(¿Se aplican ideas que se tienen que revisar?)

¿A qué famila se asocia?

En este apartado se incluyen respuestas de estudiantes para maestro o de maestros en ejercicio cuando en el contexto de una clase o de un curso taller se les plantearon tareas de identificación y de descripción de familias de sólidos. En estas respuestas algunos ejemplos o propiedades se asocian a una familia más general que aquellas para la que es atributo crítico porque como ejemplos de esta familia general sólo se tienen en cuenta aquellas subfamilias o en ejemplos específicos que tienen más peso en la imagen que se ha constituido el estudiante para esta familia. También incluimos otras respuestas en las que que ocurre lo contrario; ejemplos y propiedades que son atributos críticos de una familia de sólidos no se asocian a ella sino a una familia más específica; en algunos ejemplos de la familia general aparecen distractores que dificultan que para ellos se identifique la propiedad.

{1}

No son prismas. Están formados por varios ortoedros juntos. Sus caras son rectángulos.

figura 12
{2}

No son prismas. Son paralelepípedos. Varios juntos, porque al cortarlos las caras son paralelas dos a dos.

{3}

El azul no es prisma. No tiene bases iguales. O también porque sus caras laterales no son paralelogramos (es trapecio).

figura 13
{4}

El pentagonal es prisma. Tiene caras paralelogramos. Las bases están giradas y por eso sale un prisma raro. No lo hemos visto antes.
{5}

El pentagonal es prisma. Tiene dos bases polígonos iguales y paralelos. En éste están girados. Por eso salen paralelogramos curvos.
{6} Prisma irregular (el verde) por no tener sus bases iguales (de tamaño), pero de forma sí ya que son ambas cuadrados.

figura 14
{7} Prisma. Su base es la cara más grande
{8} Es prima recto. Se trata de un ortoedro, y como pertenece a esta familia, es recto. No puede ser oblicuo.
{9} Es una pirámide y se llama pirámide truncada.
{10} El romboedro y la pirámide son rectos, sus lados son rectos.

figura 15
{11} Un modelo es recto porque no tiene aristas curvas, o porque tiene aristas rectas. Los tres son rectos.
{12} En los prismas las aristas son rectas. Compruebo. En este sí, en este sí, en este sí, en éste no (se refiere al oblicuo). Deja de ser propiedad. Los prismas no verifican la propiedad.

figura 16
{13} Prisma recto implica que las caras laterales son iguales. Por ejemplo, el prisma triangular.

figura 17
{14} Los antiprismas no pueden ser rectos porque las caras laterales son triángulos en vez de cuadrados o rectángulos.
{15} Antiprisma recto porque las caras laterales son perpendiculares a la base.
{16} La base es regular porque es un pentágono.

figura 18
{17} Es de base regular, ya que las caras son iguales.
{18} En el antiprisma las caras son regulares (iguales)
{19} Los prismas tienen caras laterales paralelogramos, luego iguales.
{20} Las caras laterales de las pirámides son triángulos, luego iguales.
{21} Las diagonales de las caras son iguales. Serán iguales cuando la forma y la medida de las caras sean iguales. No lo serán si sus caras bases son polígonos irregulares. Solamente serán iguales las diagonales de dichas caras bases siempre.
{22} Las diagonales del espacio Sí. se cortan en el centro del prisma porque van de un vértice a otro que no corresponda a un vértice de las tres caras que unen al citado vértice.
{23} Las diagonales del espacio se cortan en el centro del prisma. No es una propiedad porque sólo se cumple para prismas rectos y convexos no para los cóncavos y ni para los oblicuos.
{24} Las diagonales del espacio se cortan en el centro del prisma sólo en los que tienen como base un polígono regular.

