Prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides.

Sobre los ejemplos y no ejemplos que se seleccionan

En la tarea siguiente se hace referencia a procedimientos para generar representaciones físicas de sólidos (modelos o armazones) sobre los que puede obtener más información en el apartado La construcción y... de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos?

T-6

a) Mostrar ejemplos y contraejemplos de prismas (antiprismas) en la posición estándar y en otras posiciones y pedir que se busquen objetos en el entorno que sean ejemplos de la familia introducida. Pedir también que se identifiquen el cubo, el ortoedro y el romboedro (el octaedro y otras bipirámides de caras iguales) como ejemplo o no ejemplo de prisma (antiprisma).

b) Pedir que de entre una gran variedad de modelos de sólidos (de prismas, antiprismas, pirámides, bipirámides...) se seleccionen los modelos de la familia introducida y dentro de éstos los ejemplos que se pueden construir utilizando material comercializado formado por polígonos.

c) Para alguno de los modelos que se han seleccionado en T-6b como ejemplo de la familia introducida que se pueden construir con material comercializado, pedir que se construyan y que se indiquen los polígonos que se tienen que seleccionar para ello.

d) Presentar el procedimiento que describe Castelnuovo (1979) para obtener prismas oblicuos a partir de prismas rectos.

Presentar también un experimento análogo para introducir los antiprismas oblicuos y las pirámides oblicuas.

e) Mostrar polígonos y cuestionar si pueden ser caras de un prisma (antiprisma, pirámide o bipirámide) y cuántos como mucho se tendrían que elegir como ellos para construir el modelo. Plantear también cuestiones como las siguientes.

Un prisma (antiprisma, pirámide o bipirámide) ¿puede tener sólo 1 cara triangular (cuadrada, rectangular)? ¿Y puede tener sólo 2 caras triangulares (cuadradas, rectangulares)? ¿Y más de dos?

Un prisma (antiprisma, pirámide o bipirámide) ¿puede tener sólo 1 cara como la de la figura ? ¿Y puede tener dos caras como ésta? ¿Y más de dos caras?
Para las bipirámides remarcar que sus caras son todas ellas triángulos.

Comentarios

En la actividad T-6a se pide que se muestren ejemplos y no ejemplos de prismas. Como no ejemplos es conveniente presentar los siguientes:

  • Un antiprisma.
  • Modelos que tienen alguna cara curva pero que tienen dos bases iguales y paralelas con un lado curvo y el resto rectos.
  • Modelos que tienen caras no planas y todas sus aristas son rectas. Por ejemplo, uno con dos bases polígonos iguales y paralelos, uno girado con respecto al otro y que tienen sus caras laterales curvas.
  • Modelos que tienen todas las caras cuadriláteros. Por ejemplo, un cubo truncado por un plano no paralelo a dos caras, o bien una pirámide truncada apoyada en posición no estándar.
  • Modelos que sean poliedros, que tengan dos caras iguales y paralelas pero que no estén unidas por un cinta de polígonos; por ejemplo, el dodecaedro.

Los no ejemplos que tienen todas las caras cuadriláteros los sugerimos porque en las experimentaciones realizadas comprobamos que algunos estudiantes los incluían como ejemplos. Unos, los adjuntaban porque en la definición que aplicaban de prisma, consideraban "que las caras laterales tienen que ser cuadriláteros" (en vez de paralelogramos). Otros indicaban que "esos modelos corresponden a prismas porque son prismas truncados". El que en el nombre figure la palabra prisma con frecuencia conduce a que esta familia de los truncados se la considere incluida en la familia general (de los prismas) y por tanto los elementos se juzgan también como ejemplos de esta familia.

Como ejemplos, cabe considerar modelos como los siguientes.

  • Prismas que puedan resultar familiares a los estudiantes porque son los modelos que usualmente se presentan como prismas en los libros de primaria. Se enseñan en posición estándar y no estándar. Por ejemplo, un prisma recto pentagonal de base regular, un prisma triangular apoyado sobre una cara rectangular (que parece una tienda de campaña) y/o apoyado sobre una cara triangular.
  • Prismas que cabe esperar que no sean familiares a los estudiantes porque no se han tratado antes como prismas. Pueden ser cóncavos o convexos, rectos u oblicuos, de base regular o de base irregular.
  • Prismas en los que las aristas laterales sean de la misma longitud o más cortas que las de la base. Pueden ser cóncavos o convexos, rectos u oblicuos, de base regular o de base irregular.
  • Prismas de familias muy específicas. Por ejemplo: el cubo, o el romboedro (que es prisma de caras iguales y paralelepípedo), o el ortoedro (que es paralelepípedo y además prisma), o un paralelepípedo, o cualquier prisma de caras regulares.
  • Prismas de bases trapecios o prismas con base un cuadrilátero general (que no sea paralelogramo), apoyados sobre una de sus caras laterales (es decir, no se presentan en su posición estándar).

Los ejemplos en los que se varía la relación que hay entre la longitud de las aristas laterales y de las bases pretenden contribuir a corregir la idea que tienen algunos estudiantes sobre que las aristas laterales son mayores que las de las bases. Es conveniente estudiar los prismas de bases trapecios debido a que en experiencias previas se ha evidenciado que la mayoría de los estudiantes no los incluyen como ejemplos; unos apuntan que son pirámides truncadas y otros aplican la definición de prisma, pero no seleccionan como bases las dos únicas caras que podrían serlo: las que no son paralelogramos. Si en otros casos la posición de un objeto influye considerablemente en su identificación, en estos casos influye aún más.

Para los ejemplos y no ejemplos de pirámides y antiprismas los delimitamos de la misma manera. Cabe aclarar que en la actividad T-6a se ha propuesto cuestionar si el octaedro y otras bipirámides cuadradas de caras iguales son ejemplos o no ejemplos de antiprisma, pues hemos constatado en repetidas ocasiones que si bien se identifican como bipirámides, no se consideran ejemplo de antiprisma. Las experimentaciones también han proporcionado evidencias de lo poco familiarizados que están los estudiantes con los no ejemplos de una familia de sólidos. La enseñanza de la geometría que han recibido sólo ha centrado la atención en los ejemplos y además sólo de familias muy específicas. Así, para los prismas lo usual es que sólo se muestren prismas rectos de base regular, lo que lleva a limitar considerablemente el mundo de los prismas. Por otra parte, la importancia de los no ejemplos que sólo dejan de cumplir alguna de las características de la familia considerada es muy aprovechable para delimitar las características (en este nivel son visuales o funcionales) de ella.

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Prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides.