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Sobre contenidos geométricos Desarrollos de los prismas y pirámides 16- Comparando el modelo con los desarrollos. Otro procedimiento que teníamos para construir modelos era a partir de su desarrollo […] ¿Qué propiedades resalta el desarrollo? ¿Y qué propiedades rompe? Si yo tengo un prisma y veo su desarrollo, tengo un prisma recto y veo su desarrollo ¿cuántos rectángulos tengo en la tira? […] ¿Y hay condiciones? […] Para construir el desarrollo plano del cilindro lo abríamos y lo extendíamos todo de manera que nos quedara todo en una pieza. Luego el desarrollo mantiene el número de caras y mantiene la forma de las caras, refleja exactamente la forma de las caras. […] Con respecto a las caras el desarrollo es perfecto, porque encima en un modelo ¿Cuántas caras puedes ver? ¿Todas a la vez? Le tienes que dar la vuelta para poder ver lo de detrás. Si lo tienes dibujado no se ven; en un modelo dibujado se rompe la forma de las caras y encima se dificulta ver todas las caras. Con el modelo tengo que girarlo, luego cuando estoy trabajando la forma de las caras me va a interesar tener también el desarrollo, y ver que aquí en el desarrollo se ven todas las caras y se mantiene su forma de las caras. Nuevas preguntas que se podrían hacer, yo he puesto las dos bases ahí [desarrollo de prisma Hexagonal recto], ¿Pero se podrían añadir en cualquier otro lado de ahí? [espera respuesta] ¿Este hexágono lo podría poner ahí?
-alumnos: si Si, pero siempre que cuadre con el lado correspondiente. 16- ¿Cuántos? O sea, tenemos varios desarrollos diferentes de un modelo. Luego una actividad preciosa que sale es ¿cuántos desarrollos distintos tiene un determinado modelo? Eso ya es a nivel bastante más difícil. […] ¿Qué pasa con las aristas? ¿Las aristas se ven también en el desarrollo? ¿Se ven? [espera respuesta] ¿Cuántas aristas tiene un cubo? [espera respuesta] Eso sí que tenéis que saberlo eh!, contadlo de manera estructurada ¿Cuántas aristas tiene un cubo? las 4 de un lado, las 4 del otro y las 4 que enganchan ¿Cuántas tendría un cubo? -alumnos: 12 […] ¿Y aquí se ven 12 aristas? [señala uno de los desarrollos que están en la pizarra] ¿Cuántas se ven ahí? ¿Cuántos lados se ven? ¿Cuántas contarían?, las aristas no se ven claras, ahí se ven más trocitos que 12, se ven más lados de cuadrados que 12 ¿por qué se van más lados de cuadrados que 12?
-alumno: cada arista se descompone Porque las aristas se descomponen luego ¿Qué preguntas cabe preguntar? Me habéis dicho que cada arista se descompone, tengo 12 ¿Cuántos lados me van aparecer en el desarrollo? -alumno: 24 ¿24?, Vale pues lo apuntamos, como cada arista se descompone en dos, me aparecen 24 ¿Y salen 24 lados? -alumno: no No ¿Y por qué no? -alumno: porque hay unas que sí y otras no Hay aristas que se descomponen y hay aristas que no se descomponen, y la pregunta que vendrá ahora ¿Y podremos decir algo sobre cuántas se descomponen y cuántas no?, siguiente pregunta ¿Se descompondrán las mismas en todos los desarrollos?. […] O sea que como tengo 12 aristas, tengo 24 lados-, tengo una conjetura ¿Y ahora qué hacemos? Ver si se cumple o no se cumple, estamos introduciendo manera de justificar, hago conjeturas y las compruebo en ejemplos para ver si se cumple o no se cumple […] ¿Qué problemas nos podemos plantear?, por un lado ¿Qué aristas se han dividido en 2? ¿Qué pasará cuando construya el modelo?, ¿Se juntaran las que se han dividido en dos? Al construir el modelo ¿qué va a pasar? Se van a juntar, pregunta ¿Qué aristas se han dividido en dos? ¿Qué lados de los cuadrados se convierten en una arista? [apunta en la pizarra:] ¿Qué aristas se han dividido en 2 al pasar del modelo al desarrollo? ¿Qué lados se juntan al pasar del desarrollo al modelo? […] ¿Qué lados se juntan para formar una arista? Por ejemplo éste y éste [los marca en el desarrollo] se juntarán. Y éste se juntará con éste. Y los demás ya no es tan fácil; desarrollaríamos la visión espacial.
