|
|
|
Geometría y su enseñanza. Estudiante y docente ¿Cómo se identifica y se describe? ¿Cómo se conciben las definiciones? En el siguiente extracto se muestra cómo se van descubriendo propiedades geométricas haciendo observaciones en una situación de partida. En este caso se estaba construyendo un cilindro con un fólio y a partir de esta situación, además de introducir vocabulario geométrico, que ya hemos indicado en ¨Sobre posibles enfoques para introducir la geometría y ...¨ se continúa verbalizando características y observaciones que se hacen que se intentan expresar después como propiedades geométricas. 03- [Se está discutiendo sobre el desarrollo del cilindro recto] O sea que, tenemos dos posibilidades ¿Para qué aprovechamos esa observación?, pues para saber elementos del cilindro ¿Dónde tienen que estar los círculos? ¿Pueden estar ahí? [en el d3 dibuja círculos en el otro par de lados del rectángulo]
¿Pueden estos mismos círculos estar ahí? [sigue trabajando con el desarrollo plano] ¿los mismos pueden estar ahí que ahí? [refiriéndose a pares de lados distintos] -alumno: tendrán que ser más pequeños Tendrán que ser más pequeños. Volvemos a remarcar la característica de que el borde este tiene que ser exactamente igual de grande que este. [remarca la circunferencia y el lado del rectángulo correspondiente] Por tanto si los pongo ahí, son unos, y también puedo construir un cilindro poniendo esos ahí pero entonces son más pequeñitos. [remarca la circunferencia y el lado del rectángulo correspondiente] El borde siempre tiene que coincidir con el lado del rectángulo. Saldrán cilindros o más altos o más gordos, porque el borde o sea la circunferencia tiene que ser igual de grande, tiene que medir lo mismo que el lado del rectángulo sobre el que está unido. Fijaos que estamos construyendo frases más difíciles. La circunferencia, que es el borde del pedacito, el borde del círculo, tiene que ser igual de grande que el lado del rectángulo, pero claro que puede estar en los lados que quedas aquí o en estos otros. En la libreta puedo marcar ambos dibujos. […] Fijaos si hemos avanzado, ya estamos construyendo frases que son propiedades geométricas, solo que utilizamos terminología mezclada. Los dos extractos siguientes presentan comentarios que muestran cómo se tiene en cuenta el análisis que se hace del contenido matemático para poder delimitar dificultades de algunas acciones ligadas a procesos matemáticos. Se apunta así la dificultad que conlleva describir familias infinitas y explicar la respuesta en la enumeración de ejemplos o de no ejemplos de familias de sólidos y se dan sugerencias sobre cómo afrontar estas dificultades. 09-4 ¿Cómo se comprueba que es ejemplo o que no lo es? Un sí es ejemplo obliga a que se tienen que cumplir todas las propiedades de la familia, no basta con que se cumpla una propiedad. Y en clase hay que trabajar esa manera de responder, sino pasará lo que nos ha pasado en esta clase porque no habéis trabajado geometría. Y además hay que considerar el modelo en todas las posiciones pues las propiedades geométricas se miran independientemente de la posición. Vosotros al principio de la asignatura no identificasteis el prisma de la figura como ejemplo de prisma porque lo mirasteis sólo tal y como os lo mostré, apoyado en una cara cuadrado. Ahora ya tenemos varias ideas ingenuas que nos permiten identificar los ejemplos de prisma, estén apoyados en la base o no.
