Ahondando en la descripción y la clasificación

Clasificaciones con criterios visuales.

T-10

Indicar que se va a hacer una partición en el mundo de los prismas. Que se va a incluir en un grupo los modelos que son rectos y en otro grupo los que son oblicuos.

a) Pedir que se precise lo que se entiende por prisma recto y por prisma oblicuo en términos de propiedades visuales y de propiedades geométricas.

Pedir que se explique también si todos los prismas se pueden incluir en una de las familias establecidas y si hay prismas que pueden incluirse en ambas.

b) Centrar la atención sobre las características de este tipo de clasificación (llamada dicotomía) y sobre los modelos que pueden representarla.

Pedir que se clasifique la familia de los antiprismas con este criterio de clasificación; que se establezca y se nombre las familias obtenidas; que se represente la clasificación en un diagrama y se precise una idea de antiprisma recto y de antiprisma oblicuo.

c) Pedir que se repita la actividad T-10b para las pirámides y para las bipirámides.

d) Pedir que se repita la actividad T-10b cuando se considera como universo de clasificación el formado por los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides. Y cuando se considera como universo de clasificación la familia de los poliedros.

Utilizar algunos modelos para centrar la atención sobre los problemas que se pueden tener para precisar lo que se entiende por sólido recto y sólido oblicuo, y de ahí para determinar la subfamilia a la que se tienen que asignar.

Pedir que con material comercializado se construyan otros modelos que presenten problemas para incluirlos como rectos u oblicuos.

e) Pedir que se intente expresar cómo se halla la altura de dos prismas, uno recto y otro oblicuo y de pirámides rectas y oblicuas.

f) Pedir que se compare lo que ocurre en los prismas (antiprismas, pirámides, bipirámides) rectos y oblicuos respecto a la altura, cuando se dibuja desde el centro de una base (o desde el ápice) y que se enuncien propiedades, relativas a este elemento, para estas familias.

g) Pedir que en algunos prismas rectos y oblicuos dados se compare la longitud de la altura con la de las aristas laterales y que se enuncien propiedades de los prismas rectos y oblicuos en términos de la longitud de la altura y de la arista lateral.

Cuestionar si la propiedad enunciada para los prismas rectos, o para los prismas oblicuos, se puede extender a la familia correspondiente de los antiprismas, (pirámides, bipirámides).

h) Pedir que se precise una idea de prisma, antiprisma, pirámide y bipirámide, recta y oblicua, en términos de la altura.

T-11

a) Pedir que se señale la relación que hay entre las caras laterales (las aristas laterales) y las bases de un prisma recto dado. Cuestionar si esta relación ocurre en todos los prismas rectos, y si también la cumplen los prismas oblicuos.

Cuestionar también si la relación encontrada en los prismas rectos puede extenderse a los antiprismas (pirámides, bipirámides) rectos.

b) Plantear actividades análogas a la anterior para las siguientes propiedades: las caras laterales son rectángulos (que pueden ser cuadrados); los ángulos de las caras laterales son rectos. Pedir también que se indique si un prisma oblicuo puede tener alguna cara que sea rectángulo o cuadrado y que se explique la respuesta.

c) Introducir el concepto de ángulo diedro con material comercializado. Apuntar que los ángulos diedros podemos hallarlos porque coinciden con los que forman dos segmentos. Dirigir la actividad para que se llegue a delimitar que los segmentos que hay que seleccionar para hallar un ángulo diedro son uno de cada cara (de las dos que forman un ángulo diedro), se juntan en un punto de la arista y son perpendiculares a ella.

d) Plantear una actividad análoga a T-11a para las siguientes propiedades: los ángulos diedros que forman las caras laterales con la base son de 90°; los ángulos diedros que forman las caras laterales entre ellas coinciden con los ángulos correspondientes del polígono de la base.

e) Presentar dos prismas, uno de ellos está formado por dos rombos que no son cuadrados y 4 cuadrados y el otro está formado por dos paralelogramos iguales que no son rectángulos y 4 rectángulos. Cuestionar si estos modelos son rectos u oblicuos y que se explique la respuesta.