Otra pregunta ¿en todos los desarrollos tengo los mismos lados sueltos? ¿En todos los desarrollos tengo los mismos lados que luego se tienen que juntar? ¿En todos los desarrollos del cubo que yo construya? Porque ya hemos dicho que hay varios ¿tendré los mismos lados sueltos que se tengan que juntar?, Si aquí tengo 14 ¿en todos tendré 14 lados que se tienen que juntar? Si pongo lengüetas (pestañas), estas son preguntas que van saliendo, si pongo lengüetas ¿cuántas lengüetas tendré que poner? [espera respuesta] ¿Las tengo que poner siempre igual o tengo distintas formas de ponerlas? ¿Cuántas maneras diferentes tengo de ponerlas? Es interesantísimo, vosotros en primaria, seguramente pondréis algunas diferentes, todo eso serían problemas que se pueden plantear. Las aristas se me rompen, pero no se rompen todas, como no se rompen todas, la observación es que unas se rompen y otras no. Y ahí es a donde quiero llegar ¿Cuántas se rompen? Y tengo dos formas de plantearlo, del espacio al plano o del plano al espacio. […] Otras actividades que se pueden plantear pueden ser del tipo en el que se cuestiona si 6 cuadrados unidos lado a lado es desarrollo del cubo o no. Ese ¿será o no será desarrollo del cubo? ¿Si o no? [espera respuesta]
Este no lo habíaís visto nunca como desarrollo del cubo ¿verdad? -alumnos: no Bueno vamos a imaginar poniendo un cuadrado de base. Ésta, por ejemplo que sea la base, [marca un cuadrado] Para que lo hagáis en casa; os ponéis varias formas diferentes que se obtienen juntado cuadrados lado a lado (se llaman hexaminós) y después imaginar si es desarrollo del cubo o no lo es. Ésta es una actividad que tenéis que practicar. Por ejemplo éste [4 en línea y dos en línea] ¿ese será o no? Éste es fácil ¿no? En éste no hay manera de hacer un vértice [marca el vértice que queda entre cuatro cuadrados] Éste, está clarísimo que no porque estos 4 están plano, no, no formarán vértice del cubo.
Y éste otro? [4 en línea y con del mismo lado], Hay unos que son muy fáciles, ¿Será o no será desarrollo del cubo? Éstos 4 cuadrados en línea serán las caras laterales, entonces éstos no pueden estar del mismo lado. Hay algunos que es muy fácil saber si se puede o no, basando la respuesta en propiedades del cubo: tiene que haber 4 en línea, tiene que haber 4 para la pulsera, entonces éstos tienen que estar cada una en cada lado para cerrar, luego éste no es. Y el otro tampoco porque tiene que haber como mucho tres en un vértice porque los vértices del cubo son de orden 3. En los desarrollos tiene que haber como mucho tres cuadrados en un vértice. La justificación no la hacemos porque sí, porque me la imagino, me baso en propiedades: aquí 4 en línea, 4 en línea son las caras laterales y los otros dos tienen que estar uno a cada lado, son las bases. Para el otro, también se explica que no es desarrollo porque sólo puede haber 3 cuadrados como mucho, tres en cada vértice y ahí hay 4. Pero en éste ya no lo tenemos tan fácil [el escalonado]. Por eso empiezo, me voy a basar en la base. Voy a fijar una cara como base; cualquier cara puede ser base, pues vale. Si ésta es la base, esta otra ¿en dónde quedaría? ¿arriba, a la derecha, a la izquierda, delante o detrás?
Para el tetraedro podríamos también plantearnos cuántos desarrollos diferentes tiene. ¿Éste sería desarrollo? [dibuja un desarrollo de tetraedro] ¿O no lo sabéis si será o no? ¿Será desarrollo? Y hay otros ¿Será éste desarrollo? [dibuja otro desarrollo de tetraedro] ¿Y este otro? ¿Será desarrollo o no? ¿Tiene otros que no hayamos puesto?
