La construcción y las relaciones entre prismas, pirámides y...

En el protocolo siguiente, al igual que en los que se incluyen en Construcción y relaciones entre poliedros regulares y ... se reflejan relaciones que existen entre determinados sólidos y entre los desarrollos de los mismos. Unos sólidos se ven como agregados de otros; unos desarrollos son parte del desarrollo de otro,...

Las relaciones que se tratan aquí surgen en un proceso de construcción con material comercializado. En el apartado ¿Qué relaciones se establecen? se tratan otras relaciones que surgen en un contexto de puzles o de descomposición de poliedros o bien se refieren a relaciones inclusivas que existen entre familias de sólidos.

Protocolo 1. Construcción y relaciones entre antiprismas, pirámides y bipirámides.

{1} P: Construir un antiprisma. ¿Cómo lo haceis?

figura 31
{2} E1:

El antiprisma está formado por una tira de triángulos unida en vez de con rectángulos. Bueno, no... paralelogramos [al hablar de rectángulos y de paralelogramos se refiere a los prismas].

A este [se refiere a un polígono] le pongo triángulos y a éste, que es igual, también le pongo triángulos, y si lo ponemos junto así... ya tenemos de otra manera un antiprisma.
 

figura 32
{3} E3: En las pirámides sólo necesito una estrella de éstas, porque los triángulos los junto así.

figura 33
{4} E1: O también... o sea que con un antiprisma tengo dos pirámides.
{5} E2: Y mira, también, con lo de un antiprisma tengo una bipirámide también pero ahora en vez de encajar así... las dos estrellas lo que hago es que lo pego por aquí..., por el centro de la estrella y recojo los picos.

figura 34
{6}E1: Pero la base la tengo que quitar...
{7}E3: Pero eso no puede ser porque la base si cierras ya me vas a decir cómo la quitas...
{8}E1: Pues eso, dices que la quitas y ya está quitada. Imagina que no está...
{9}E3: Eso. Muy bien... Seguro que yo noto que está, porque no lo vas a pegar tan bien que yo no lo note...
{10}E1: Pues aunque lo notes... Piensa que no está... ¡Y vale! Lo que decías tú....[Se refiere a la profesora] Eso de...no mirar mucho el material. Mirarlo sí, pero...
{11}P: ¿Cómo construirías tú una bipirámide?
{12}E3: Pues con triángulos y basta... No necesito ... esos... [Se refiere a los cuadrados que corresponderían a las bases de las pirámides que se juntan para formar la bipirámide].
{13}E1: Sí, vale... Pero de la otra manera también puedes...
{14}E2: Era eso de juntar las dos pirámides y quitar la base de dentro. No hace falta que lo hagas. Lo imaginas... Por eso puedes quitar la base...
{15}E3: Vale... Vale... Pero sólo con triángulos sale, y no tengo que quitar nada. Por qué ponerlo si no está. Luego lo tienes que quitar.
{16}E2: Pero es que no tienes que hacerlo. Puedes decir también que son dos pirámides que se juntan bien exacto por las bases y después las quitamos, que ya sabemos que esto no puede ser, pero si no lo haces de verdad sí que puede ser.

Los enunciados {1} a {5} muestran cómo en un contexto de construcción se enuncian relaciones entre ejemplos de diferentes familias de sólidos: antiprismas, pirámides y bipirámides. Queremos hacer notar la actividad matemática que se puede desarrollar en un nivel de primaria si no se limita el estudio de los sólidos a las familias de los prismas y pirámides. Las familias de los antiprismas, bipirámides y poliedros regulares proporcionan otras situaciones a partir de las cuales se pueden descubrir una gran variedad de propiedades geométricas y relaciones. Los protocolos que se incluyen en este apartado apoyan esta afirmación.

Los enunciados {6} a {16} se refieren a las bipirámides y sugieren que una manera de introducirlas en primaria puede ser con algunos ejemplos, quitando las bases de dos pirámides y juntando sus caras laterales (o juntando dos "picos" formados por triángulos, que corresponden a las caras laterales de dos pirámides). Se tiene que remarcar que la base de las pirámides es la base de las bipirámides, pero que no es cara de ella.

Nuestras experimentaciones han mostrado lo arraigada que está en los estudiantes la idea de que las bases de los ejemplos de una familia es la cara en la que se apoya la figura y la opuesta. En el apartado ¿Se aplican ideas que se tienen que revisar? se hace también referencia a ello. Esta idea es muy resistente, con lo que hay que señalar en varios contextos y en diferentes tiempos que las bases de una familia no son necesariamente las caras en las que apoyamos el ejemplo, sino las que cumplen determinadas propiedades que pueden surgir de los procedimientos de construcción de los modelos y armazones.

Para las bipirámides, el problema se complica porque hay que romper además con la idea de que la base de un sólido tiene que ser cara de él. Hay que prestar mucha atención a que, aunque los ejemplos de esta familia no se pueden apoyar en la base y ésta no está materializada en la parte del interior de los modelos físicos que podemos hacer de ellas, está perfectamente delimitada por los lados que forman ese polígono.

Hay que tener cuidado al introducir esta familia. Por ello hemos sugerido que se haga a partir de las caras laterales de dos pirámides para subrayar que la base no es cara de las bipirámides. Después, se puede pedir que se dé otra idea de los ejemplos de esta familia para que se pueda discutir sobre lo que se puede hacer en matemáticas que no se puede hacer mediante la construcción. Puede verse en la conversación que E1 lo expresa en {8} y {10} y E2 en {14} y {16} pero que E3 no lo quiere aceptar.

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