Ahondando en la descripción y la clasificación

Desarrollos de los sólidos.

T-3

a) Poner a disposición materiales comercializados (polydron o creator, troquelados y varillas). Pedir que con ellos se construyan varios prismas hexagonales (o con otro polígono en la base). Con uno de los modelos mostrar que los desarrollos del sólido pueden obtenerse desenganchando las bisagras (o quitando las gomitas) que unen las caras por el suficiente número de aristas para que quede completamente extendido en el plano y en una sola pieza.

Pedir que se desmonten otros modelos para tener desarrollos de ellos.

b) Señalando en los modelos las franjas y abriendo un modelo de manera adecuada, mostrar que el ver los prismas rectos como una franja de rectángulos (que forman un rectángulo) y las bases que se juntan con todos los rectángulos, permite encontrar algunos desarrollos de ellos sin necesidad de desmontar los modelos.

Con el deltaedro de 16 caras que se muestra en la figura mostrar que este procedimiento se puede aplicar para encontrar desarrollos de otros poliedros. Uno de ellos puede ser el de la figura:

Pedir que se utilice este procedimiento para encontrar desarrollos de algunos antiprismas y del icosaedro. Al principio dejar que los estudiantes doblen el desarrollo para ver si es correcto o no.

c) Utilizar el octaedro para mostrar diferentes procedimientos, basados en el análisis del modelo, que se pueden usar para encontrar desarrollos de poliedros: se descomponen en "trozos", se halla el desarrollo de uno de ellos y se le añaden los polígonos de los otros; o se hallan los desarrollos de todas las partes y se juntan los desarrollos.

Pedir que se utilice este procedimiento para encontrar desarrollos de las bipirámides de caras regulares, del dodecaedro y del icosaedro.

d) Repartir varios rombos de material comercializado polydron o creator y pedir que se construyan varios romboedros y varios desarrollos diferentes del romboedro. Cuestionar si alguno de los desarrollos puede verse como una cinta de rombos que corresponda a un paralelogramo y dos rombos, uno a cada lado.

Para varios prismas oblicuos cuestionar lo que para el romboedro.

e) Dar desarrollos a diferentes escalas de modelos de diferentes familias de sólidos y preguntar que a qué sólidos corresponden y cuánto miden las aristas en realidad. Pedir que se dibujen los desarrollos y se construyan los modelos correspondientes.

f) Dar la dimensión de la arista de un romboedro y pedir que se dibuje el desarrollo y se construya el modelo plegando.

g) Pedir que se construya un prisma oblicuo y una pirámide oblicua.

h) Pedir que se construyan un antiprisma que no tenga las bases regulares y una pirámide que no tenga la base regular.

T-4

a) A partir de modelos, dar ideas visuales sobre caras opuestas, vértices opuestos y aristas opuestas.

Para varios modelos pedir que se señale la cara (arista, vértice) opuesta a una cara (arista, vértice) dada.

b) Repartir un dado cúbico, varios cubitos y varios desarrollos diferentes del cubo. En los dados marcar los puntos que corresponden a 3 caras no opuestas del cubo y en los desarrollos dibujar estos puntos en las caras correspondientes. Pedir que se complete la numeración del cubo y de sus desarrollos y que se explique la respuesta.

c) Repartir varios hexaminós con la numeración completa de un dado. Apuntar que hay dibujos que no lo son porque la numeración no es correcta o porque no lo es la posición de los cuadrados. Pedir que se separen los desarrollos correctos del dado de los que no lo son y que se explique la respuesta. Al principio permitir plegar los desarrollos para comprobar la respuesta.

d) Se repiten las dos actividades anteriores para dados octaédricos, dodecaédricos e icosaédricos.

e) Dar a los estudiantes material comercializado. Pedir que construyan desarrollos diferentes del cubo. Aclarar que dos desarrollos que al superponerlos coinciden o que uno es la imagen que devuelve el espejo del otro los consideramos iguales. Indicar como ejemplo, que los desarrollos siguientes son iguales.

Cuestionar cuántas formas diferentes se encuentran de colocar juntos 6 cuadrados unidos lado a lado y cuántas de esas construcciones son desarrollos de un cubo.

f) Pedir que se repita la actividad anterior para el tetraedro y para un prisma pentagonal de caras regulares.

