La construcción de prismas: "Ideas" y propiedades

Hemos corroborado en repetidas ocasiones, y se muestra en las conversaciones que se describen en los protocolos de esta sección de ¨Construcción y...¨, que las tareas de construcción de modelos o armazones de los sólidos y la búsqueda o identificación de objetos del entorno del estudiante como ejemplos y no ejemplos (véase el protocolo "Los objetos: su forma y posición") son actividades muy adecuadas para que los estudiantes se formen "ideas" de las familias de sólidos que le permiten identificar los modelos familiares (que se han visto con anterioridad como de la familia correspondiente) como ejemplos o no ejemplos de una familia dada. Los cuatro protocolos que indicamos a continuación se refieren a la familia de los prismas. Utilizando material comercializado para la construcción de modelos y armazones surgen ¨ideas¨ para estas familias, se descubren propiedades relativas a sus elementos y se trata también cómo algunas representaciones físicas (modelos) pueden llevar a que los estudiantes se formen ¨ideas¨ sobre los elementos de los sólidos que se tienen que revisar.

Protocolo 1. Construyendo modelos de prismas con material comercializado formado por polígono

{1} P: [Muestra el prisma hexagonal de la figura y pregunta] ¿A qué familia pertenece?

figura 1
{2} E2: Es un prisma. Porque las caras éstas [señala las caras laterales] son rectángulos. Y lo hacemos así... La cinta de rectángulos, que la junto ...
{3} E2: O cuadrados ... [Se ponen a construir y obtienen los de la figura]  
{4} E1: Tenemos un montón de pulseras.

figura 2
{5} P: ¿Cuántos prismas puedes hacer?
{6} E1: Pues un montón. Todos los que quiera... Mira cuántos tenemos ya…
{7} E2: Pero además las tenemos que cerrar por los dos lados. Y en todos no se puede, porque si lo pongo, por ejemplo, como una casita, pues ya no tengo el polígono que cierra. Y con el… cuadrilátero éste… pues tampoco.

figura 3
{8} E1: ¿Se llama trapecio no?
{9} E1: Pero puedo hacer con el pentágono que sí que tengo,...

Con Los enunciados {1} a {9} se plasma una idea de prisma como formado por una pulsera de rectángulos que se cierra con dos polígonos iguales. Esta idea se precisará cuando se hable de los prismas oblicuos pues en éstos las caras laterales no son todas ellas rectángulos. Cabe señalar que el material comercializado formado por polígonos sólo permite construir prismas rectos y el romboedro. Con lo que, es muy importante que se muestran a los niños prismas oblicuos, bien como modelo, bien generados por otros procedimientos, y discutir con ellos que las caras laterales de los prismas son paralelogramos. Sólo cuando se consideran los prismas rectos, de los que vamos a hablar a continuación, las caras laterales son rectángulos. Por otro lado, dado que la mayoría de los polígonos del material comercializado son polígonos regulares, si sólo se muestran a los niños modelos construidos con material comercializado, habrá que discutir también acerca de que sólo cuando los modelos son rectos y tienen la base regular, tienen las caras laterales iguales. En los prismas, las caras laterales pueden ser iguales o no.

Otra observación que queremos señalar se refiere a la argumentación que se ha dado, a partir de la construción que concluye que hay infinitos prismas rectos de base regular.

{10} E1: Es que, a ver ...¿Cómo puedo hacer otros prismas que nos enseñaste el otro día? [se refiere a los prismas de la figura]

figura 4

figura 5
{11} P: Con este material no se pueden hacer; ya veremos luego cómo podemos imaginarlos. Ahora sólo podemos hacer los prismas rectos de bases regulares y pocos más, que se obtienen usando rombos. A los prismas que se obtienen a partir de una pulsera rectángulos que se cierra con dos polígonos iguales y paralelos se les llama Prismas rectos. El romboedro no lo es; sus caras son rombos.
{12} E2: ¿Y para cuando no tenemos polígonos para cerrar la pulsera, también valen?
{13} P: ¿Vosotros qué diríais?

