Prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides.

Procedimientos de construir o generar sólidos

En las tareas siguientes se propone que se desarrolle actividad matemática a partir de procedimientos para generar representaciones físicas de sólidos (modelos o armazones). En los apartados La construcción y... y ¿Qué propiedades cumplen? de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? se puede encontrar más información sobre ellos y sobre cómo se ha desarrollado actividad matemática a partir de estos procedimientos en el contexto de clases laboratorio. En los comentarios que hacemos sobre las actividades, en ocasiones remitimos al apartado correspondiente.

T-7

a) Pedir que se precise una idea de prisma (antiprisma, pirámide o bipirámide) basada en la construcción de modelos con material comercializado y que se amplíe esta idea de manera que incluya otros ejemplos que se podrían construir si pudiéramos comprar todo tipo de polígonos de troquelados.

Para las bipirámides, una vez introducidos algunos ejemplos quitando las bases de dos pirámides y juntando sus caras laterales (o juntando dos "picos" formados por triángulos, que corresponden a las caras laterales de dos pirámides) remarcar que la base de las pirámides es la base de las bipirámides, pero que no es cara de ella y pedir que se precise otra idea de bipirámide.

b) Dar ideas de prisma (antiprisma) basadas en la construcción y pedir que se comparen estas ideas con las que han indicado en la actividad anterior.

Introducir el concepto de caras laterales y de bases de un prisma (antiprisma) a partir de la construcción.

c) Presentar la manera de generar prismas por superposición de polígonos y por un desplazamiento del polígono para generar un volumen. Remarcar que el desplazamiento podemos hacerlo en cualquier dirección, pero teniendo cuidado con la posición del polígono (para que se mantenga el paralelismo de las bases). Para ello dos polígonos unidos con gomas (liguillas), al igual que para generar prismas oblicuos a partir de los prismas rectos, puede ser un buen material.

Pedir que se precise otra idea de prisma, de caras laterales y de bases, basadas en esta manera de generar los prismas.

d) En prismas rectos y oblicuos, construidos con plastilina o espuma dura, hacer cortes por planos paralelos a las bases y otros cortes en los que esto no ocurra. Pedir que se identifique la familia de los sólidos obtenidos. Cuestionar cómo tienen que hacerse los cortes en un prisma para obtener dos prismas. Pedir también que se indique en qué se parecen y se diferencian los prismas obtenidos.
Para la pirámide cuestionar cómo hay que truncarla para que con un solo corte se obtenga otra pirámide de menor altura. Pedir también que se señale lo que llama la atención del polígono que se obtiene con el corte.

e) Apilar varios prismas rectos que tienen las mismas bases y formar con ellos una columna cada vez más alta. Pedir que se identifique la familia de los sólidos que se van obteniendo en el proceso.

Repetir la actividad para prismas oblicuos que tienen las mismas bases y la misma inclinación y se colocan, por un lado, para obtener un prisma oblicuo y, por otro lado, para obtener un modelo en zigzag. Cuestionar si los modelos resultantes son prismas.

Cuestionar si al juntar prismas rectos y oblicuos, o al juntar prismas oblicuos con diferente inclinación, que tengan las mismas bases, se pueden obtener prismas.

Para las pirámides pedir que se indique cuántas se pueden juntar como mucho, cómo se tendrían que juntar, y cómo sería la forma resultante.

T-8

a) Pedir que se determine la forma de sus caras y el número de caras vértices y aristas de ejemplos de prismas (antiprismas, pirámides o bipirámides) concretos (de base un triángulo dado, un cuadrilátero dado, etc.). Apuntar que se puede deshacer el modelo o el armazón del ejemplo considerado si se considera necesario.

Pedir que se rellene una tabla en la que los encabezamientos por filas contienen los nombres de los prismas (antiprismas, pirámides o bipirámides) concretos (prisma triangular, prisma cuadrangular, ...) y las columnas están encabezadas por "forma de la base", "número de caras", "número de vértices", "número de aristas".

Pedir que se expliquen los nombres que hemos dado a los modelos en la tabla.

b) Pedir que se desmonten los modelos de ejemplos de prismas (antiprismas, pirámides o bipirámides) rectos concretos para obtener desarrollos de ellos.

Para los prismas (antiprismas) pedir además que para cada uno se construya un desarrollo formado por una tira de rectángulos (triángulos) y un polígono a cada lado.