El profesor introduce el estudio del desarrollo plano de un sólido, primero recuerda cómo se había trabajado el del cilindro, y a partir de ahí se centra en el desarrollo para los prismas, ahora después de que en un principio el desarrollo plano se utilizara como un medio para comunicar que se estaba pensando en algún sólido, ahora se convierte en la situación de partida para trabajar más sobre las pirámides. A partir de esa situación hace un estudio de las propiedades del desarrollo, lo describe utilizando propiedades geométricas, lo analiza también como un medio para describir propiedades del sólido, relaciona el desarrollo con el sólido al establecer qué propiedades del sólido se pueden identificar en el desarrollo. A partir de los desarrollos del cubo y del tetraedro se trabaja también la visualización y se plantean una gran variedad de problemas que conllevan la elaboración de conjeturas y justificaciones. 16- ¿Cuántas pirámides de caras regulares? Si yo quiero construir con triángulos equiuláteros, ¿cuántas pirámides tendré con triángulos de estos bonitos? [muestra el material comercializado, triángulos equiláteros] ¿Cuántas pirámides tengo con base un polígono regular? Construyo con material comercializado y empiezo... Para la base un triángulo, empiezo a construir, tengo el desarrollo, construyo y desmonto. Construyo con material comercializado y desmonto y me sale el desarrollo o al revés, tengo el desarrollo y construyo el modelo [dibuja un desarrollo del tetraedro].
Lo que menos me interesa es construir el modelo a partir del desarrollo eh!, porque hay otras maneras más fáciles; con material comercializado se construye mucho más rápido. Me interesan las cuestiones que se pueden plantear y resolver a partir de esta situación. Bueno y si en vez de empezar con un triángulo, empiezo con un cuadrado y hago lo mismo, lo bordeo de triángulos, pues tendré con un triángulo, con un triángulo, con un triángulo y con un triángulo [dibuja un desarrollo de una pirámide cuadrangular y CL triángulos equiláteros] ¿Ese será el desarrollo? Ese será uno; ya sabemos que hay otros.
[...] ¿Puedo construir pirámides a partir de un pentágono y triángulos equiláteros? A ver... pentágono, ese es el desarrollo más fácil porque lo bordeo [dibuja un desarrollo de una pirámide pentagonal y CL triángulos equiláteros] y construyo la pirámide, pongo la base, levanto los triángulos y los junto todos ellos en el ápice.
¿Puedo continuar así indefinidamente?, ¿Cuántas puedo construir así, base regular y caras laterales triángulos equiláteros? A ver ¿cuántas pirámides tenemos de ese tipo? [señala los desarrollos que ha dibujado de las pirámides de base regular, triangular, cuadrangular y pentagonal] ¿Podemos seguir?, un hexágono, pongo triángulos [lo dibuja], sigo ¿cuántas pirámides de ese tipo tendré? [espera respuesta], ¿O no puedo seguir? ¿Si o no? -alumno: si Si ¿cuántas tendré? -alumnos: infinitas Infinitas, ¿Nadie opina lo contrario? Bueno pues vamos a construir algunas, y empezamos con triángulos con el material comercializado, ya la tengo construida [muestra el modelo], la doblo y se juntan, el cuadrado, lo tengo aquí, el cuadrado le pongo los triángulos, luego lo doblo y se juntan, o sea, mi estrategia para construir sería: pongo el polígono lo bordeo de triángulos y lo junto. Una observación que hago es que todos los triángulos se juntan en un vértice [lo apunta en la pizarra]. Ya sabéis que las observaciones que se hacen cuando se está construyendo nos las apuntamos porque a veces las interpretamos después en términos geométricos. Ah! Bueno! Primero pongo el polígono bordeado de triángulos y luego doblo los triángulos y los junto en un vértice. Pregunta, ¿voy a tener problema para que pase todo eso? Para construir el desarrollo con los polígonos que tengo aquí, no, porque tengo los polígonos y tengo los triángulos; sin problema. ¿Y voy a tener problemas para lo otro, para juntar todos los triángulos en un vértice? ¿Qué pensáis, que voy a tener problemas o que no voy a tener? -alumno: si ¿Si? ¿Por qué voy a tener problemas? A ver pensar ... Vamos a pensar en uno lejos [dibuja un polígono de muchos lados], son triángulos equiláteros eh! ¿Qué va a pasar?
-alumno: no van a llegar Que no van a llegar. Para algunos polígonos, cuando le ponga los triángulos equiláteros no van a llegar para juntarlos, luego ¿qué es lo que pasa?, no vamos a tener tantas pirámides como pensábamos. -alumno: ¿triángulos equiláteros verdad? Sí, que sean triángulos equiláteros, ojo!, si fueran isósceles los alargo y ya está, lo alargo para que llegue. -alumno: si fueran isósceles ¿sí? Si fueran isósceles sí, claro los alargo para que lleguen y ya se pueden juntar todos ellos en el ápice. Y ahora ¿qué pregunta viene?...¿Cuántas se pueden construir? Si no puedo construir todas las que pensaba, la siguiente cuestión será cuántas puedo construir... Para saber cuántas puedo construir, pues voy construyendo de manera sistemática, y cuando llego al pentágono ¿qué pasa? ¿Qué pasa con el ápice? Cada vez se va acercando más [hace un movimiento con las manos hacia abajo], voy construyendo y voy observando ¿Y qué observo? Que cada vez el ápice se me acerca más a la base,
[…] ¿Qué pensáis que va a pasar en el hexágono? Con lo que habéis visto vosotros otras veces ¿qué pasa en el hexágono? -alumno: que queda plano. Construimos y en el hexágono se queda completamente plano. Escribimos la observación: en los que sigue no llega y en el hexágono se me queda plano. Y esa observación lleva a la pregunta de ¿por qué se queda plano? ¿Qué pasa cuando pongo 6 triángulos juntos? -alumno: se forma un hexágono Cuando pongo 6 triángulos se queda plano y por eso se solapa, forma un hexágono ¿Y por qué se queda plano? ¿Por qué se forma un hexágono? ¿En términos de qué lo vamos a razonar? -alumno: en la suma de los ángulos Claro, en la suma de los ángulos. Si yo ahí veo ángulos, la manera de interpretar que me ha pasado eso, es en términos de ángulos ¿Cuánto mide el ángulo de un triángulo equilátero? 60º, 180º los tres, 180º mide la suma, como los tres son iguales, 180 dividido por tres 60. O sea, la suma de los ángulos de un triángulo
180 [ […] Cada ángulo mide 60 en cuanto pongamos 6, pues sale 360 y queda plano, se queda sobre la base. O sea, al poner un hexágono, al partir de un hexágono los triángulos se quedan sobrepuestos ¿Y qué pasa después? Que ya no llegan para formar vértice. ¿Cómo podemos decir también la observación de que cada vez el ápice se acerca más? Pues eso se puede decir en términos de la relación que hay entre la medida del lado y la distancia del centro del polígono regular a los vértices. Si yo comparo el lado, con esta distancia [marca la distancia del centro a un vértice] a medida que aumenta el número de lados de un polígono, la relación que hay entre el lado y la distancia del vértice al centro disminuye. A partir de una familia especial de pirámides (las pirámides de caras regulares) se aproxima a la clasificación enumerando todos los elementos de esta familia. Ahora, los criterios para establecer la familia son reglas de construcción y se incide especialmente en la enumeración de los ejemplos. La construcción de pirámides con caras laterales triángulos equiláteros a partir de construir el desarrollo plano, además de centrar la atención en que podemos identificarlas por éste, facillita argumentar para dar una prueba matemática: prueba por enumeración de posibilidades donde los razonamientos pueden apoyarse en la construcción. A partir de la construcción se constata que no puede haber más que la pirámide triangular, cuadrada y pentagonal que tengan caras regulares. Lo experimental es también el soporte para la prueba deductiva que se hace a partir los ángulos de los polígonos y la relación que hay en los polígonos regulares entre la medida del lado y la distancia del centro del polígono al vértice. |
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aquí hay tres iguales, si hay tres iguales ¿cuánto
medirá cada uno? 60, cada uno, el ángulo de un triángulo
equilátero [
] si hay 6 pues me queda , 6 x 60 - 360.