 

 
{14} E2: Pues creo que sí, porque puedo recortar los polígonos iguales y pegarlos.
{15} E1: Sí, pero ¡que rollo! A mi me saldría muy chungo...

 

Con Los enunciados {9} a {15} se reduce a los prismas rectos la idea dada para los prismas en Los enunciados anteriores. Además se perfila esta idea pues se extiende a modelos que no se pueden construir con material comercializado.

{16} E1: Y los de la pulsera de cuadrados son rectos también, ¿no?
{17} P: ¿Vosotros qué diríais? ¿Es recto u oblicuo?
{18} Los dos responden que recto.
{19} E1: Es que el cuadrado también vale para los rectos; salen menos altos, pero salen rectos. Puedo tener prismas rectos de diferentes alturas,...
{20} P: Sí, tenemos muchos rectángulos más o menos altos. Cuando un rectángulo es igual de largo que de alto se le llama también cuadrado; es el rectángulo-cuadrado. Por eso, cuando hablamos de prismas rectos estamos pensando en prismas que pueden ser más o menos altos... Sus caras laterales son rectángulos más o menos altos... En algunos casos son cuadrados.

Con Los enunciados {16} a {20} se explica en un contexto de construcción que el cuadrado es un rectángulo. Dada la dificultad que tiene para los niños entender la clasificación inclusiva, posiblemente, al expresar verbalmente relaciones entre el cuadrado y el rectángulo, no enuncien la relación correcta sino la inversa. Ahora bien, como expresan los niños en (18), los prismas que tienen las caras laterales cuadrados ¨creen¨que son rectos. Y también apuntan que hay prismas más o menos altos. Pensamos que este contexto de construcción de prismas rectos puede facilitar que se entienda la relación de inclusión del cuadrado en el rectángulo.

{21} E2: ¿Y pueden ser más bajitos que con cuadrados?
{22} E1: Sí claro,... hasta que ya no son nada...
{23} P: ¿No son nada?
{24} E1: Sí, claro... la base esa...
{25} E2: Pero la base no es prisma..., es .... es... ya no es...
{26} E1: Es polígono, ¿no? Pero cuando lo hago un poco gordo ya es prisma.
{27} E2: Sí, entonces sí... pero tiene que ser un poco gordo...
{28} E1: Y puede ser todo lo gordo que quiera...
{29} P: O sea que los prismas pueden ser más o menos altos o bajitos y en el límite, cuando se quedan completamente planos tenemos el polígono de las bases. Y por otro lado, cuando tenemos el polígono de las bases, podemos imaginar el prisma más o menos alto. El prisma se obtiene al desplazar el polígono en una dirección.
  La unidad que tenemos aquí, que está formada por dos polígonos y gomitas (liguillas), nos facilita imaginar prismas que tienen por base un polígono de los que no hay en el material de los polígonos. Y al estirar las liguillas podemos generar prismas más o menos altos. Y también prismas rectos y oblicuos,...

figura 6

Con Los enunciados {21} a {29} se relacionan los prismas con los polígonos; estas relaciones las expresa el profesor en {29}. Asimismo en {27}a {29} los niños apuntan otra idea de prisma que el profesor expresa como ¨El prisma se obtiene al desplazar el polígono en una dirección¨. También se ha introducido la unidad base que permite generar prismas rectos y oblicuos. La sesión continúa discutiendo sobre lo que se mantiene y cambia al generar prismas oblicuos a partir de los rectos: ¿Las bases siguen siendo paralelas? ¿Cómo se van desplazando? ¿Qué forma tienen las caras laterales de los prismas obtenidos? ¿En cada prisma que se ha generado, las aristas laterales siguen siendo iguales? ¿Se mantienen las relaciones de perpendicularidad entre las caras (aristas) laterales y las bases? ¿Cambia la altura de los prismas que se han obtenido en el proceso?

Protocolo 2. Construyendo modelos y armazones de prismas. Propiedades de los prismas.

