|
|
|
¿Qué propiedades cumplen...? Contando caras, vértices, aristas,... En el apartado La construcción y... los ejemplos de las familias de prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides se tratan en un contexto de construcción. En esste contexto se puede dirigir la actividad para, por un lado, hacer notar que hay ejemplos para los que es más sencillo seleccionar las varillas para construir su armazón y, por otro, para enseñar a contar los elementos de manera estructurada. En el primer caso, al fijarnos en prismas como los de la figura, podremos observar que en algunos prismas todas las caras son regulares y en ellos las aristas son iguales. Al fijarnos en las bases de los prismas se puede concluir que en algunos las bases son regulares y en otros no. Y hay prismas de bases regulares en los que las aristas son iguales y en otros tienen dos medidas: las aristas de las bases tienen una medida y las aristas laterales otra. También se puede notar que hay prismas que tienen las aristas iguales y que en ellos la base no es regular porque sus ángulos no son iguales; tienen las aristas iguales porque sus caras laterales son cuadrados.
Considerar otras familias de sólidos resulta interesante cuando se centra la atención en lo que se mantiene y lo que cambia en la construcción de los ejemplos de las diferentes familias.
Con las pirámides, a medida que aumenta el número de lados del polígono de la base, el ápice de la pirámide se va acercando al centro de la base. Y seis triángulos en un vértice ya queda plano. Para estas pirámides también resulta sencillo construir armazones para sus ejemplos. Igual que los prismas de caras regulares, las pirámides de caras regulares (tienen triángulos equiláteros en sus caras laterales y un polígono regular en sus bases) tienen las aristas iguales.
Esta construcción de modelos y armazones se puede aprovechar para enseñar a contar los elementos de una familia de manera estructurada. Por ejemplo, después de construir los modelos y armazones de ejemplos de prismas y pirámides, se pueden recopilar en una tabla los polígonos, varillas y bolitas que se han necesitado para construir el modelo o armazón de alguno de ellos; estos números indican el número de caras, aristas y vértices que tiene el prisma o pirámide correspondiente. Apuntando los resultados como en la tabla siguiente, se centra la atención en cómo contar estos elementos especificando también su disposición en el espacio.
De manera análoga, se puede ver otro prisma como una estructura, con un número de caras, vértices y aristas, que se puede mirar de una manera estructurada. El número de caras, vértices y aristas, del prisma depende del número de lados del polígono de las bases. Para las pirámides ocurre lo mismo: el número de caras, vértices y aristas está dispuesto de una manera fija, y depende del número de lados del polígono de la base. Si el polígono de la base tiene 10 lados:
A partir de la tabla se pueden verbalizar enunciados generales para un prisma y para una pirámide:
Las relaciones que acabamos de enunciar también se pueden particularizar para un prisma o una pirámide concreta: Así, si el polígono de las bases o de la base tiene 100 lados, tenemos los siguientes números para el número de caras, C, número de vértices, V, y número de aristas, A:
También las podemos simbolizar para un prisma general, esto es, para un prisma que tenga por bases un polígono de n lados:
Y se pueden interpretar los cambios en el número de elementos de estas familias, teniendo en cuenta que se puede pasar de los prismas a las pirámides cuando una de las bases se transforma en un vértice o de las pirámides a los prismas cuando el ápice se convierte en un polígono igual a la base y paralelo. Al fijarse en lo que se mantiene y cambia en esta transformación se puede notar: Los paralelogramos de las caras laterales de los prismas se convierten en triángulos y a la inversa. Se sigue manteniendo el número. Por lo que los prismas tienen una cara más que la pirámide correspondiente. Los vértices de una de las bases del prisma se convierten en un solo vértice (el ápice) de la piramide. Todas las aristas de una de las bases del prisma desaparecen en esta transformación. De la misma manera se pueden relacionar los antiprismas y bipirámides con éstas. Los antiprismas tienen bases iguales y paralelas, al igual que los prismas, pero están giradas la una respecto de la otra; ello implica que los paralelogramos de las caras laterales de los prismas se transforman en 2 triángulos cada uno. Las bipirámides se construyen a partir de las caras laterales de dos pirámides que encajan perfectamente. Es como si se construyeran con dos pirámides que tuvieran la misma base y se eliminara ésta para que sólo quedara un espacio interior. En el apartado La construcción y... y en Rompiendo las ideas de ... se habla de también de estas familias de sólidos. Como hemos indicado en Guillén (2004), un trabajo que se referencia en la sección Para conocer más, la actividad se puede resolver con diferentes estrategias que requieren de diferente nivel de razonamiento.
