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Descripción de los prismas. Diferentes tipos de ángulos

12- Tipos de ángulos en los sólidos. Vamos a ver de qué manera nos pasaremos de ángulos en el plano lo podemos adaptar al espacio.

Cuando estamos con sólidos, por ejemplo con los prismas, vamos a distinguir tres tipos de ángulos, lo que vamos a llamar ángulos de las caras [aC ], los que vamos a llamar ángulos diedros [aD ], y lo que vamos a llamar ángulos de los vértices [aV ] [lo apunta en la pizarra] Y hay otro que sólo lo voy a nombrar, ángulo poliedro [aP ]. Vamos a llamar ángulo de la cara que lo vamos a simbolizar así aC; ángulos diedros aD; ángulos de los vértices aV; ángulo poliedro aP.

Bueno pues empezamos, ángulos de las caras, pensar en cualquier sólido, en cualquier poliedro, por ejemplo en este [prisma de base irregular recto] lo desmontamos, me quedarían dos polígonos así, luego rectángulos [los dibuja en la pizarra] los que haya, lo desmontamos, lo podemos desmontar de varias maneras, podemos tener el polígono y los rectángulos pegados [hace el dibujo]. El caso es que cuando lo tengo extendido en el plano, cuando lo tengo en el plano tengo polígonos que pueden estar sueltos o juntos; si están juntos estarán en el desarrollo y esos polígonos tienen unos ángulos, que cuando lo montamos otra vez esos polígonos siguen teniendo unos ángulos. Me da igual que estén montados o que estén desmontados, tanto cundo está desmontado como cuando está montado, los polígonos tienen unos ángulos, pues a esos ángulos se les llama ángulos de las caras. Mirad que el nombre hace referencia a eso, son los ángulos de la superficie de las caras, los mismos que ya conocemos, son los ángulos que vienen del plano, solo que ahora no de un polígono sino de varios. Si hablamos de los ángulos de las caras de un prisma tenemos que pensar en los ángulos de las bases y también en los ángulos de las caras laterales,

[…]

El ángulo diedro lo forman dos caras. En el plano, ángulo hace referencia a dos lados [lo dibuja en la pizarra] que se juntan en un vértice. Si me voy al espacio, lo que tengo en el plano, dos segmentos que se juntan en un vértice [lo muestra con los dedos de las manos, cuando me voy al espacio, ¿cada segmento en qué se convierte?, en una cara, o sea, cada segmento de ahí, se me convierte en una cara [lo muestra con las manos y lo dibuja en la pizarra]. Tengo dos caras que se juntan [lo muestra con el material; abre más o menos los polígonos que ha juntado]

Figura 26

¿Pero el vértice en qué se ha convertido? En una arista, o sea, que el análogo al ángulo en el plano es, cuando el ángulo del plano me lo paso al espacio se me convierte en ángulo diedro. El ángulo diedro está formado por dos caras, y cuando hablamos de ángulo diedro, igual que en el plano hablamos de vértice, un ángulo en el plano siempre hablamos de vértice y de dos segmentos, cuando estamos con los ángulos diedros ¿de qué hablaremos? De arista y de caras.

[…]

¿Ángulos de los vértices qué sugiere? ¿dónde me voy a poner a mirar si hablo de los ángulos de los vértices? En los vértices. Si me hablan de ángulos de los vértices me voy a poner a mirar los vértices, y si me pongo a mirar los vértices ¿Qué observo?

[Coge el modelo de la E], que están más o menos picudos, que están más o menos picudos, están más o menos abiertos. En éste ahora [coge un prisma de base regular oblicuo] éste está un poco más abierto que éste ¿Y de qué depende que esté más o menos picudo?

Figura 27

Depende de los ángulos que s juntan en ese vértice, o sea, el que el ángulo de un vértice esté más abierto o menos, esa es una observación, siempre observaciones y luego ya las matizaremos, el que esté más abierto o menos un vértice depende de los ángulos de los polígonos que se juntan en ese vértice [Dibuja una pirámide triangular para ejemplificar]. ¿Cómo vamos a calcular cuánto mide un ángulo de un vértice? Tendré que considerar todos los ángulos que se juntan en ese vértice ¿Y qué operación nos va a considerar todos para ver que tan abierto está? ¿Qué operación me lo dirá?

-alumno: la suma

Una suma, entonces ángulo de un vértice va a ser la suma de los ángulos de los polígonos que se juntan en ese vértice.

Inmersos en tareas de descripción de los prismas se centra ahora en elementos de los prismas, como son los diferentes tipos de ángulos. Primero repasa el concepto de ángulo en los polígonos y extiende este concepto a ángulos en los poliedros. Relaciona elementos del plano con elementos del espacio.

13- Cómo medir ángulos diedros. [Se ha planteado la cuestión de cómo medir los ángulos diedros. Los estudiantes se fijaban en los bordes de los polígonos que formaban el ángulo diedro] Un ángulo diedro lo forman dos caras, si nos fijamos en el borde son los lados del polígono de la base de los prismas y eso es un error. En los rectos sí que sirve porque lo que hay que seleccionar para medir un ángulo diedro es la perpendicular a la arista, o sea, yo tengo dos caras, las dos manos, las dos caras cuando las junto forman una arista [lo va mostrando como si sus manos fueran caras]

Cuando se forma una arista tengo un ángulo diedro, también tengo un ángulo más o menos abierto, entonces si yo quiero medir ese ángulo diedro no puedo elegir el borde que a mi se me ocurra ¿Qué segmentos tengo que elegir?

Si yo lo pongo así que es como mejor se ve [la “arista” horizontal] los bordes que yo tendría que elegir son los que salen al cortar perpendicularmente a la arista.

Figura 28

Y esos son los dos segmentos del ángulo, o sea los segmentos que se cogen para medir ángulos diedros y que sea el ángulo del plano. El ángulo diedro sería igual al ángulo del plano, no son los primeros segmentos que se me ocurran, sino que tienen que ser necesariamente los perpendiculares a la arista, los que forman con la arista un ángulo de 90º.

La clase continúa determinando el número de ángulos de los diferentes tipos que tiene un prisma n-agonal. En los apartados Sobre los elementos de los sólidos y ¿Qué propiedades cumplen,...? se puede obtener información sobre cómo se han desarrollado en clase estas cuestiones.

Al analizar el tipo de actividad matemática que se ha desarrollado se podría concluir que a partir de la descripción de los prismas:

Se introducen ideas para los elementos que los conforman y se verbalizan propiedades relativas a estos elementos. Como estas propiedades se observan a partir de ejemplos concretos, se verifican en los ejemplos representativos y se extienden a todos los prismas se está trabajando un tipo de generalización que luego se verifica explicando la propiedad a partir de un prisma general.

Se relacionan diferentes tipos de ángulos y éstos con otros elementos de los prismas: al medir los ángulos diedros, al presentar un ejemplo de prisma regular oblicuo y pedir que se mida en él un ángulo diedro, el ´número de ángulos diedros es el número de aristas, …

También se trabajn los tipos de generalización que hemos indicado cuando se hallaba el número de caras, pero en este caso al calcular el número de ángulos de las caras de un prisma n-agonal. Como se muestra en el apartado ¿Qué propiedades cumplen…? la cuestión se puede resolver utilizando diferentes estrategias. Algunas conllevan razonamiento deductivo, operar con expresiones algebraicas, ....

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En algunas clases de geometría ¿Qué? ¿Cómo?

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