Continuando el estudio

Ideas sobre elementos de los sólidos y sobre relaciones entre ellos

T-6

a) Para un prisma recto colocado en la posición estándar (apoyado sobre la cara base) pedir que se señalen dos caras (aristas) paralelas. Pedir que se seleccione otra cara (arista) y se muestren todas las caras (aristas) que sean paralelas a ella.

b) Repetir la actividad T-6a cuando el prisma recto se coloca en posiciones no-estándar y para prismas oblicuos que se colocan en diferentes posiciones.

c) Repetir la actividad T-6a y T-6b preguntando sobre la perpendicularidad de las caras (aristas).

T-7

Dar una hoja con figuras de varios ejemplos de polígonos de manera que cada dibujo tenga asociado un número.

a) Pedir que señalen los ángulos de las figuras de la hoja.

Pedir que se dibujen las diagonales de las figuras.

b) Seleccionar algunos polígonos de la lámina cuyos ángulos midan 60°, 90° o un múltiplo de éstos. Para ellos pedir la medida de sus ángulos.

c) Pedir que se indique la idea que se tiene sobre ángulo de un polígono y sobre diagonal de un polígono.

d) Dar como idea de ángulo de un polígono la que los ve como "el espacio comprendido entre dos lados que forman un vértice". Apuntar también que usualmente consideramos como ángulo de un polígono el que queda sobre él y al que queda fuera de él se le llama ángulo exterior del polígono. Y dar como idea de diagonal de un polígono la que la ve como "segmento que une vértices que no son vecinos".

Pedir que respondan de nuevo a las actividades T-7a y T-7b

e) Indicar que en los poliedros, como están formados por polígonos, tenemos los ángulos de estos polígonos, que usualmente se llaman ángulos de las caras. Utilizar material comercializado para introducir los ángulos diedros y los ángulos de los vértices. Pedir que bien utilizando modelos del entorno (por ejemplo, la puerta y la pared, la esquina de la clase), o material comercializado, se muestren diferentes ángulos diedros y diferentes ángulos de los vértices.

Pedir que se den ideas sobre los diferentes tipos de ángulos de los sólidos.

f) Apuntar que los sólidos, además de diagonales de las caras, tienen otro tipo de diagonales, que llamamos diagonales del espacio. Pedir que en un modelo abierto de un sólido se introduzcan las varillas que según ellos representan las diagonales del espacio.

Si es necesario poner un ejemplo y un no ejemplo de diagonal del espacio del modelo considerado. Pedir que se indique una idea sobre diagonal del espacio.

g) Pedir que se de una idea sobre caras iguales y sobre vértices iguales. Apuntar que pueden utilizar material comercializado o dibujos y apoyarse en ellos al explicar las respuestas.

Cuestionar si son iguales o no diferentes tipos de rectángulos (triángulos).

Para cada uno de los modelos siguientes, cuestionar si sus vértices son iguales o no: el cubo, un prisma de caras regulares, el romboedro y un prisma cóncavo.

Comentarios

Las actividades de la tarea T-6 permite revisar las ideas que tienen los estudiantes de los conceptos de perpendicularidad y paralelismo; se puede determinar si para ellos el paralelismo y perpendicularidad entre caras (y aristas) se mantiene cuando se mueve la figura o cuando la relación es entre más de dos elementos.

Las experimentaciones realizadas han proporcionado interesantes e ilustrativos resultados al respecto. En el apartado Sobre los elementos de los sólidos, damos cuenta de ellos.

Las actividades de la tarea T-7 se refieren a conceptos relacionados: los ángulos y diagonales de los polígonos y de los sólidos. También intenta determinar las ideas que tienen los estudiantes sobre caras iguales (congruentes) y sobre vértices iguales (actividad T-7g).

Las actividades T-7a a T-7d pretenden determinar las ideas que aplican los estudiantes sobre ángulo y diagonal de un polígono o cómo aplican las ideas que damos de estos conceptos en tareas de identificación y medida. Intentan averiguar si se emplean atributos de más, que se asocian al concepto dado; esto es, si en el objeto mental de diagonal de un polígono se incluye el que la diagonal queda dentro del polígono, atributo que no se menciona en la idea que damos de este concepto.

Para aquellos estudiantes que desconozcan el concepto de diagonal de un polígono, o no lo tengan suficientemente afianzado, aconsejamos que se introduzca a partir de ejemplos y no ejemplos, que se señalen segmentos que corresponden a diagonales exteriores y a diagonales interiores y que se pida que se exprese una idea de diagonal de un polígono.

En el apartado Sobre los elementos de los sólidos de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? se pueden encontrar ideas para desarrollar en clase las actividades T-7e y T-7f. En ellas sugerimos que se utilice material, para visualizar las explicaciones que damos al introducir estos conceptos y para construir algunos ejemplos. Ideas que pueden surgir pueden ser las que ven los ángulos de las caras, aC, como los ángulos que tienen los polígonos de sus caras, los ángulos diedros, ad, como los ángulos que forman dos caras al juntarse (que pueden estar más o menos "abiertas") y los ángulos poliedros, ap, como el ángulo que forman las diversas caras que tienen común un vértice del poliedro.