Comentarios

La tarea T-3. El análisis de los poliedros para encontrar desarrollos de ellos. La tarea T-3 incluye actividades que conexionan el modelo de un sólido con algunos de sus desarrollos, porque a partir de uno de ellos puede obtenerse el otro. Dado que el propósito de estas actividades no es la construcción en sí misma, la mayoría de ellas se refieren a la construcción de desarrollos de los modelos a partir de éstos, más que a la construcción de sólidos a partir de desarrollos.

Cabe señalar que la actividad T-3a, en la que se introduce el concepto de desarrollo de un sólido desmontando uno de sus modelos, no es necesaria si los estudiantes han resuelto las actividades incluidas en otras opciones o razonan ya en términos de propiedades geométricas o en un nivel superior. En ese caso pasaríamos a las actividades T-3b y T-3c en las que se procede a la inversa: en vez de deshacer modelos para obtener desarrollos, se pide que se construyan sólidos a partir de su desarrollo. Estas actividades pretenden que se aplique el análisis realizado de la familia correspondiente para obtener desarrollos de ejemplos de ella. Algunas observaciones que conducen a los desarrollos de los sólidos que se piden son:

– Un desarrollo del octaedro (antiprisma triangular) está formado por una cinta de 6 triángulos y un triángulo a cada lado. Un desarrollo del icosaedro está formado por una cinta de 10 triángulos, cerrada por 5 triángulos en la parte superior e inferior, de manera que cada uno de estos triángulos está unido a cada uno de los de la cinta. La figura muestra estos desarrollos:

figura 3

– El octaedro puede verse como formado por dos pirámides cuadradas; luego basta construir los desarrollos para estas pirámides y juntarlos (Figura 3a). También puede verse como dos casquetes iguales que se juntan, formados por un triángulo bordeado de triángulos (figura 4).

figura 4

Y lo mismo el dodecaedro y el icosaedro: el casquete del primero consta de un pentágono bordeado de pentágonos; el del segundo puede construirse con 5 triángulos que forman una esquina y bordeando este "pico" con triángulos (figuras 4).

Cuando se determina un desarrollo de los poliedros por este método de análisis y síntesis, la dificultad técnica en la mayoría de los casos está en la unión de estos desarrollos. A priori no se tiene seguridad de si se han juntado correctamente. A medida que se va desarrollando la visión espacial, o se hace uno más experto en ello, se aprende a seleccionar la descomposición que facilita la tarea, e incluso, en algunos casos, se cambia la estrategia.

Queremos hacer notar cómo en las mismas actividades hemos sugerido que los estudiantes pueden doblar para verificar sus respuestas. El objetivo de estas actividades no es tanto que se desarrolle la visión espacial de los estudiantes como que se aplique el análisis que se hace sobre las familias de poliedros para estas tareas concretas.

Con la actividad T-3d volvemos a resaltar lo que ya se vio en las actividades de la opción ¨Actuando, creando y produciendo¨: que el desarrollo de los prismas oblicuos no está formado por una cinta de paralelogramos que forma un paralelogramo más grande y dos polígonos iguales, uno a cada lado de la cinta. Después de haber buscado desarrollos para los prismas rectos, algunos estudiantes suponen que un desarrollo de un prisma oblicuo puede ser como el que acabamos de mencionar. En este caso, la verificación experimental les convence de inmediato de que no es así; la verificación experimental puede llevarles a explicar, como en la respuesta que indicamos a continuación (respuesta de un estudiante de Magisterio) por qué figuras como éstas no pueden ser desarrollos de prismas oblicuos, a no ser que el prisma sea triangular.

E1: No es desarrollo. Al intentar construir el modelo tenemos que doblar por las aristas. Al doblar por una el plano de la base ya está pues tenemos los puntos ABC (un triángulo).

Cuando doble por la otra arista el vértice D no cae en el mismo plano; va más arriba. Por eso en el desarrollo los paralelogramos tienen que formar una figura en el que si los vértices están horizontales el D tiene que estar más abajo así. Si es triangular sí que se puede. Los vértices ABC forman el triángulo de la base.