T-12

Indicar que se va a hacer otra partición en el mundo de los prismas a partir de otro criterio que tiene también características visuales. Separar en un grupo los prismas cóncavos y en otro los prismas convexos.

a) Para la clasificación establecida con este criterio, plantear actividades análogas a T-10a a T-10d.

b) Presentar varios modelos de prismas cóncavos y de prismas convexos y pedir que para cada una de estas familias se especifiquen propiedades relativas a los diferentes tipos de ángulos: los ángulos de las caras, los ángulos diedros y los ángulos de los vértices.

Pedir que se compruebe si las propiedades señaladas para los prismas convexos también las verifican los antiprismas (pirámides, bipirámides) convexos.

c) Pedir que se repita la actividad anterior para propiedades relativas a los diferentes tipos de diagonales: diagonales de las caras y diagonales del espacio.

d) Pedir que se utilicen modelos de prismas cóncavos y de prismas convexos para determinar algunas propiedades de estas familias que reflejen lo que ocurre cuando se intenta apoyar los modelos en cualquiera de sus caras.

e) Pedir que se repita la actividad anterior pero la propiedad tiene que reflejar lo que ocurre con los ejemplos de la familia considerada cuando se prolonga cualquiera de sus caras.

f) Pedir que se explique si la lista de propiedades de los prismas convexos contendrá todas las propiedades de los prismas. Apuntar que si la respuesta es afirmativa, éstas se pueden indicar de golpe, sin decirlas explícitamente, indicando sólo "propiedades de los prismas".

Comentarios

Las tareas T-10 a T-12: Los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides, rectos y oblicuos, cóncavos y convexos. Las actividades que incluimos en T-10 y T-11 se refieren a los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides, rectos y oblicuos y la tarea T-12 a los cóncavos y convexos.

A) El establecimiento de la clasificación. Si los estudiantes ya han resuelto las tareas que proponemos para las opciones de iniciando el estudio, la parte de las actividades T-10a a T-10c y T-12a en la que se pide que se precise lo que se entiende por cada una de estas subfamilias puede que no sea necesaria. En este caso, estas actividades se propondrán para remarcar que este tipo de clasificación es una partición llamada dicotomía, y que los diagramas de la figura 5 pueden representarla.

figura 5

Se puede comprobar que las clasificaciones establecidas en estas tareas verifican las condiciones impuestas a una clasificación-partición:

• Una vez determinado el universo y el criterio de clasificación, cada ejemplo del universo debe pertenecer a una y sólo a una clase. Las subfamilias establecidas deben ser disjuntas.
• Las distintas subfamilias establecidas en el universo objeto de clasificación deben de dar cuenta de la totalidad del mismo.

También podemos centrar la atención en el nombre y adjetivo que tienen los nombres compuestos de las subfamilias establecidas, y destacar que el nombre hace referencia a la familia a la que pertenecen (prisma, antiprisma, pirámide, bipirámide, poliedro) y el adjetivo puede hacer referencia o no a la característica visual de cada subfamilia. El ser recto o inclinado sí que se refleja en el nombre de las subfamilias establecidas, pero la característica visual, tener o no tener entrantes, no se refleja en el nombre de cóncavos o convexos.

La actividad T-10d pone de manifiesto que cuando se considera como universo de clasificación la familia de los poliedros, el criterio de clasificación ser recto u oblicuo no queda claro. Con esta actividad se puede remarcar que, o bien nos quedamos en un "trocito" de mundo (el de los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides) para clasificar con el criterio ser recto o inclinado o tenemos que precisar la idea de sólido recto y oblicuo para poder asignar cualquier modelo en una de las familias establecidas. Se puede hacer notar que en tareas de clasificación resulta necesario nombrar siempre el universo que se somete a clasificación, al igual que el criterio que conduce a establecer las familias y las familias que se establecen. Remitimos a Guillén (2005), que se referencia en la sección Para conocer más, donde se puede obtener más información al respecto.