Podemos señalar, si lo creemos conveniente, que el determinar la medida del ángulo poliedro es difícil porque hay que medir "un trozo" de espacio, y es por esto por lo que no vamos a seguir trabajando con ellos. Pero que vamos a fijarnos en el ángulo de su superficie, en el ángulo suma de los ángulos de los polígonos que se juntan en un vértice, ángulo que vamos a llamar, ángulo de los vértices, aV.

Cuestiones como las siguientes son recomendables para averiguar qué objeto mental se han formado los estudiantes sobre estos conceptos: ¿Cuánto miden los ángulos de las caras de un cubo? ¿Y los ángulos diedros? ¿Y los ángulos de los vértices? ¿Cuánto miden los ángulos de las caras de un tetraedro? ¿Y los ángulos de los vértices?

Cuando se tratan conceptos relacionados hay que prestar atención al hecho de que les damos un nombre compuesto, a diferencia de los nombres simples que tienen los elementos de los sólidos. Hay que aclarar que es necesario nombrar estos elementos con nombres de la forma "... de...." pues por una parte hay que saber si se habla de ángulos o de diagonales, y por otra hay que dejar claro que estos conceptos están referidos a un polígono o a un sólido. En el espacio, dado que hay varios tipos de ángulos y de diagonales, se complica más la cosa. Al tratar estos conceptos hay que insistir en que además de reflejar que se refieren a un sólido, a un poliedro, o a una familia de poliedros dada, hay que precisar con el nombre el tipo de ángulos o de diagonales del que se está hablando: si de los ángulos de las caras, de los ángulos diedros o de los ángulos de los vértices; si de las diagonales de las caras o de las diagonales del espacio. En el apartado ¿Cómo se usa la terminología? ¿Cómo se interpreta? de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? se subraya la dificultad que conlleva para los estudiantes de Magisterio usar esta terminología de manera precisa.

La actividad T-7g intenta averiguar las ideas que tienen los estudiantes sobre caras iguales y sobre vértices iguales o introducirlas si fuera necesario. También pretende averiguar si los objetos mentales que han construido los estudiantes para estos conceptos permiten distinguir "caras iguales" y "caras del mismo tipo", "vértices iguales" y "vértices del mismo orden".

Si es necesario, introduciremos estos conceptos como ya hemos señalado para los diferentes tipos de ángulos y de diagonales: apoyándonos en material comercializado. Como sugiere la actividad T-7g, los estudiantes también pueden utilizarlo para construir posibles ejemplos o no ejemplos del concepto correspondiente.

Si al plantear esta actividad, como ha ocurrido en muchas de nuestras experimentaciones, los estudiantes responden que los rectángulos (o los triángulos) son iguales "porque son rectángulos (o triángulos)", o que los vértices del romboedro son iguales, centraremos la atención en la diferencia entre los conceptos que hemos indicado antes. Apuntaremos que las caras son iguales si al superponerlas coinciden y que las caras son del mismo tipo si pertenecen a una misma familia. Remarcaremos que si los polígonos son iguales serán de la misma familia (del mismo tipo) pero si son del mismo tipo pueden ser iguales o no. Respecto a los vértices, apuntaremos que los vértices son del mismo orden cuando en ellos se juntan el mismo número de polígonos, o de aristas, (que pueden ser 2, 3, 4,...) pero que esto no significa que los vértices sean iguales.

Si es necesario, presentaremos varios sólidos con vértices del mismo orden, no iguales, bien porque en ellos los polígonos que concurren en los vértices no son los mismos (por ejemplo, se les muestra un prisma y un tetraedro truncado, o un antiprisma y un cuboctaedro) o porque aunque concurren los mismos polígonos no concurren con los mismos ángulos (por ejemplo, se presenta el romboedro o una pirámide triangular que no sea regular). Estos ejemplos permitirán establecer que si dos vértices son iguales serán del mismo orden, pero que porque sean del mismo orden no quiere decir que vayan a ser iguales. Si bien no se plantea explícitamente el problema de la demostración de estas implicaciones ni se centra la atención en que tenemos dos implicaciones recíprocas. Estos problemas requieren de razonamientos de nivel superior.

Una idea que se forman a menudo algunos estudiantes sobre el concepto de "vértices iguales" es que los polígonos que forman cada uno de los vértices tienen que ser de la misma familia. Es por esto por lo que los vértices del romboedro, que son diferentes, se consideran iguales y los vértices de los prismas de caras regulares, que son iguales, se consideran distintos (porque los forman polígonos de 2 clases: cuadrados y otro polígono regular). Si al responder la actividad T-7g ocurre esto, aclararemos que esta condición no es imprescindible. Hay que destacar que no se comparan entre ellos los polígonos que forman un vértice sino que se comparan, y se observa si son iguales o no, los polígonos que hay en un vértice con los correspondientes que hay en el otro, teniendo en cuenta además cómo están colocados y el ángulo con el que se juntan.

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