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Sobre contenidos geométricos Sobre el número de caras, vértices y... de prismas y pirámides 17- Aquí [prismas] lo que observo es que los vértices son del mismo orden; son de orden tres. El orden de los vértices es tres [lo va apuntando en una tabla en la pizarra], en todos; siempre se juntan 2 caras laterales y la base o dos aristas de la base y una arista lateral. ¿Puedo decir algo equivalente a eso para las pirámides?
[…] Característica de las pirámides: hay vértices de dos tipos. Por eso se destaca en los prismas que todos los vértices son del mismo orden, porque hay familias donde no lo son. En las pirámides está el vértice ápice ¿Qué de qué orden es? Es de orden…, La observación que ha dicho él, hay tantas aristas como lados tiene la base, hay tantas aristas en el ápice, hay tantas aristas como lados tiene el polígono de la base, o tantas caras como lados tiene el polígono de la base se puede decir en términos de orden del vértice ápice. El vértice ápice es de orden n. En una pirámide n-agonal el vértice ápice es de orden n Además tenemos vértices de la base. ¿Cuántos vértices de la base tenemos? -alumnos: n n, los mismos que lados tiene la base ¿Y de qué orden son?
-alumno: tres ¿Tres? Siempre se juntan dos caras laterales y la base [dibuja una pirámide y señala las caras laterales y la base]. Tendría esa cara lateral, esta cara lateral y la base. […] Ahora nos faltarían los números ¿Cuántas caras hay? ¿Cuántos vértices? ¿Cuántas aristas? […] Vale pues, n+1 [lo anota en la tabla] ¿Y por qué hay una diferencia de uno con respecto a las caras que tiene un prisma? Claro, una base no está, una base se ha eliminado, hay una cara menos. […] Me doy cuenta de que hay una cara menos porque tiene una base menos ¿Qué pasa con las aristas? Bueno, vamos a hacerlo primero con los vértices ¿Cuántos vértices tiene una pirámide n-agonal? -alumno: n+1 Primero calculo, hay n en la base, tantos como en la base y luego el ápice ¿Y si lo comparara con los vértices de los prismas, qué pasa? Si yo estuviera pensando en un prisma hexagonal y estuviera pensando en una pirámide hexagonal ¿Cuántos vértices menos habría en la pirámide que en el prisma? [espera respuesta] cinco. Y si estuviera pensando en un prisma y en una pirámide en los que la base tuviera la 20 lado, ¿cuál sería la diferencia de vértices? -alumnos: 19 19 ¿Por qué? ¿Cómo lo expresaríamos? -alumno: porque sigues teniendo los vértices de una base, pero la otra base en vez de n ahora sólo tiene uno […] Pasemos ahora a las aristas. En los prismas, las aristas las determinamos como las n de una base, las n de otra base y las n que enganchan, juntan, ambas bases ¿Qué pasa en las pirámides? ¿Cuántas tengo? -alumno: dos ene Dos ene, las n de una base y las n laterales. Yo lo puedo hacer de varias maneras; una sin buscar relaciones. Puedo utilizar diferentes estrategias. En una de ellas calculo cuántas aristas hay en las pirámides y no tengo para nada en cuenta a los prismas. Digo, n de una base y las n laterales, luego en total 2n, […] Si yo quiero construir una pirámide con pajitas, si yo quiero construir un armazón de pirámide con pajitas de refresco y bolitas de plastilina ¿Qué haría?, pues construyo el polígono de la base, que lo puedo construir como lo quiero, así [dibuja un polígono cóncavo] ¿Ahora qué hago?, el problema lo tendré en que luego me lleguen las varillas que he puesto para las aristas laterales. Además, para que se junten todas en un vértice no pueden tener cualquier medida. Si construyo el armazón sin tener en cuenta cuánto tienen que medir y preocupándome de que se puedan juntar en el vértice ápice, seguro que tendré que cortar alguna de ellas. Pero, ¿qué hago para construir el armazón de las pirámides? Añado una varilla en cada vértice de la base y luego las junto todas. El problema lo tendré con la longitud para que lleguen todas y ajusten. Pero ahora nos estamos preocupando de cuántas aristas tiene la pirámide n-agonal: n en una base y luego las n laterales […] en total tengo 2n. Y si ahora quiero buscar relaciones, si quiero comparar las que tiene un prisma con las que tiene una pirámide ¿Qué pasará cuando estoy trabajando con un prisma hexagonal? Si la base tiene 6 lados, ¿cuántas aristas tendrá más el prisma que la pirámide correspondiente? -alumnos: 6 6, Y si tiene 20 lados la base, ¿cuántas aristas tendrá más el prisma que la pirámide correspondiente? -alumnos: 20 20 ¿Por qué? Porque me desaparecen todas las aristas de una base. […] Vamos