La tarea T-3. Las dificultades técnicas y manuales. También cabe mencionar otro tipo de destrezas técnicas y manuales (además de visión espacial) que requiere la obtención de un desarrollo de un poliedro y la construcción de éste a partir de aquél. Para dibujar perfectamente el desarrollo se necesita destreza en dibujo lineal y la construcción del modelo a partir del desarrollo requiere habilidad manual. Además, en la práctica, bien para que los modelos obtenidos sean más consistentes, o para que resulte más cómoda la tarea, antes de construir el modelo a partir del desarrollo se deben resolver ciertos problemas de intendencia o escala, como por ejemplo, qué materiales utilizar o qué tamaño elegir para los polígonos de los desarrollos. Prácticamente hemos obviado las actividades que tienen que ver con destrezas técnicas o con problemas prácticos. Planteamos la actividad T-3e donde se da la escala y un desarrollo de un modelo y se pide las dimensiones de la arista del sólido y que se construya el modelo. El objetivo de esta actividad no es tampoco el de desarrollar destrezas técnicas. Con esta cuestión se muestra cómo hallar la medida de la arista del modelo a partir de la medida de la del desarrollo y la escala.

Es interesante comentar algunos modelos que han construido por este procedimiento los estudiantes que han participado en nuestras experimentaciones. No se han limitado a la construcción sino que, para hacer los modelos más atractivos, han dibujado figuritas en las caras. Si esto ocurre cuando se desarrolle la unidad de enseñanza propuesta, los modelos se pueden aprovechar para llamar la atención sobre que esos dibujos accesorios pueden desviar la atención hacia detalles irrelevantes, en vez de hacia donde nos interesa dirigir; que incluso pueden contribuir a que se incluyan en los objetos mentales propiedades visuales de las que luego uno se tiene que desprender; para terminar aclarando que si bien esos modelos pueden ser más atractivos en el mundo del arte, no pertenecen a un contexto geométrico.

La tarea T-3. Los modelos para los que se dificulta construir el desarrollo. Con la actividad T-3f se trabaja cómo dibujar un rombo cuando se conoce la medida del lado. Se comprueba además que para cualquier rombo, con una longitud del lado dada, no se puede construir un romboedro; como indicó uno de los estudiantes, "para algunas medidas de sus ángulos al intentar construirlo los rombos intersectan unos con otros y quedan agujeros".

En las actividades T-3g y T-3h se pide un desarrollo de los prismas oblicuos y de ejemplos de las subfamilias de los antiprismas, pirámides o las bipirámides, en los que determinar un desarrollo de un ejemplo de ellas se dificulta (por ejemplo, cuando la base de una pirámide o de un antiprisma no es regular o cuando el antiprisma o pirámide es oblicuo). En el apartado La cconstrucción y... de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? se muestra cómo construyeron el desarrollo de un prisma oblicuo dos estudiantes de Magisterio.

De la misma manera, el construir pirámides rectas con base irregular no siempre es tarea sencilla; especialmente para las que no se conoce cómo hallar el centro del polígono. Si por ejemplo la base es un rombo, aunque los triángulos no tienen por qué ser isósceles se pueden construir los triángulos de las caras laterales de manera precisa para que la pirámide sea recta. Pero si consideramos una base con lados y ángulos distintos, además del problema de construir los triángulos de las caras laterales una vez que ya sabemos el ápice con qué se corresponde, tenemos el problema de determinar dónde está el centro del polígono y además hay que especificar a qué centro nos referimos. Así, una vez que los estudiantes hayan vislumbrado los problemas que conlleva esta tarea, se puede indicar que como centro de un polígono se considera el baricentro, ya que este centro lo tienen todos los polígonos, es el centro físico, donde el polígono tiene condensado todo su peso. Para algunos polígonos se puede explicar cómo se obtiene ese centro experimentalmente, ya que el determinarlo no es tan inmediato como en los polígonos regulares.

La mayoría de los estudiantes con los que realizamos las experimentaciones, una vez que conocían con qué punto de la base se tenía que corresponder el ápice de la pirámide, podían construirla. Para estimar las longitudes de las aristas laterales, al igual que en los prismas oblicuos, construyeron una unidad como la que se sugirió en las actividades de ¨Actuando, creando y produciendo¨ (formada por un polígono y gomitas (liguillas) que representan las aristas laterales). Cuando ya se tenían las gomas que representan todas las aristas laterales y que se juntaban en el ápice, se superponía éste con el centro de la base y con mucho cuidado intentaban levantar el ápice perpendicularmente a la base. Y cuando uno de los estudiantes lo tenía colocado así, otro estudiante medía la longitud de las aristas laterales que tenía esa pirámide. Una vez estimadas éstas, dibujaban los triángulos (de los que ya conocían los 3 lados) y construían el desarrollo. Todos los estudiantes a las que les propusimos esta tarea pudieron realizarla.