{1} P: [Muestra el prisma hexagonal de la figur y pregunta] ¿A qué familia pertenece?

figura 7
{2} E2: Es un prisma. Ya lo has preguntado antes.
{3} P: ¿Por qué?
{4} E2: Porque sus caras son rectángulos.
{5} P: ¿Sus caras o sus caras laterales
{6} E2: Sus caras laterales. Las bases no. Son hexágonos, en ese...
{7} P: ¿Y esto ocurre en todos los prismas?
{8} E2: No... En otros la base es otra cosa. Pueden tener muchas formas diferentes...  
{9} E1: Cualquier polígono vale. Aunque sea de esos como la E, la L o... como éstos [se refiere a los de la figura]

figura 8
{10} E2: Y las caras sí que son rectángulos,... Las caras laterales. Las bases pueden ser cualquier polígono y son paralelas.
{11} E1: Son paralelogramos que si no, tú dijiste el otro día [se refiere a la profesora] que algunos prismas no están. Los que vimos torcidos no eran con rectángulos.
{12} E2: Sí, Sí, yo quería decir paralelogramos. Los oblicuos también están, el romboedro...
{13} P: Sí, el otro día vimos que en los prismas rectos las caras laterales podían ser rectángulos (también el rectángulo-cuadrado) pero que si se habla de los prismas, como hay prismas rectos y oblicuos, las caras laterales pueden ser también paralelogramos más o menos largos y más o menos altos. Las caras laterales de los prismas pueden tener la forma de los de la figura; pueden ser cuadrados, rectángulos, rombos y el paralelogramo más general, al que nosotros llamamos romboide.
  figura 9

Los enunciados {1} a {13} dan cuenta de la dificultad que se tiene para expresar de manera correcta las propiedades geométricas. Por un lado, es muy usual que para hacer referencia a las caras laterales se use el término Caras. En el protocolo ¿Cómo se usa la terminología? ¿Cómo se interpreta? se presta más atención a este problema. Por otro lado, también es común que para nombrar un paralelogramo se haga referencia a un caso especial de éste. Esto puede suceder porque las respuestas se basen en los prismas rectos, familia de prismas que tiene un gran peso en las imágenes que tienen los estudiantes de los prismas, o bien porque dentro de los paralelogramos, el rectángulo es el que se ha estudiado más. En el protocolo ¿Se aplican ideas que se tienen que revisar? se considera de nuevo este problema.

Con estas respuestas se centra también la atención en propiedades de los prismas relativas a las bases y a las caras laterales: En los prismas las bases son iguales y paralelas y pueden ser cualquier polígono. Las caras laterales son paralelogramos. Se hace referencia también sobre los diferentes tipos de paralelogramos que hay: Cuadrados, rectángulos, rombos, romboides.

{14} P: Si te fijaras en los vértices, ¿podrías decir algo?
{15} E1: Que de cada uno salen los mismos ... Dos y la base. Se puede hacer de esa manera también.
{16} P: Se dirije a E2 y le pregunta: Si te fijaras en los vértices, ¿podrías decir algo?
{17} E2: No se... Es que ella ya ha dicho la que era. Otra yo no sé.
{18} P: Ahora vamos a construir armazones de prismas utilizando pajitas y bolitas de plastilina o estos otros mecanismos que permiten juntar las varillas.
{19} E1: ¿Los que queramos?
{20} P: Sí, pero tienen que ser prismas. [Construyen los armazones de la figura ]