a hallar ahora los ángulos de las caras de una pirámide n-agonal. Para los ángulos de las caras, al igual que al hallar los ángulos de las caras de los prismas tenemos diferentes estrategias, diferentes maneras de determinar las expresiones que me los dan. Pues lo que tenéis que hacer ahora, para cada una mirar si se puede extender a las pirámides o no. Como ejemplo, yo voy a verlo con una de ellas. En los prismas razonaba de la siguiente manera: como tengo tres ángulos de las caras por cada vértice y todos los vértices tienen el mismo orden, el número de ángulos de las caras es tres por el número de vértices ¿Esta estrategia se puede trasladar tal cual a las pirámides? No, esa manera de razonar no serviría tal cual para las pirámides, pero sí que podríamos desglosarla y decir: hay n ángulos por el ápice y hay tres ángulos por cada vértice de la base, luego en total 4n [va llenando la tabla] -alumno: ¿se podría desglosar en base y caras laterales? Por supuesto, esa sería otra estrategia. De hecho, la estrategia más sencilla era esa, la que desglosaba en caras laterales y en bases. £C = £CL + £Bs ¿Cuántas caras laterales tengo? n ¿Cuántos ángulos por cada cara? 3, luego en las caras laterales tengo en total 3n ¿Y en la base, cuántos? n. Luego £C = 3n+ n = 4n […] Y si preguntáramos ¿Cuántos ángulos de las caras hay menos que en los prismas, podemos determinarlo rápido? Aquí ya es más complicado. Por lo menos n menos por una base ¿Y qué pasa en las caras laterales? -alumno: sale uno menos por cada uno Sale uno menos por cada uno, luego ¿cuántos menos? Pregunta ¿Cuántos ángulos menos de las caras van a salir? […] Si pensamos en las bases ¿cuántos ángulos menos nos salen? ¿Y cuántas menos por las caras laterales? […] Al fijarnos en los ángulos de las bases o de la base, si jugara con una pirámide hexagonal, en las pirámides tendría 6 menos. Si jugara con una pirámide cuya base tenga 20 lados, tendría 20 ángulos menos, ... En un prisma pensaríamos en los de esta base y los de ésta [dibuja dos polígonos], mientras que en las pirámides sólo tengo una base, luego en las pirámides tengo n ángulos menos, cuando la pirámide es n-agonal. Los n ángulos que corresponden a una de las bases del prisma.
Y en las caras laterales también tenemos menos ángulos aunque la pirámide y el prisma correspondiente tengan el mismo número de caras laterales, porque este número depende del polígono de las bases. Si la base fuera un polígono de 20 lados, tendría 20 caras laterales paralelogramos o triángulos respectivamente, con lo que en las pirámides tendría 20 ángulos menos en las caras laterales. En los prismas las caras laterales son paralelogramos, mientras que en las pirámides son triángulos, luego ¿Qué pasa? ¿Qué observación puedo hacer? Por cada cara lateral tengo un ángulo menos. Cuando considere todas las caras laterales ¿cuántos ángulos menos tengo? n, Luego por las caras laterales tengo también n menos. Como habíamos determinado que el prisma n-agonal tenían 6n ángulos de las caras y las pirámides tienen 2n menos, entonces la pirámide n-agonal tendrá 4n ángulos de las caras. Ya veis que tenemos varias estrategias para hallar el número de elementos de los prismas y de las pirámides y cada estrategia tiene en cuenta unas propiedades u otras o relaciones entre familias de sólidos. La primera estrategia que se fijaba en los tipos de vértices y su orden; la segunda, en los tipos de caras (caras laterales y bases) y el número de lados (ángulos) que tienen. La tercera, centra la atención en el paso del prisma a la pirámide correspondiente o a la inversa. […] Ángulos de los vértices ¿Cuántos ángulos de los vértices tenemos en los prismas? -alumno: n+1 Tantos como vértices, ¿n+1? Ángulos de los vértices,... A bueno... Tu dices en las pirámides, ¿Ángulos de los vértices cuántos tenemos? Tantos como vértices. Si estoy aquí en los prismas, serían 2n porque son 2n vértices y aquí en las pirámides serán n+1 […] Ángulos diedros,... ¿Un ángulo diedro qué era? El ángulo que formaban dos caras juntas. Cuando yo junto dos caras ¿qué me aparece seguro? -alumno: una arista Una arista alumno: habrá tantos ángulos diedros como aristas ¿Estáis de acuerdo? -alumno: claro Claro, es lo mismo que en el plano. Si yo junto dos lados yo no puedo olvidarme del vértice y un vértice siempre me da un ángulo, en el plano. Si yo junto dos caras, estamos hablando de los ángulos interiores, no me puedo olvidar de la arista, y el ángulo en el que nos fijamos, el ángulo interior, es justo el ángulo diedro.