Pues cuando la respuesta se quiere explicar en términos de propiedades geométricas, no bassta con indicar una de ellas. No basta con decir que es prisma porque tiene dos caras que son iguales y paralelas y son las bases. Hay que verificar que cumple todas las propiedades de la familia, o que cumple las definiciones que tenemos para ella, pues ahora dentro de pocas clases ya nos vamos a meter en el proceso de elaboración de definiciones. Sin embargo un No, explicar que un modelo no es ejemplo, sí que se justifica diciendo que hay una propiedad que no se cumple. Por eso podemos tener varias respuestas diferentes. Por ejemplo, para explicar que la pirámide truncada no es prisma se puede indicar: porque no tiene un par de caras que sean iguales y paralelas, o también, porque tiene 4 caras que son trapecios y un prisma sólo puede tener dos como mucho, etc. 10- ¿Sobre la descripción familias infinitas? Ya tenemos ideas que nos permiten identificar perfectamente los prismas, ahora nos vamos a preocupar de analizarlos, estamos en una fase en donde nos vamos a preocupar por decir todas las cosas que podamos pero que se cumplan en todos los prismas, no solo en este modelo, […] Bueno pues parece muy sencillo pero no es nada sencillo porque vamos a decir qué propiedades cumple una familia infinita, tiene infinitos ejemplos diferentes ¿Cómo vamos a poder decir algo que lo cumplen todos si no los podemos ver todos? Algunos niños puede que pregunten ¿Cómo quieres que sepa yo algo que cumple uno que yo no puedo ver?, Si hay infinitos ejemplos basta con que cambie la base ¿Cómo quieres que sepa yo algo que cumple algo que yo no he visto nunca, ni que voy a ver?, Preparaos para estas preguntas de los niños. […] Pues entonces ¿Por dónde vamos a empezar? Lo primero que uno tiene que hacer antes de ponerse a decir nada es seleccionar ejemplos ¿Qué de nuevo aparece respecto de una familia finita? Los ejemplos que vamos a seleccionar no van a ser cualesquiera. […] Cuando nos piden propiedades de una familia infinita lo primero que hay que hacer es seleccionar los ejemplos representativos, porque si decimos las propiedades pensando en los que nos vienen a la cabeza, seguro que nos vienen los bonitos y diremos más propiedades de las que toca. […] Se tiende a decir lo específico de aquello que se me ha quedado en la cabeza más que lo general. Bueno, primer problema ¿Qué ejemplos pensamos que son los representativos?, 10- ¿Qué ejemplos representativos se seleccionan? ¿Cómo los registro? Decir propiedades de algo que veo de cierto modo es aprender a observar, pero decir propiedades que cumplen estos tres ya es tener en cuenta los tres, tener en cuenta infinitos eso es inconcebible, no se puede concebir hasta que uno no va practicando que se pueden decir cosas de algo que no se tiene y que además no se tendrá nunca, tenemos que practicar que se pueden decir cosas de algo que no se tiene y que además no lo vamos a ver nunca. […] Empezaremos, para poder comprender ese salto, tenemos que empezar teniendo ejemplos de referencia, para poder comprender ese salto, que tal vez en primaria no se comprende, hay que empezar tomando ejemplos de referencia. […] El primer problema es seleccionar los ejemplos, el segundo es ¿Cómo los registramos? ¿Cómo nos los guardamos para tenerlos siempre presente?. A ver yo estoy pensando todo el tiempo en todos estos, no sólo en uno, aquí se tolera, como el registro es para uno mismo, se tolera cualquier tipo de representación, si no sabéis dibujar en perspectiva, sin problemas. El segundo problema es la representación, saber cómo me lo guardo yo para saber en cual estoy pensando. En los extractos anteriores la profesora está haciendo una reflexión acerca del tipo de preguntas a las que se podrán enfrentar en sus futuras clases los estudiantes de Magisterio, además que son preguntas que ellos como persona se pueden estar planteando ante el problema. Está haciendo referencia a la propia manera de aprender de las personas, es una reflexión para que la tomen en cuenta para su propia formación en la asignatura y también se puede considerar en el sentido de que un futuro profesor la debe tomar en cuenta para la manera de dirigir las actividades que planteará a los niños. Los extractos siguientes muestran cómo se conciben las definiciones. Son ejemplos que hemos entresacado entre las actividades que se ha utilizado la profesora para ello. En varias ocasiones se ha dado la oportunidad a los estudiantes de Magisterio para que, por un lado, constataran la problemática que conlleva introducir los conceptos con un mundo muy específico de ejemplos. Por otro, cómo se van precisando y extendiendo las ideas de los conceptos a medida que aparecen modelos que obligan a ello. Los ejemplos que provocan discusión se han considerado como ejemplos ¨interesantes¨ por la actividad matemática que se despega a partir de ellos. 14- ¿Es o no es diagonal? ¿Por qué no se incluye como diagonal de cara? [Se están considerando las diagonales de las caras de los prismas y algunos estudiantes no incluyen como diagonal de cara las que quedan fuera del polígono] Bueno pues la reflexión es la misma, consecuencia de que nos han enseñado un concepto con un mundo demasiado bonito y por tanto incorporamos más propiedades de las que tocan. ¿Qué otra reflexión importante sale? De ella ya hemos hablado también pero la voy a repetir porque es importantísima,.. No introducimos un concepto por definición. Las ideas de los conceptos las vamos perfilando, las vamos precisando a medida que aparecen objetos, ejemplos que obligan a ello. Este ejemplo de prisma, si no lo dice un alumno lo introduce el profesor, como un modelo más, como que se le ha ocurrido. Y ya véis la actividad que se ha podido desarrollar a partir de él.