figura 10
{21} P: ¿Cómo los habéis hecho?
{22} E1: Yo he hecho el de las bolitas amarillas. He hecho la base y en cada bolita he puesto otra varilla, todas iguales porque son las laterales y luego le he puesto la otra base.
{23} E2: Pues yo he hecho las dos bases y luego las he juntado vértice con vértice (el de las bolitas rojas). Todas las varillas que juntan los vértices son iguales más grandes que las de las bases.
{24} E1: Pero pueden seer también más pequeñas. Entonces salen prismas más bajitos... Pueden ser altos y bajitos.
{25} P: Ahora, ¿podéis decir alguna propiedad de las aristas laterales de los prismas y de los vértices?
{26} E2: Pues que los vértices están uno a uno así... o sea... que se juntan uno a uno. Y forman rectángulos, cuadrados,...romboides...
{27} E1: Pues yo digo que salen tres de cada vértice. De cada vértice salen tres varillas. Y las que suben son iguales y las de las bases también.
{28} P: ¿Y eso pasa en todos los prismas?
{29} E2: No sé. En éstos sí.
{30} E1: Yo creo que sí porque así los puedo hacer todos.

Los enunciados {14} a {30} muestran cómo la construcción de armazones es un buen contexto para descubrir propiedades de los prismas relativas a las aristas y a los vértices. Las dos estrategias (maneras) usadas para construir remarcan diferentes propiedades: Que en cada vértice concurren 3 aristas (dos aristas de la base y dos laterales) o que los vértices de una base se corresponden con los de la otra base. Los vértices que se corresponden están unidos por una arista lateral.

Puede notarse también como los niños utilizan los ejemplos que han construido para dar sus respuestas y que algunos pueden argumentar generalizando el procedimiento de construcción a todos los prismas. Ahora bien, en un nivel de primaria, este tipo de argumentación no pueden darlo todos los niños de este nivel. En la mayoría de las sesiones que hemos tenido con niños de 12 años ha sido el profesor el que lo hace notar.

Lo que sí ha ocurrido en la mayoría de las sesiones (incluso con estudiantes para maestro) que se enuncien propiedades que se tienen que revisar. En este caso se ha apuntado que las aristas de las bases son iguales. La sesión continuó como sigue.

{31} P: ¿Y las aristas de las bases no pueden ser diferentes?
{32} E2: Yo creo que no pues las de la base de arriba tienen que ser iguales a las de la base de abajo.
{33} P: ¿Y si nos fijamos en una de las bases? ¿Los lados de ese polígono pueden ser diferentes?
{34} E1: ¡Ay sí! En la F son diferentes. Pero yo los había cogido iguales.
{35} E2: Yo también. Pero sí pueden ser diferentes. En los que no se pueden construir con estos polígonos que tenemos había con lados diferentes.
{36} P:

Entonces vamos a apuntarnos otras propiedades de los prismas. Podemos decir que las aristas laterales son iguales. Ahora bien, las aristas de las bases, al fijarnos sólo en una base, pueden ser iguales o diferentes. Cuando nos fijamos en las dos bases, cada arista de una base tiene otra igual y paralela en la otra base.

Al fijarnos en los vértices se puede decir que son de orden 3, porque en ellos se juntan 3 polígonos (2 caras laterales y la base) y 3 aristas ) 2 aristas de la base y una arista lateral). [Lo muestra en un modelo y en un armazón de un prisma ]. Y esto lo podemos decir para todos los prismas porque todos podemos construirlos de la misma manera.

{37} E1: ¡Oye mira! [Muestra el prisma oblicuo de la figura y pregunta] ¿Y en los oblicuos también son iguales? A ver, en éste. Yo digo que no son iguales. Sólo es en los rectos. En los oblicuos no.

figura 11
{38} E2: Están inclinadas, pero yo creo que sí son iguales. Todas están inclinadas. Mide y verás ...
{39} E1: Vale, porque al construir los armazones, si inclino todas las varillas me salen los oblicuos. Pero es porque inclino todas lo mismo para que se puedan poner con la base que si no no pasa.
{40} E2: Es que las bases son paralelas... y las aristas están igual de inclinadas...

Los enunciados {31} a {40} centran la atención en las propiedades de los prismas relativas a los vértices y a las aristas y en propiedades que expresan los estudiantes que se tienen que revisar. En {32} y {33} se refleja que la propiedad ¨tiene las aristas de las bases iguales¨ tiene dos interpretaciones posibles. Ello lo expresa el profesor en {36} en términos de propiedades. Propiedades de los prismas que se han revisado en estas respuestas han sido, por un lado, ¨las arista de una base son iguales´, respuesta que se basa en algunos ejemplos, o en subfamilias de prismas (los prismas de bases regulares) que tienen mucho peso en la imagen de los estudiantes de los prismas. Por otro lado, ¨las aristas laterales de los prismas oblicuos no son iguales¨. Visualizar que las aristas laterales de los prismas oblicuos son iguales requiere de visión espacial pues la igualdad de éstas tiene que identificarse cuando las aristas no están en la prosición estándar. En {39} puede notarse como E1 se apoya en la construcción para reconocer esta igualdad.

En el protocolo ¿Se aplican ideas que se tienen que revisar? , además de esta propiedad e idea que hemos comentado, se pueden conocer otras ideas que se han subrayado en la investigación en Didáctica de la geometría como que tienen gran peso en la imagen que los estudiantes se forman sobre algunos conceptos geométricos y que son ideas que se tienen que revisar.

Protocolo 3. Sobre las representaciones físicas

{1} E1: Oye! Este modelo está un poco chungo, eh!

figura 12
{2} E2: Sí, lo han apañado con celo y todo.
{3} P: ¿Pero, es el modelo de un prisma?
{4} E1 y E2: E1 y E2: Sí, claro.
{5} E1: A mi aún me saldría peor.
{6} E2: Es que además se ha gastado. Como los cogemos y se nos caen a veces, pues se rompen.

Cabe señalar cómo para identificar el modelo como ejemplo de prisma los dos niños se abstraen de las imperfecciones que le vienen de la construcción. En otras experimentaciones hemos comprobado que ante dos modelos construidos con cartulina, uno con imperfecciones al juntar las caras en las aristas y otro con imperfecciones que conducen a bases que no son paralelas (pero casi), algunos estudiantes aceptan ambos como prismas (aclaran que están un poco mal hechos) o rechazan ambos (aclaran que no se cumple alguna propiedad). En estos casos se discute sobre dónde está el límite para la tolerancia de estas imperfecciones, que lleva consigo revisar las propiedades que tiene el sólido y comparar los objetos que están materializados y "los que se pueden tener en la cabeza". Se apunta que en los modelos que vemos no se tienen en cuenta los detalles que son consecuencia de la construcción que se hace y por ello decidimos si los consideramos válidos o no para que nos sugieran las propiedades geométricas que tiene el sólido correspondiente.

{7} E2: ¿Y aquí, cuántas caras tenemos?

figura 13
{8} E1: Pues, a ver,.. 1, 2, 3, 4 y éstas dos. 6. Y en éste, pues, 6, 8.
{9}E3: Yo digo que hay más. Mira… Lo deshaces todo y cuentas Y aquí [señala las bases] hay, 3 y 6.
{10} E1: Pero es que son sólo una. Está todo así [Señala como que está plano]. ¿A que es sólo una? [Le pregunta a la profesora].
{11} E1: Es que yo no tengo que pensar nada. Es así y basta. Porque sino, hago muchas rayas en los otros [hace rayas en las caras laterales] y mira los polígonos que me salen ahora. Lo que queda plano y está todo junto forma un sólo polígono, pertenece a la misma cara,
{12} E2: Sí, cuando estudiamos los polígonos metíamos rayas que se llamaban…, por los vértices,… Y por eso teníamos sólo un polígono
{13} E3: Diagonales, se llamaban diagonales, y eso, hay sólo una, pero como hay tantos triángulos,…
{14} P:

Vale, parecía que cada pieza del material iba a ser una cara del sólido y ahora hemos visto que a veces no ocurre esto. Una cara puede estar formada por varias piezas de l material y forman un sólo polígono si al final quedan planas. Como no tenemos trapecios ni hexágonos, al juntar triángulos los hemos podido construir. Pero los 6 triángulos que quedan planos forman un hexágono y los tres triángulos forman un trapecio isósceles.