Respecto de las respuestas {1} a { 24} cabe señalar:

Las respuestas {1} a {3} hacen referencia a los modelos que son prismas pero que no se identifican como ejemplo. Las dos primeras son respuestas muy usuales entre estudiantes para maestro. Cuando las bases de un prisma tienen ángulos internos y externos rectos algunos estudiantes descomponen la base en rectángulos y al ser el prisma recto se obtienen diferentes ortoedros. Respuestas de este tipo se pueden utilizar en clase para discutir sobre lo que se entiende por cara de un sólido, si formas como las de las bases de los prismas de la figura con forma de letras (de E y de L) son polígonos o no. También se puede discutir sobre lo que ya se ha indicado en Sobre los elementos de los sólidos al hablar de ideas ingenuas; a partir de un prisma, cuando se trunca (corta) paralelamente a las bases, se pueden obtener otros prismas que tienen la misma base que el de partida. Cuando se trunca perpendicularmente a las bases, se pueden obtener otros prismas con la misma altura que el de partida; y en estos ejemplos de prismas, cuando se realizan cortes perpendiculares a las bases, se pueden obtener ortoedros.

La respuesta {3} muestra también una respuesta muy usual. Algunos estudiantes para maestro no identifican como ejemplo de prisma los prismas de bases trapecios que no están apoyados en las bases. En esta respuesta, si bien se ha observado que los trapecios no son paralelogramos, por lo que no pueden ser caras laterales de los prismas, no se ha contemplado la posibilidad de que los trapecios sean las bases, posiblemente por el peso que tiene en este estudiante la idea de base como cara de apoyo. Entrevistas que hemos tenido con estudiantes para maestro han apuntado que respuestas como éstas pueden surgir también porque se centra la atención en que las caras laterales tienen que ser paralelogramos; uno se preocupa de explicar que el trapecio es cuadrilátero pero no es paralelogramo, por lo que no puede ser cara lateral. La atención que se pone en expresar las relaciones entre los cuadriláteros porque conlleva bastante dificultad explica que uno se olvida de que también hay que verificar si los trapecios pueden ser las bases y el resto de caras las caras laterales. Pero como uno de ellos indicó ¨¡Es que encima está apoyado en otra cara! Así es más fácil aún que no mires a ver si pueden ser las bases.

Pero fíjate, lo mejor es haber empezado si esa cara que no es paralelogramo puede ser base. En otra clase ya observamos que las caras con las que había que verificar primero si podían ser bases de un prisma era con las que no eran paralelogramos, porque si no son paralelogramos, no pueden ser las caras laterales de un prisma". Cabe señalar que cuando el prisma trapezoidal que se muestra se ha obtenido truncando un prisma hexagonal, como el modelo de la figura, identificarlo como prisma no conlleva dificultad.

figura 19

En las respuestas {4} a {9} se han identificado como ejemplo de determinadas familias de sólidos modelos que no lo son. En {4} y {5}, a pesar de que se ha observado en el modelo propiedades que no son de los prismas, pesa más en la imagen del concepto de prisma que tienen estos estudiantes la forma que tienen que se parece mucho a la de los prismas. Para explicar que les resulta ¨un prisma raro¨, o que no acopla razonando en términos de propiedades, uno extiende su idea de paralelogramo a los ¨paralelogramos curvos¨ y el otro lo justifica porque es un modelo que no se ha visto hasta entonces. Respuestas de este tipo pueden hacer surgir discusiones en clase que pueden llevar a recordar distinciones entre los sólidos con caras curvas y los poliedros que ya se hicieron en el contexto de construir formas. En los poliedros las caras son polígonos. Los polígonos son figuras planas. Las caras laterales de los prismas son paralelogramos; sus caras laterales no son curvas. Las bases están igualmente dispuestas, no están giradas la una respecto de la otra.