Freudenthal (1983) señala que estas actividades pueden utilizarse, por sus importantes características didácticas, para aprender a estructurar:
Si los estudiantes pueden contar los elementos de manera estructurada, por niveles, en modelos sobre los que uno se puede apoyar, cabe plantearse la cuestión para un prisma concreto pero del que ya no se puede disponer del modelo, por ejemplo para un prisma cuyas bases tienen 20 lados, y de ahí generalizar para un prisma cuya base tiene cualquier número de lados (n-agonal), expresando la relación con un enunciado verbal. Simbolizar esta relación conlleva más dificultad. Cuando en nuestras clases con estudiantes para maestro se ha planteado esta actividad, en las respuestas de los estudiantes que han simbolizado estas relaciones encontramos varias estrategias diferentes, como muestran las respuestas siguientes:
Las respuestas anteriores muestran cómo en {1} se ha determinado el número de aristas generalizando para n los resultados que habían encontrado para ejemplos concretos; en {2} y {3} determinando estos números para un prisma general, contando en éste de manera estructurada; en {4} se han aplicado razonamientos deductivos en los que se han aplicado otras propiedades para deducirlos; y en {5} se han aplicado razonamientos deductivos sin tener de referencia el modelo. En relación con un determinado tipo de ángulos (ángulos de las caras, ángulos diedros y ángulos de los vértices), para una familia de sólidos dada (prismas, antiprismas, pirámides …) cuando se plantea la actividaad a estudiantess para maestro también se encuentran diferentes estrategias en las que generalizar para n los resultados obtenidos a partir de ejemplos concretos, se cuentan los elementos de una manera estructurada en un prisma general o se utilizan razonamientos deductivos aplicando otras propiedades de la familia de sólidos. Por ejemplo, para hallar el número de ángulos de las caras (son ángulos de los polígonos) (?C) que tiene un prisma n-agonal algunas respuestas han sido:
En relación con los diferentes tipos de diagonales cabe señalar que la mayoría de los estudiantes para maestro que han participado en nuestras experimentaciones enfrentan dificultades para hallar el número de diagonales de las caras o de diagonales del espacio (dC o dE) si no se les conduce en la tarea. Sólo después de que la tarea se resuelve en clase, en relación con el número de diagonales del espacio se encuentran respuestas como la siguiente:
Cabe subrayar la dificultad que conlleva para los estudiantes operar en términos de n. Hay estudiantes para maestro que hallan perfectamente los números para ejemplos concretos de estas familias, expresan verbalmente los enunciados generales, pero tienen dificultad para operar con n. Por ejemplo, en algunas respuestas, al simbolizar una relación que se ha expresado verbalmente, la que corresponde a 2 + n se simboliza como nn; 2n+2 se simboliza como nn, n + 1 como 1n; n + 2 como 3nnn. Cuando hemos planteado estas cuestiones hemos sugerido que primero se cuenta el número de elementos que cambia cuando cambia el número de lados del polígono de las bases, número que vendrá dado en términos de n porque depende del ejemplo. Después se ha de añadir el número que hace referencia a las caras o vértices que no se han contado aún; número que se puede hallar fácilmente porque no cambia en los diferentes ejemplos, y que por tanto no hay que indicarlo en términos de n. Por ejemplo, para hallar el número de caras de un prisma se halla primero el número de caras laterales, ya que este número depende del número de lados del polígono de la base), y después se añaden las 2 bases. También cabe comentar respuestas de algunos niños de 12 años que reflejan que no pueden generalizar ni expresar en términos de n el número de aristas de estas familiasde sólidos y además no encuentran sentido a que se plantee este problema para n. Cuando preguntamos a uno de estos niños por el número de aristas de la base de una pirámide si el polígono de la base tenía n lados, respondió: "¿Y cuánto es n?". Consideramos varios casos particulares en los que n aumentaba progresivamente. Para cada caso le pedíamos que contara los elementos de la base, luego los laterales y después le preguntábamos por el total. Cuando después cuestionamos el número de aristas que tenía una pirámide en la base y el número de aristas laterales, si el polígono de la base tenía n lados, en ambos casos respondió que n, pero al pedirle el número total, no supo operar con las n y respondió que n. Volvimos a los ejemplos concretos y utilizamos diferentes estrategias para contar los elementos correspondientes en estos ejemplos. Volviendo de nuevo a las cuestiones en las que se pide a estudiantes para maestro que hallen el número de ángulos de las caras o de diagonales de las caras de un prisma n-agonal, cabe destacar: Es muy usual que para dar la respuesta sólo se haya tenido en cuenta las caras laterales, una sola base o una sola cara, como muestran las respuestas de estudiantes que indicamos a continuación.