Dar un modelo de un sólido de las familias estudiadas (construido con material comercializado) en el que se ha marcado uno de sus vértices. Dar también uno de los desarrollos del sólido (construido con material). Pedir que se indique qué vértices quedarán marcados en el desarrollo al desmontar el modelo para obtener el desarrollo que se ha dado.

Plantear la actividad anterior cuando se han marcado varios vértices del desarrollo. Ahora pedir que se indique qué vértices quedarán marcados en el sólido si se construyera a partir del desarrollo que se ha dado.

c) Pedir que se desmonten los modelos de ejemplos de prismas oblicuos concretos para obtener desarrollos de ellos. Cuestionar si para cada uno de ellos se puede construir un desarrollo formado por un gran rectángulo y un polígono a cada lado.

d) Pedir que se enumeren analogías y diferencias entre pares de ejemplos de prismas (antiprismas, pirámides o bipirámides).

e) Para pares de sólidos que son ejemplos de las familias estudiadas, pedir que se indiquen analogías y diferencias establecidas a partir de la construcción de los ejemplos con polígonos. Para ello plantear cuestiones como la siguiente.

¿Una pirámide puede tener sólo una cara que tenga esta forma ? ¿Y un prisma?

f) Centrar la atención en la mayor o menor rigidez de los armazones del tetraedro, del octaedro y del cubo. Mostrar un prisma, un antiprisma, una pirámide y una bipirámide que tengan todos ellos la misma base (cuadrada por ejemplo). Cuestionar sobre el modelo que va a tener un armazón que se deforme más. Una vez verificada la respuesta, pedir que intenten dar una explicación a lo ocurrido.

g) Para pares de sólidos que son ejemplos de las familias estudiadas, pedir que se indiquen analogías y diferencias establecidas por truncamientos o al apilar modelos. Para ello dirigir la actividad planteando cuestiones análogas a las de las actividades T-7d y T-7e.

Comentarios

Cabe hacer notar que la construcción, o el generar poliedros por otros procedimientos (juntando modelos, truncando sólidos, etc.) además de desarrollar en los estudiantes destrezas manuales que facilitan la tarea de construcción, y de dar la oportunidad a los estudiantes de proporcionarse a sí mismos modelos que son ejemplos de las familias de sólidos estudiadas tiene otros objetivos más importantes. Proporciona la situación que puede ayudar a que los estudiantes lleguen a asimilar, para los ejemplos sencillos de las familias de sólidos elegidas, las características visuales y las relativas al tipo de caras, su número, así como el de aristas y vértices, y su disposición en el espacio. Facilita que los estudiantes lleguen a comprender y a especificar parecidos y diferencias entre los ejemplos de una familia y las relaciones (siempre establecidas visualmente) que hay entre unas familias y otras. De la construcción de modelos por diferentes procedimientos también pueden emerger diferentes ideas de las familias de sólidos consideradas.

Por otro lado, al poner de manifiesto las limitaciones del material comercializado disponible, e introducir otros procedimientos de generar sólidos centramos la atención sobre los ejemplos (de las familias de sólidos consideradas) que no son familiares a los estudiantes. Los diferentes procedimientos utilizados ayudan a comprender a nivel visual relaciones entre familias de sólidos, o entre los elementos de una familia dada, y a establecer familias cuyas características se pueden señalar con una fuerte componente visual.

Vamos a comentar brevemente el tipo de actividad concreta que se puede desarrollar con los diferentes procedimientos de construcción que se proponen en estas tareas. En el apartado La construcción y... se muestra cómo se ha desarrollado actividad a partir de estos procedimientos.

La construcción o modelado de modelos u armazones de sólidos lleva a un análisis primario de los sólidos a nivel local; centramos la atención en sus elementos: cara, vértice y arista. La construcción de modelos con polígonos centra la atención en la forma de las caras, el número de caras de cada tipo y la disposición de éstas en el espacio. Cabe destacar que las diferentes estrategias que se pueden utilizar llevan a ideas de las familias elegidas, de parte de sus caras o de sus elementos. Respondiendo a T-7a podemos dar las siguientes ideas para los prismas y antiprismas: los prismas pueden verse como una banda de rectángulos, paralelogramos, rombos o cuadrados unida, cerrada por los dos lados con el mismo polígono. O como dos polígonos que se juntan con rectángulos, paralelogramos, rombos o cuadrados para encerrar un espacio.

Los sólidos que llamamos antiprismas también tienen 2 bases, que están unidas por triángulos para encerrar un espacio. Los antiprismas también pueden verse como dos casquetes iguales, formados por un polígono bordeado de triángulos, que encajan entre sí.