Las respuestas {6} a {9} identifican la pirámide truncada como prisma, como ortoedro y como pirámide. Cabe hacer comentarios análogos a los del párrafo anterior; respuestas de este tipo pueden llevar a revisar lass propiedades de las familias mencionadas y las ideas que se tienen sobre algunos de sus elementos. En relación con la respuesta {9} cabe subrayar que si bien el nombre de las subfamilias que se establecen con criterios visuales está formado por el nombre de la familia general y un adjetivo que hace referencia a la subfamilia que se ha establecido y que los ejemplos de estas subfamilias son ejemplos también de la familia general, en el caso de las pirámides truncadas del nombre que tiene no se pueden sacar las mismas conclusiones. El nombre proviene de que se ha obtenido realizando una transformación (cortar paralelamente a la base) en los ejemplos de las pirámides y de los dos sólidos que se obtienen no nos fijamos en la pirámide más pequeña que se ha obtenido sino en el otro trozo que ha quedado. Yéste no verifica las propiedades de las pirámides.

Las respuestas siguientes corresponden a tareas de descripción. En ellas se asocia una propiedad que es atributo crítico de una familia general a una familia más éspecífica o atributos críticos de de una familia específica se asocian a una familia más general. En las respuestas {10} y {11} se asocia a los sólidos rectos una propiedad de los poliedros. Por otro lado, en relación con esa propiedad ¨las aristas de los poliedros son rectas¨cabe señalar la respuesta {12} que refleja otra idea relacionada con las líneas rectas de estudiantes que se introducen en el estudio de la geometría: Son las que están en posición estándar. Las líneas ¨oblicuas¨ o ¨inclinadas¨ no se consideran rectas. Para algunos, el uso que hacen del lenguaje en el entorno cotidiano tiene tanto peso que aún después de centrar la atención sobre si es cierta o no la propiedad que se ha expresado les resulta sorprenderte que otros estudiantes consideren que las líneas ¨inclinadas¨ son rectas. Un estudiante de uno de los cursos indicó: ¿La línea oblicua no es recta? Esta pregunta ha sido la que me ha permitido darme cuenta de que no es correcto lo que escribí. Al principio me ha producido gran sorpresa que todos estuvieran de acuerdo en que es propiedad de los poliedros pues yo veía claramente que uno de los ejemplos de los prismas no lo cumplía. Esta inquietud quedó aclarada pero tuve que dibujar una línea curva para que aceptara que las líneas inclinadas también eran rectas.

En la respuesta {13} se asigna a los prismas rectos un atributo crítico (es propiedad) de los prismas rectos con bases de lados iguales. La respuesta se ha basado en la familia de los prismas rectos de bases regulares y en esta subfamilia sí que se verifica esta propiedad. Por otro lado, en {14}y {15} se ha extendido a la familia de los antiprismas rectos propiedades de la familia de los prismas rectos.

En relación con las familias de bases regulares, cuando se responde como en {16} a {18} se puede dirigir la actividad para hacer notar que todos los pentágonos no son regulares, que cuando las bases tienen lados iguales y son prismas rectos las caras laterales también son iguales y que hay prismas y antiprismas con caras regulares (como el de la figura) pero no tiene caras iguales porque las bases son diferentes de las laterales.

Otra idea que se repite con frecuencia es la que se expresa en {19}y {20}. Para las caras laterales se considera que ser de la misma familia es equivalente a ser iguales. Ejemplos de las familias implicadas que tengan bases irregulares o que sean oblicuos centraran la atención en que las caras laterales de un prisma (una pirámide) pueden ser diferentes aunque todas ellas sean paralelogramos (triángulos).

En las respuestas {21}a {24} hay ideas respecto las diagonales de las caras y del espacio que se basan en ejemplos muy específicos: los paralelogramos y los paralelepípedos. Por un lado se asocia a los polígonos regulares el que las diagonales son iguales y, por otro, el que las diagonales del espacio se corten en el centro se asocia a familias mucho más generales que aquellas para las que es atributo crítico. Las respuestas se han basado en ejemplos muy específicos y considerando sólo parte de las diagonales correspondientes. Estas respuestas pueden ser el punto de partida para centrar la atención en las medidas diferentes que encontramos en las diagonales de diferentes polígonos regulares y en las diagonales del espacio de diferentes prismas rectos de bases regulares.

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