Puede notarse que en {1} sólo se han tenido en cuenta las caras laterales; en {2} se ha olvidado una base; y en {3}, en la primera parte de la cuestión se han considerado sólo las caras laterales y en la segunda parte la respuesta se ha basado en una cara. Cuando se plantean este tipo de cuestiones, resulta conveniente sugerir que se descomponga el problema en otros tres problemas en los que se determinen los ángulos o las diagonales de las caras laterales y los ángulos o las diagonales de las dos bases y luego el número de ángulos o de diagonales de las caras. Cuando se tratan los ángulos de las caras de una familia de sólidos cabe enfatizar que se tengan en cuenta todas las caras, no sólo las caras laterales. Al considerar las diagonales de las caras, posiblemente haya que recordarlo de nuevo. Hallar el número de diagonales de las caras de los prismas conlleva gran dificultad, aún cuando el problema se transforme en resolver diferentes problemas: 1. Hallar el número de diagonales de un polígono de n lados, que corresponde a la base del prisma n-agonal. 2. Hallar las diagonales de las dos bases. 3. Hallar el número de diagonales de las caras laterales. 4. Hallar la suma de las diagonales de las caras laterales y las diagonales de las bases. Los estudiantes para maestro y los maestros en ejercicio que han participado en nuestra investigación han afrontado dificultades al intentar determinar el número de diagonales de un polígono y al operar con expresiones algebraicas. En estos casos, resolvimos la cuestión en ejemplos concretos, centrando la atención en cómo se descomponía el problema original en otros problemas y como se resuelvía cada uno de ellos en esos ejemplos concretos. Las sugerencias que dimos al resolver las cuestiones en ejemplos concretos ayudaron para que se resolviera después el problema en un caso general: Fíjate en un vértice del polígono y centra la atención en los vértices del polígono con los que no forma diagonal. Determina así con cuántos vértices forma diagonal ese vértice en el que te has fijado. Considera por turno los otros vértices del polígono. ¿Cuántas diagonales salen de cada uno? ¿Cuántos vértices tenemos? ¿Cuántas diagonales tenemos en total? Comprueba la expresión que has encontrado en algunos ejemplos concretos para ver si tienes que hacer en ella algunos arreglos. ¿Por qué crees que se tiene que dividir por dos? ¿Cuántas veces hemos contado cada diagonal en el razonamiento anterior? |
Subapartado de:Para reflexionar sobre cómo aprendemos y nos expresamos...¿Qué propiedades cumplen...? |
figura 1
5 y 5, 10 vértices. 5 y 5y 5, 15 aristas. Los prismas tienen
2n vértices y 3n aristas.
.
Los vértices de la base de abajo no hace falta considerarlos
pues se repiten las diagonales. Esas diagonales ya están
con los vértices de arriba.
tiene 5 (n) de las bases + 4 x 5 (4n de las laterales) = 5n, No 6n