Para caras laterales y bases pueden surgir las siguientes: los dos polígonos iguales que están unidos por rectángulos, paralelogramos, rombos o cuadrados (triángulos) son las bases del prisma (antiprisma) y las caras que juntan estas bases son las caras laterales del prisma (antiprisma).

La construcción del armazón lleva a una idea de sólido como estructura formada por vértices y aristas; facilita que los estudiantes puedan determinar el número de vértices y aristas de ejemplos concretos de una familia dada y lleguen a comprender su disposición en el espacio. Los modelos y armazones de ejemplos sencillos de una familia de sólidos dada se pueden utilizar para enseñar a contar los elementos de manera estructurada. Remitimos al apartado ¿Qué propiedades cumplen? e donde se muestra cómo se puede dirigir la actividad para ello.

El generar sólidos por los procedimientos que describimos en T-6d y T-7c amplía el mundo de los ejemplos de los prismas, antiprismas o pirámides que proporciona el material comercializado que consta de polígonos.

En estas actividades centramos la atención en las limitaciones que tiene el material para construir ejemplos de las familias estudiadas e introducimos los sólidos oblicuos de estas familias. Y si bien ya hemos mostrado varios modelos de prismas (antiprismas, pirámides o bipirámides) oblicuos con la actividad en la que mostramos ejemplos y no ejemplos de la familia correspondiente, y es necesario que los ejemplos se hayan visto como modelos antes que como armazón, son estos procedimientos los que proporcionan un recurso accesible para poder visualizar un modelo oblicuo concreto del que no tengamos construido su modelo.

La construcción de un modelo oblicuo con cartulina no es tarea fácil. Se puede visualizar su armazón con la unidad base que describe Castelnuovo (1979) y que se muestra en la figura.

figura 2

Para ello, se construyen los polígonos bases y se juntan con gomas (liguillas) para tener la pieza clave que permita visualizar una variedad de prismas. Con esta pieza podremos generar armazones de prismas con las mismas bases y la misma altura en los que la base la hemos materializado, de manera que lo que cambia en ellos es su inclinación. También podemos obtener prismas, más o menos "altos" con la intención de romper con la imagen visual, muy común entre los estudiantes, de que los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides no pueden ser "muy bajitos".

Dado que el construir dos polígonos iguales que sean cóncavos no tiene demasiadas dificultades, podemos elegir este tipo de polígonos como bases de la unidad con la que realizamos nuestro experimento y facilitaremos así que se incluyan los sólidos cóncavos (de los que también habremos presentado modelos en las actividades de introducción de las familias a partir de ejemplos y no ejemplos) en el objeto mental de la familia correspondiente. En consecuencia, con estos procedimientos de generar sólidos, al igual que con las actividades de mostrar ejemplos y no ejemplos pretendemos que los estudiantes construyan un objeto mental de la familia de sólidos correspondiente que incluya los sólidos rectos y oblicuos, los cóncavos y los convexos. En el apartado La construcción y... se muestra también cómo construir un prisma oblicuo a partir de esta unidad base.

También hay otras actividades que centran la atención en este aspecto, además de pretender que se lleguen a establecer algunas características visuales de las familias de sólidos estudiadas. Las actividades T-6e, T-8e pueden ayudan a centrar la atención en que los prismas y los antiprismas pueden tener dos caras cóncavas, siempre que sean iguales y se junten con paralelogramos, o triángulos, según la familia; pero no pueden tener más de dos caras cóncavas, pues en ese caso no sería prisma, o no sería antiprisma. Además se pone énfasis en que estas familias tienen dos caras iguales, que pueden ser cualquier polígono, y las otras son o paralelogramos (que pueden ser paralelogramos, rectángulos, rombos o cuadrados) o triángulos respectivamente. Para las pirámides se resalta que tienen una cara que puede ser cualquier polígono y las otras son triángulos. Pero es necesario señalar que para que se lleguen a descubrir estas características para estas familias puede ser que el profesor tenga que dirigir la actividad, apoyándose en la construcción de varios ejemplos.