¿Y qué me diríais de este armazón? ¿Cuántas aristas y cuántos vértices tiene?
{15} E3: Pues… a ver… 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … [Cuentoa todas las bolitas E1 le interrumpe]

figura 14
{16} E1: Pero es que esas amarilas no son.
{17} E2: Yo lo hice así para hacerlo más alto, pero estas bolitas amarillas no valen. Tengo 4 vértices de una base y 4 vértices. Éstas son sólo 4 aristas. No son 8.
{18} E3: Sí, así puedo hacer más altos y más gordos aunque no tenga varillas tan grandes. Pero todo lo recto es una arista y cuando continúan en recto no hay vértice.

En un trabajo que hemos publicado en la revista de Enseñanza de las Ciencias, en el 2001, al que también se hace referencia en la sección Para saber más subrayamos que los aspectos perceptivos de los modelos físicos de los sólidos pueden entorpecer la lectura geométrica de algunos estudiantes, al atraer la atención sobre elementos del modelo no pertinentes para esa lectura. Así, como se hace notar en {9}, para los modelos físicos cuyas caras están formadas por varios polígonos de material comercializado, (todos ellos quedan en el mismo plano), especialmente si son de diferente color, algunos estudiantes identifican cada pieza del material con una cara del sólido que se construye. Por otro lado, como se hace notar en {15}, cuando la arista de un modelo está formada por varias varillas unidas con bolitas, cada varilla se identifica con una arista y cada bolita con un vértice. Por lo que cuando se trabaja en un contexto de construcción con material comercializado, cabe verificar qué ideas tienen los estudiantes sobre estos elementos dando la oportunidad para que se verbalicen estas ideas, como se muestra en {7} a {18}.

Protocolo 4. Construcción de prismas oblicuos

El protocolo que se transcribe a continuación corresponde a una conversación entre dos alumnos de Magisterio (futuros profesores de Educación Primaria) en la que inmersos en una tarea de construcción del modelo de un prisma oblicuo, utilizan razonamientos basados en las propiedades de los prismas.

Los estudiantes están construyendo por parejas el modelo de un prisma oblicuo. La figura que se muestra, sugerida por la que se muestra en Castelnuovo (1979, p. 214), ilustra el proceso. Un estudiante lo mantiene construido y el otro estudiante intenta esbozar el desarrollo, calcando con papel transparente los paralelogramos de las caras laterales. Determinados los paralelogramos, los estudiantes dibujaron el desarrollo y construyeron el modelo. Tuvo lugar la siguiente conversación.

figura 15

{1} E1: Ten mucho cuidado de que las caras bases sean paralelas y que los vértices se correspondan, que no estén giradas las bases.
{2} E2: [Van a hacer los ajustes del esbozo]. Mira yo hago estos paralelogramos y tú éstos.
{3} E1: Vale. Pero tenemos que tener en cuenta que las aristas laterales tienen que ser iguales, así que los lados de todos paralelogramos, en los míos y en los tuyos, tienen que ser iguales.
{4} E2: Y tienen que ser paralelos dos a dos.
{5} E1: Ya. Y los lados de la base de los paralelogramos son los lados del polígono de las bases, a ver... a mí me tocan éstos [los señalan en los polígonos que previamente ya han construido como que son las bases del prisma] y a ti éstos.

Este protocolo se presenta también en un artículo de la autora de esta página, publicado en la revista de Educación Matemática, en 2004. Si se quiere conocer más sobre diferentes maneras de responder a tareas planteadas en un conteexto de construcción de formas por diferentes procedimientos, de manera que estas respuestas implican razonamientos de diferentes nivel de razonamiento, se puede consultar este trabajo, al que también se hace referencia en la sección Para saber más.

Aquí queremos llamar la atención sobre cómo utilizan estos dos estudiantes para maestro las propiedades de los prismas para perfeccionar el esbozo de los paralelogramos que uno de ellos obtenía calcando el modelo que generaba el otro.

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