollada pueden observar esta transformación con relativa facilidad. Hay estudiantes que hacen observaciones sobre los dos tipos de modelos y el paso de uno a otro, sin haberlo sugerido nosotros aún, como muestra la siguiente observación de uno de ellos: "Mira ese crece y atraviesa y sale y tienes ese... Es como si atraviesa y se para al llegar a tocarse en las varillas". Hay otros estudiantes que necesitan de otro modelo intermedio para poder visualizar que a partir del modelo en el que los vértices de un poliedro yacen en los centros de las caras del otro se puede pasar al modelo en el que las aristas de ambos poliedros que forman el par se cortan perpendicularmente. El profesor prestará atención especial a estos estudiantes cuando se hagan en clase las actividades T-9c y T-10e.

Las respuestas a estas actividades pueden informarnos también sobre qué estudiantes utilizan propiedades geométricas de los sólidos implicados en los modelos correspondientes para explicar a otros compañeros, o al profesor, sus respuestas a las actividades propuestas.

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