B) Sobre el objeto mental de altura de un sólido. Las actividades T-10e a T-10h centran la atención en otro elemento fundamental de los de prismas (antiprismas, pirámides y bipirámides) que aún no hemos comentado: la altura. Permiten averiguar si los estudiantes tienen incluido en el objeto mental de este concepto el atributo de que tiene que quedar dentro del sólido, o en la superficie; o de que la altura de un sólido tiene que unir centros de bases (nos referimos a los centros de gravedad), o ápices y centros de bases. En las experimentaciones realizadas hemos constatado que bastantes estudiantes tienen un objeto mental de altura de un prisma basada exclusivamente en los prismas rectos. En los prismas oblicuos también identifican la longitud de la altura y la de la arista lateral. Otros estudiantes, aunque no identifican ambas longitudes, no pueden indicar cuál es la altura del prisma oblicuo; expresan que "como está torcido... ".

Remitimos al apartado Sobre los elementos de los sólidos, de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? donde se informa sobre ideas que expresaron niños de 12 años para este elemento de los prismas, en el contexto de clases laboratorio.

C) Las propiedades relativas a tipos de ángulos. Cómo medir los ángulos diedros. Las actividades de la tarea T-11 pretenden que los estudiantes descubran las propiedades de los prismas rectos que indicamos en el apartado ¿Qué propiedades cumplen? de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos?, y que se centre la atención sobre las propiedades, relativas a los diferentes tipos de ángulos, que las experimentaciones nos han mostrado que presentan dificultades, bien porque se aplican ideas erróneas o porque presentan problemas de lenguaje. Todavía al realizar estas actividades es usual encontrar estudiantes que para la propiedad de los ángulos de las caras laterales sólo nombran caras. Para los ángulos diedros sólo consideran los ángulos diedros que forman las caras laterales entre ellas (aCL-CL) o los que forman las caras laterales con la base (aCL-B).

Una de las propiedades de los prismas rectos a la que nos referimos en la tarea T-11 es la siguiente: los ángulos diedros que forman las caras laterales entre ellas coinciden con los ángulos correspondientes del polígono de la base. Remitimos de nuevo al apartado Sobre los elementos de los sólidos, de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? donde se muestra la resistencia de uno de los niños de 12 años que participó en nuestra investigación para aceptar que no es propiedad de los prismas oblicuos.

D) Sobre los prismas que se identifican como prismas rectos y como prismas oblicuos. La tarea T-11 permite también precisar propiedades que se señalan como de los prismas oblicuos porque los estudiantes traducen como propiedades de ellos la negación de las propiedades de los prismas rectos y no niegan de manera matemáticamente correcta el cuantificador todo que aparece en ellas. Nos referimos a que si bien puede haber prismas oblicuos con alguna cara lateral que sea rectángulo o cuadrado, siempre que todas ellas no lo sean, (siempre que haya también algún rombo que no es cuadrado o paralelogramo que no es rectángulo ni rombo), y los estudiantes admiten estos modelos como ejemplos de prismas oblicuos, como explicamos a continuación, las propiedades que expresan verbalmente para los prismas oblicuos (sus caras laterales no son rectángulos, no tiene rectángulos en sus caras laterales, etc.) dejan fuera estos ejemplos.

Así pues, ejemplos que conviene considerar para que se identifiquen como de una u otra familia son los modelos que indicamos en la actividad T-11e: los paralelepípedos rectos (con caras laterales cuadrados o rectángulos genéricos) de bases rombos o paralelogramos genéricos (que no son rombos ni rectángulos). Estos modelos, que la mayoría de los estudiantes los identifica como prismas oblicuos, proporcionan una gran riqueza al aprendizaje a partir de las actividades propuestas. Por un lado, con ellos se puede subrayar que puede haber prismas oblicuos que tengan alguna de sus caras laterales rectángulos. Por otro, llamar la atención sobre que también pueden considerarse prismas rectos (de bases rombos o paralelogramos respectivamente) puede llevar a precisar la idea de prisma recto y oblicuo para que las familias de los prismas rectos y oblicuos sean excluyentes o disjuntas.