El profesor cuando prepara sus clases tiene que seleccionar los ejemplos y no ejemplos que él introduce en sus clases, además tiene que saber también, tiene que haber decidido qué ejemplos quiere trabajar en clase para que si los alumnos no se los introducen lo haga él. Parte de la actividad a la que hace referenciaa la profesora en el extracto se puede consultar en Sobre los elementos de los sólidos de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? En el extracto siguiente fue el círculo el que provocó la discusión. Un estudiante planteó la cuestión de si un círculo puede considerarse como un polígono de infinitos lados y si tiene o no diagonales. 14-6 ¿El círculo es un polígono de infinitos lados? ¿Tiene diagonales? Con la idea que tenemos hasta ahora no sería polígono, cuando estemos en matemáticas en yo que sé que nivel posiblemente decidamos el círculo lo consideramos como un caso ya general de polígono, pero eso nos serviría para mostrar cómo en matemáticas se deciden las cosas por definición y después se es coherente, pero en la enseñanza de las matemáticas no se concibe así, en la enseñanza de las matemáticas sabemos muchísimas cosas antes de llegara a una definición de ellas y las ideas las vamos matizando a medida que se va requiriendo. En este momento desde luego no nos interesa en absoluto decidir extender la idea de un polígono a un círculo, entonces nos viene bien la idea que tenemos hasta ahora de que un polígono tiene vértices y lados y ángulos y alguna diagonal (excepto el triángulo). Las diagonales unen vértices que no son vecinos, luego, ¿el círculo tiene diagonales? -alumno: No tiene diámetros. Sí, en los polígonos tenemos diagonales. En el círculo tenemos diámetros y cuerdas. Los diámetros pasan por el centro del círculo. Son ejes de simetría del círculo. El círculo tiene infinitos ejes de simetría. La actividad se ha derivado para que se traten las simetrías de los polígonos y se estudien también los planos de simetría del cilindro y de los prismas rectos de bases regulares. De nuevo se ha extendido la actividad para no encorsetarla en la que se puede dar en la asignatura. 22-3 Precisando la idea de cara vértice y arista. [Muestra el modelo del tetraedro dual de sí mismo] ¿Y qué pasa si el tetraedro de dentro crece y crece, atraviesa y queda con las aristas cortadas perpendicularmente?
-alumnos: una estrella La estrella octagonal, tenemos el tetraedro inscrito en el tetraedro. Cuando crece y crece queda la estrella de ocho picos y se llama la estrella octagonal. Los cuatro picos de este tetraedro y los cuatro del otro y queda la estrella octagonal. Hay muchas lámparas que tienen la forma de estrella octagonal. Bueno si tuviéramos tiempo y quisiéramos continuar por aquí, podríamos también trabajar cómo se introducen y se afinan los conceptos, porque ¿Cuántas caras tiene este modelo? [muestra el modelo compuesto del cubo y el octaedro]
a ver ¿cuántas caras pensáis que tiene este modelo? [espera respuesta] ¿cuántas caras tendrá este modelo? -alumno: La suma ¿La suma de qué? -alumno: ¿Del cubo y el octaedro? -alumno: ¿48? -alumno: Ni idea Vale opciones -alumno: Depende, depende ¿48?, ¿Cómo lo has calculado para que lo vayamos apuntando? -alumno: pues como de cada punta blanca hay tres caras, como hay…[la cuenta] ocho puntas blancas, 3 por 8, 24. y en las puntas rojas en cada una hay cuatro y hay 6, 4 por 6, 24 [Lo apunta en la pizarra] Vale, una manera, otra respuesta, porque he oído otras. No las cambiéis porque a lo mejor tenéis razón. A ver otra respuesta, ¿Cuántas caras pensáis que tiene este modelo? -alumno: Yo había dicho al principio que era la suma de los dos. Había dicho al principio la suma de los dos, el cubo tiene 6 y el octaedro tiene 8, 6+8=14, son 14 caras, y había oído a más gente, no sólo tu, ¿Y por qué habéis cambiado de idea? ¿Habéis cambiado de idea o mantenéis la que teníais? Vamos a tratar de pensar si son 48 ó son 14. -alumno: Depende de lo que consideres cara Depende de lo que se considere cara, Efectivamente, tengo que extender mi idea de cara. De