Los antiprismas de base irregular los construyeron de la misma manera. Cuando planteamos esta actividad, cuestionamos si se podían construir antiprismas con polígonos cualesquiera como bases y si era posible construir varios modelos diferentes que tuvieran las bases iguales y paralelas, giradas una respecto a la otra, y los vértices de una se juntasen con los vértices de los lados de la otra.

Como en la idea que dimos de antiprisma no habíamos especificado cuánto teníamos que girar las bases si éstas no eran regulares, las preguntas que surgieron de inmediato plantearon esta cuestión. La respuesta que una de las bases había que girarla respecto a la otra lo suficiente para que cada vértice de ésta se pudiera unir con dos vértices consecutivos del polígono de la otra base, de tal manera que no se entrecruzasen las aristas y el modelo resultante fuese poliedro, provocó una discusión muy interesante.

Uno de los estudiantes, al día siguiente de proponer el problema, apareció con dos modelos de antiprismas, con las mismas bases y que cumplían las condiciones impuestas; lo que los diferenciaba era que los vértices de una base se hacían corresponder con los vértices de uno de los lados de la otra base o con los vértices del lado vecino.

Estos modelos los utilizamos, por una parte, para precisar la condición que hasta entonces habíamos impuesto a los antiprismas. Ésta quedó así: cada vértice del polígono de una base se junta con los dos vértices del lado de la otra base con el que se corresponde. Esto es, si desplazamos las bases según el vector que une los centros de las bases hasta que las bases se solapan, los dos lados que se juntan en cada vértice de una base cortan al lado de la otra base con el que se corresponde. Por otra parte pudimos remarcar cómo se van afinando y precisando las ideas de los conceptos: aparecen modelos (con los que nos topamos o descubrimos, o que los introduce el profesor) que nos cuestionan la idea del concepto que teníamos hasta entonces y que nos obligan a ir afinando y precisando ésta.

La tarea T-4. Caras opuestas, vértices opuestos y aristas opuestas. Con la actividad T-4a introducimos, de manera informal, los conceptos de caras opuestas, vértices opuestos y aristas opuestas. Las ideas de estos conceptos con las que podemos comenzar pueden basarse en la colocación del modelo. El concepto de caras opuestas lo reforzamos centrando la atención en las reglas sobre suma de puntuaciones que se presentan en caras opuestas de diferentes dados. Para resolver las actividades T-4b y T-c, una vez descubierta la regla de las puntuaciones de los dados, se tienen que reconocer las caras opuestas, bien en un modelo, bien en un desarrollo. Para estas actividades es conveniente disponer de varios cubos, octaedros, dodecaedros e icosaedros desmontables: a) con las caras numeradas como un dado y b) con varias caras no opuestas numeradas. También es conveniente disponer de varios desarrollos diferentes, dibujados en papel, de cada uno de estos sólidos y usar papel adhesivo para escribir encima de los modelos o de los desarrollos.

La tarea T-4. Diferentes desarrollos de un poliedro. Las actividades T-4e y T-4f dirigen la actividad a que se encuentren todos los desarrollos posibles de algunos sólidos sencillos, mientras que con la tarea T-3 pretendemos que se observe que los modelos tienen diferentes desarrollos. Para esta actividad se sigue utilizando material comercializado y modelos de sólidos, para que los estudiantes experimenten, bien deshaciendo los modelos de distintas maneras para obtener diferentes desarrollos, bien doblando los desarrollos para verificar si realmente lo son. Aunque los estudiantes en este nivel ya se desprenden a menudo del material y dibujan los diferentes desarrollos en papel en vez de construirlos, todavía tienen inseguridad sobre si los más extraños realmente lo son y sobre si todos los desarrollos que se dejan como solución son diferentes. Como reconocer como iguales los desarrollos que están colocados en diferente posición requiere de visión espacial, después de que se haya conjeturado si un desarrollo es igual o diferente a los que ya se tienen, permitiremos que se construya el desarrollo (para que se pueda girar o darle la vuelta) y que se gire la hoja del papel en el que se tienen dibujados.

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