El hecho de que en estos modelos todo par de caras pueden ser bases y que con las ideas que tenemos de estas familias los modelos pueden ser tanto rectos como oblicuos, según los pares de caras que elijamos como bases, lleva a que o bien no aceptemos lo que ya habíamos señalado, que las familias son disjuntas, o a revisar las ideas que tenemos de estas familias. Así, con la actividad T-11e se puede llamar la atención sobre el hecho de que dejaría de cumplirse una característica del tipo de clasificación que hemos trabajado: las familias establecidas dejarían de ser disjuntas, pues tendrían ejemplos comunes. Para mantener que las subfamilias sean excluyentes se puede hacer sentir la necesidad de precisar la idea de estas subfamilias para que podamos decir con seguridad a qué familia (de los rectos o de los oblicuos) tenemos que asignar estos modelos.

La mayoría de los estudiantes que participaron en nuestras experimentaciones cuando hicimos ver que estos modelos también se pueden considerar rectos de base un rombo o un paralelogramo, o bien expresaron que eran de ambas familias o los siguieron incluyendo en la familia de los prismas oblicuos. Las razones que dieron para ello fueron parecidas a la que dio uno de ellos: "No, sí, Mira. Si la mayoría... Si al ponerlo de distintas formas la mayoría son oblicuos, pues entonces yo digo que es oblicuo, y si la mayoría son rectos pues entonces yo digo que es recto".

En la discusión se expresaron ideas de prisma recto y oblicuo como la siguiente: "Un prisma es recto si podemos encontrar dos caras que se juntan con rectángulos y en otro caso el prisma es oblicuo", que llevan a que se incluya estos modelos como ejemplos de la primera familia. Esta es la idea que dejamos para estas familias, pero pasado un tiempo, en repetidas ocasiones nos encontramos con que al cuestionar la familia a la que pertenecían estos modelos, bastantes estudiantes los incluían de nuevo en los prismas oblicuos. De ahí que en los diferentes contextos en los que aparecieron fue necesario recordar que, al abstraernos de factores visuales y aplicar las ideas que nosotros habíamos ya precisado para prismas rectos y oblicuos, los modelos había que asociarlos a los prismas rectos; pues se podía encontrar un par de caras que se juntaran con rectángulos. También subrayamos que tendríamos que elaborar una idea nueva para estas familias, si quisiéramos incluirlos como ejemplos de los prismas oblicuos. Remitimos a Guillén (2005), que se referencia en la sección Para conocer más, donde se puede obtener más información sobre cómo se puede seguir desarrollando actividad a partir de estos paralelepípedos.

E) Las propiedades de los prismas rectos que pueden extenderse a otras familias de sólidos rectos. Finalmente, con respecto a las actividades de las tareas T-10 y T-11 también queremos comentar las que remarcan que no todas las propiedades de los prismas rectos, o de los prismas oblicuos, pueden extenderse o adaptarse a las familias de rectos u oblicuos establecidas en los antiprismas, pirámides o bipirámides. Al abordar estas actividades en clase se puede destacar que la única propiedad, además de las de la familia correspondiente, que verifican los antiprismas, pirámides o bipirámides, rectas es: la altura dibujada desde el centro de una base, o desde el ápice, cae exactamente en el centro de la otra base.

En las experimentaciones realizadas una gran variedad de estudiantes aplicaban a las familias de los antiprismas, pirámides y bipirámides, rectas, las propiedades que previamente se habían delimitado para los prismas rectos. Y el error resultó difícil de corregir. Se repitió en varias actividades que se realizaron en tiempos diferentes. Si esto ocurre es pues necesario que volvamos a los modelos de los ejemplos concretos para que los estudiantes puedan verificar que la propiedad indicada no la cumple la familia señalada.

F) La actividades T-12b a T-12e. Pretenden que se lleguen a descubrir las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides convexos relativas a los diferentes tipos de ángulos y de diagonales, que indicamos en el apartado ¿Qué propiedades cumplen? de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos?, como propiedades de estas subfamilias.

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