hecho se extiende la idea de cara y este modelo tiene 14 caras, las 8 del octaedro y las 6 del cubo. Tenemos un modelo compuesto que está formado por la intersección del cubo y del octaedro. Tendríamos que extender nuestra idea de cara, porque fijaos si rompemos con nuestra idea ingenua, la idea que viene de todos los que hemos estudiado hasta ahora. Con la idea de antes son 48. Por eso es una respuesta muy buena [48 caras] utilizando la idea de que se está considerando cara a los pedacitos que se ven, y se está considerando que donde no hay, donde no se ve, no hay pedacito, se están viendo como picos, y cuando este modelo se ve como picos efectivamente hay 48 caras. Pero sin embargo, si el modelo lo estoy viendo como la intersección del cubo y el octaedro, no tenemos esas caras. Lo que tenemos que hacer es extender nuestra idea de cara, nuestra idea de arista y nuestra idea de vértice y decidir nosotros qué consideramos a partir de ahora cara, qué consideraríamos a partir de ahora vértice y qué consideraríamos a partir de ahora arista, […] o sea, que rompemos con nuestras ideas de estos elementos que nos vienen de los modelos que hemos visto y estudiado hasta ahora; pero sin embargo nos meteríamos en un problema interesantísimo desde las matemáticas. En las matemáticas decidimos en cierto modo lo que queremos y a partir de ahí se es coherente. En la enseñanza de las matemáticas, no podemos empezar con esto porque rompería con todo lo que sabemos, pero cuando ya estamos en otro nivel, cuando estamos en el mundo abstracto de las matemáticas, nosotros podemos decidir lo que es una arista y lo que es una cara y a partir de ahí tenemos que ser coherentes; luego estamos en un momento interesantísimo donde las dos respuestas pueden considerarse correctas. A partir de aquí decidiríamos, perfilaríamos las ideas que tenemos sobre los conceptos y a partir de ahí tendríamos que ser coherentes con la decisión, pero estamos en un momento donde se pueden dar las dos cosas, porque es un momento de cambio. Tenemos otro ejemplo en el que se muestra cómo en la enseñanza de la geometría los conceptos no los hemos introducido con definición, sino que vamos perfilando las ideas a medida que vamos sintiendo necesidad, porque aquí efectivamente hay dos maneras de verlo. Estamos perfilando la idea de cara en función de lo que va pasando en la clase. Hasta ahora no había sido necesario porque no nos habían aparecido modelos que tuvieran esta problemática. Pudimos estar creyéndonos que las aristas se juntan sólo en los vértices, cuando aquí se están cortando y no es vértice. Habrá que decir cuándo son vértices. Una niña decía – es que si es vértice cuando se juntan y ya no continúan, y es que continúan-, Con los niños pasó lo mismo que aquí. Había niños que contaban todos los pedacitos y niños que decían que no – si el octaedro tiene 8 y el otro tiene 6, pues hay 14. En el apartado ¨Rompiendo¨las ideas de cara y ... de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos¨ se puede obtener información sobre la actividad que se puede desarrollar a partir de la estrella octogonal en un contexto de puzzles; y en el apartado ¿Qué relaciones establecemos? de esta misma sección, se consideran también los modelos compuestos de pares de poliedros duales de los que se habla en este extracto. Otro comentario que queremos subrayar se refiere a cómo la profesora hace notar que la analogía en algunos casos proporciona conjeturas correctas, cuando se consideran elementos análogos del plano y del espacio, pero también hay otras situaciones, como por ejemplo, la analogía entre los polígonos regulares y los poliedros regulares, que no proporciona conjeturas correctas. 19- Además es un problema bonito [se refiere a la tarea de determinar todos los poliedros regulares y justificar que sólo hay 5] que muestra que no siempre funciona la analogía, pero no hay que quitarle el valor que tiene. |
Subapartado de:En algunas clases de geometría ¿Qué? ¿Cómo?Geometría y su enseñanza. Estudiante y docente |
figura 5
figura 6
Figura 7
Figura 8
Figura 9