Entonces, ¿cuántos ángulos diedros tenemos? Los mismos que aristas. La observación es lo que me interesa ¿Cuántos ángulos diedros tendremos? Los mismos que aristas ¿Cuántas aristas tenemos en una pirámide n-agonal? -alumnos: 2n […] Para hallar las diagonales de las caras de las pirámides vamos a ver si podemos aprovechar lo que hicimos en los prismas. Ese sí que fue un problema terrible, a ver si aquí nos sale más fácil. ¿Cómo calculábamos en los prismas el número de diagonales de las caras? Por un lado desglosábamos el problema en dos problemas. Determinábamos las diagonales de las bases y luego hallábamos las diagonales de las caras laterales. Y todavía teníamos que hacer unos cálculos algebraicos. ¿Qué pasa aquí en las pirámides? Súper maravilloso, porque las caras laterales son triángulos ¿Y qué pasa? ¿Qué pasa aquí en las pirámides? Súper maravilloso, porque las caras laterales son triángulos ¿Y qué pasa? -alumnos: no tienen diagonales Lugo súper maravilloso, porque todo lo que tiene que ver con las caras laterales y la parte algebraica del final no está ahora. Y además sólo tenemos una base. ¿Qué nos queda al final? Sólo
las diagonales del polígono de la base, y ya sólo es calcular
las diagonales del polígono; sólo tiene diagonales la base.
Y ese problema ya lo tenemos resuelto. Con lo que el número de
diagonales de las caras de una pirámide n-agonal viene dado por
la expresión dCPirámide n-agonal =
[…] Curiosamente el número de diagonales de un polígono es igual al número de diagonales de las caras de las pirámides; claro porque cuando desmonto las pirámides, las caras laterales son triángulos […] ¿Y qué pasa con las diagonales del espacio? Determinamos que un prisma n-agonal tenía n(n-3) diagonales del espacio. En los prismas, las diagonales del espacio juntaban vértices que estaban en las distintas bases. ¿Qué pasa en las pirámides? Que no hay, porque en cuanto intentemos unir el ápice con los vértices de la base, me salen las aristas laterales; y al juntar vértices de la base, salen diagonales de caras. Al tomar como soporte el estudio de las pirámides, el profesor se centra en relacionarlas con los prismas. Para hallar el número de caras, vértices aristas, diferentes tipos de ángulos y de diagonales de la familia de las pirámides aprovecha lo que se ha trabajado con los prismas y compara los números obtenidos. Al igual que se hizo con los prismas, se trabaja la generalización al encontrar las fórmulas para el número de caras, vértices y aristas,... También particulariza cuando en vez de encontrar simplemente la fórmula dirige las preguntas para ejemplos concretos de prismas y pirámides para que los futuros profesores puedan identificar la diferencia que existe entre la cantidad de caras vértices y aristas, ... en los prismas y las pirámides correspondientes. Y, al igual que en los prismas, se han utilizado diferentes estrategias para determinar los ángulos de las caras de las pirámides y se han subrayado las características de las pirámides en las que centran la atención cada una de ellas. También utiliza una estrategia en que lo que se toma como punto de partida es la transformación de un prisma en la pirámide correspondiente y se centra la atención en lo que se mantiene y se elimina en esta transformación. |
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