Las actividades T-7d y T-8g centran la atención en que los cortes paralelos a las bases en los prismas y cilindros produce nuevos ejemplos de la familia y en las pirámides y los conos se obtiene un ejemplo más pequeño y otro sólido que no lo es, y que tampoco es prisma ni cilindro. Estas actividades también proporcionan experiencias para llegar a comprender propiedades de estas familias; por ejemplo, que las secciones paralelas a la base, en todas estas familias tienen la misma forma que la base pero en los prismas y cilindros son todas ellas iguales y en las pirámides y los conos se van haciendo más pequeñas a medida que nos acercamos al ápice. Freudenthal (1983, pp. 299-300) justifica claramente la utilidad de este tipo de actividades:

Tomemos el caso de un prisma - no necesariamente triangular. A los niños de 12 años, e incluso a los mayores, no les falta el vocabulario sino más bien la habilidad matemática para describir esta clase de superficies. El suministrar al niño una descripción da testimonio de una falta de entendimiento didáctico, pero la huida en el desarrollo no es más justificable. Uno debería explotar más el hecho de que hay estructuras de superficies de los sólidos, y se hace más eficiente construyendo los sólidos de plastilina o patatas. Esto es entonces el camino hacia un análisis conceptual del prisma como una clase de superficies. Comienza con el modelado con plastilina, o cortando una patata, un disco, que puede ser bordeado irregularmente en sus caras. Para conseguir un prisma, uno remodela los bordes: corta piezas, perpendicularmente al disco, para conseguir un prisma recto. La construcción indica una descripción conceptual: base y cara de arriba congruentes y polígonos conectados con muros rectangulares. El paralelismo de las aristas - en el enfoque usual el elemento primero - es ahora una consecuencia. El apilar prismas de la misma clase o el serrar paralelas a la base y la cara de arriba produce nuevos prismas.

Estas secciones son polígonos congruentes, relacionadas por traslaciones rectas u oblicuas - una relación que conduce a una nueva definición de prisma: un polígono movido en el espacio produce un prisma - uno recto si se mueve perpendicularmente a su propio plano. En un nivel posterior este análisis conceptual conduce a la definición del prisma sólido como el producto cartesiano de un polígono plano y un segmento línea, o incluso una línea infinita.

Similarmente uno puede analizar y definir pirámides y pirámides truncadas. Las secciones paralelas a la base están colocadas homotéticamente. Así una pirámide surge por un desplazamiento homotético de polígonos planos hacia un punto, el punto cúspide. Esto conduce a una descripción unificada de prismas y pirámides, finitas e infinitas.

Estos procedimientos de generar sólidos también permiten que se lleguen a comprender y a precisar otras ideas sobre los prismas, sobre los prismas rectos y sobre los oblicuos, sobre las caras laterales y sobre las bases. Con las actividades T-7c y T-7e intentamos que los estudiantes expresen algunas ideas de estas familias, basadas en las maneras diferentes para construir los ejemplos. En T-7c la estrategia de construcción, para la que se utilizan varios polígonos iguales (que corresponden a las bases) puede conducir a una idea de prisma que lo ve como un espacio macizo formado por varios polígonos. En T-7e se generan "prismas más altos" al apilar determinados prismas. El prisma puede verse como un polígono que se traslada en el espacio. El prisma recto se produce si el polígono se traslada perpendicularmente a su propio plano. El polígono que utilizamos para la traslación es el polígono de las bases del prisma. Los polígonos que se forman en la traslación a partir de los lados del polígono son las caras laterales del prisma.

Las actividad T-8g está diseñada entre otras cosas para poner énfasis en que la idea de prisma dada en el párrafo anterior sólo puede surgir para los prismas. En estas actividades resaltamos que mientras que los prismas (entre ellos los ortoedros) y los antiprismas se pueden apilar unos sobre otros, las pirámides y bipirámides no. Y que algunos prismas cuando se apilan producen nuevos prismas pero los antiprismas no producen otros antiprismas. Por otra parte, las actividades T-8d y T-8g también facilitan la construcción de la idea de prisma mencionada en el párrafo anterior y la de pirámide y de cono, "como polígono o círculo que se desplaza en una dirección y que en este desplazamiento va disminuyendo de tamaño".

En relación con los desarrollos de los sólidos, las actividades T-8b y T-8c pueden remarcar de nuevo lo que se ha trabajado a partir de la actividad T-2e, que incluimos en otra opción. Deshaciendo los modelos construidos con cartulina se puede recalcar que un sólido tiene diferentes desarrollos, que hay propiedades del modelo que se mantienen en el desarrollo (Por ejemplo, el número de caras) y otras que se ¨rompen¨ (por ejemplo, el número de vértices y de aristas) y que sólo para los prismas rectos podremos asegurar que alguno de sus desarrollos son tiras (rectángulos) y un polígono a cada lado.

regresar arriba

Subapartado de:

Actuando, creando y produciendo

Prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides.