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La construcción de modelos y armazones: "Ideas"
de poliedro y...
Las conversaciones que transcribimos a continuación
tuvieron lugar después de que en sesiones previas se hubiera considerado
los cilindros, conos y esferas como familias de sólidos como soporte
para desarrollar actividad matemática y también se construyeran
modelos y armazones de poliedros.
De la construcción de los cilindros y conos y de
los poliedros surgieron ideas para sólido, para poliedro y para
sus elementos. Se expresó que Sólido es un modelo que encierra
completamente un espacio. Las caras unidas son las que forman la superficie
del sólido que es la que encierra completamente el espacio. Los
vértices se parecen a las esquinas, a los picos. Se forma un espacio
con volumen. Las aristas se forman al juntar dos caras. Poliedro es un
modelo cerrado, formado por polígonos y los polígonos se
juntan de dos en dos. Para los poliedros llamamos caras a los polígonos
que forman el poliedro, aristas. a cualquier lado común a dos caras
y vértices a los puntos donde se juntan más de dos caras.
En este contexto de construcción de poliedros y
de algunos ejemplos de familias de éstos (prismas, antiprismas,
pirámides y bipirámides), que también se indentifican
como ejemplos de poliedro, surgieron las preguntas que desencadenaron
los protocolos siguientes. La actividad de partida corresponde a la identificación
de modelos como ejemplos o no ejemplos de poliedro, actividad que se trata
también en la sección ¿Son
o no ejemplos?. Aquí se centra la atención en cómo
los objetos que introduce alguno de los estudiantes en el contexto de
la actividad de clase son los que obligan a revisar y precisar las ideas
que se tenían hasta entonces de poliedro y de sus elementos.
Protocolo 1. El cono ¿es o no es un poliedro?
| {1} E1: |
A ver ... ¿Este cono de aquí? ¿Es
poliedro o no? |
figura 21
|
| {2} P: |
Los conos, ¿son poliedros? |
| {3} E1 |
Yo creo que no es un poliedro. Porque no tiene polígonos. |
| {4} E2: |
[Interrumpe] Porque no tienen lados. |
| {5} P: |
Los polígonos tienen lados y vértices.
Los sólidos tienen caras, aristas,... ¿Qué otra
cosa pueden tener los poliedros? |
| {6}E3: |
Vértices. |
| {7}P: |
[Pregunta a E3] ¿Y los conos tienen
vértices? |
| {8}E3: |
El de arriba. |
| {9}P: |
Los conos ¿tienen caras o no tienen caras? |
figura 22
|
| {10}E4: |
No. Bueno... La de abajo. |
| {11}P: |
Las caras no son polígonos, pero, ¿tiene
caras? El cono sólo tiene la de abajo, ¿o tiene alguna
otra cara? ¿Y si lo colocamos tumbado? |
| {12}E1: |
La superficie lateral. |
De los enunciados {1} a {12}cabe señalar cómo
los niños se apoyan en los modelos y en sus posiciones para hacer
descripciones de los mismos. Así, en {8} se habla del vértice
de arriba, en {10} de la cara de abajo. Puede notarse también cómo
el profesor llama la atención sobre que en {10} se usa terminología
del plano (se habla de lados) para el espacio (en vez de lados se habla
de aristas). En el protocolo ¿Cómo
se usa la terminología? ¿Cómo se interpreta?
se presta de nuevo atención a ello.
| {13}P: |
¿El cono tiene aristas? |
| {14}Todos: |
No. |
| {15}E4: |
Creo que no, pero para tener algún
vértice tiene que tener alguna arista. |
| {16}Todos: |
No. |
| {17}P: |
Los conos no tienen ninguna arista recta,
¿tienen alguna arista? |
| {18}E2: |
Sí, si es curva sí. |
| {19}P: |
[Muestra un cono] ¿Tiene alguna
arista? ¿Qué es una arista? [Pregunta a E4] ¿Qué
es una arista para ti? |
| {20}E4: |
Pues... la línea, la de....[da golpecitos
en la mesa]. |
| {21}E2: |
La línea que une dos caras... |
| {22}E1: |
O varias caras. |
| {23}P: |
Vale. Vamos a ver...La línea que
une varias caras... [Muestra el modelo de la figura y pide a E3] Señálame
una arista |
figura 23 |
| {24}E3: |
La señala. |
| {25}P: |
Eso es una arista. Muy bien. ¿Pueden juntarse
varias caras en una arista? |
| {26}E1: |
No... |
| {27}E2: |
Yo creo que sí, ésta y ésta
(y las señala) se juntan en la misma arista. |
| {28}E1: |
Pero sólo dos. |
| {29}P: |
¿Se pueden juntar en una arista
más de dos caras? |
| {30}E4: |
Yo pienso que no... En cualquiera.... sólo
dos. |
| {31}E2: |
Sí. [ha juntado 3 triángulos como en
la figura] |
figura 24 |
| {32}E1, E2 y E4: |
No. No. Así no es nada. |
| {33}P: |
Continúa para que sea poliedro. Cuando formas
el poliedro, ¿qué te ha pasado con el que habías
puesto por dentro? |
| {34}E1: |
Pues que no cabe. |
| {35}E2: |
No se pueden juntar 3 caras en una arista. |
| {36}P: |
O sea que vamos a quedar en que una arista
es donde se juntan dos caras. ¿Y un vértice? |
| {37}E1: |
Donde se juntan varias caras... |
| {38}E2: |
¿Cuántas caras pueden juntarse
en un vértice? |
| {39}E1: |
Miles... |
| {40}P: |
¿Se pueden juntar sólo dos caras? [Se
dirige a E4] ¿Crees que en un vértice se pueden juntar
sólo dos caras? |
figura 25
|
| {41}E4: |
No, [junta tres triángulos y luego junta 2 y
dice] así no hay nada,... una arista sí… |
| {42}P: |
Para que se forme una esquina, ¿cuántos
polígonos necesito como mínimo? |
| {43}E4: |
Se necesitan por lo menos 3 caras. |
| {44}P: |
O sea, en los vértices por lo menos
tres caras, y en las aristas se juntan dos caras. Bien, ya nos hemos
puesto de acuerdo en lo que es una arista. Vamos a volver otra vez
con el cono. ¿El cono tiene aristas? |
| {45}E2: |
Es que tiene sólo una cara... Todo
lo que bordea es sólo una cara. |
| {46}P: |
¿Y esto? [señala la base]
¿Es cara? |
| {47}E2: |
Eso es la base. |
| {48}P: |
Y, ¿la base es cara? |
| {49} |
Respuesta de cada uno de ellos: Yo creo
que sí. |
| {50}P: |
O sea que ¿cuántas caras
tiene el cono? |
| {51}Todos: |
: Dos. La base y la otra |
| {52}P: |
[Pregunta a E2] ¿Dónde se junta la cara
lateral [señala la cara lateral] con la base? |
figura 26
|
| {53}E3: |
[Señala un poco de la circunferencia y luego
marca toda la circunferencia]. Esa es la arista. |
| {54}P: |
¿Qué dirías de esta arista? |
| {55}E4: |
Que ésta es redonda y es ... Es
curva. |
| {56}P: |
O sea, que el cono tiene una arista pero
es curva. ¿Y el cono tiene vértices? |
| {57}E2: |
Es que tiene sólo una cara... Todo
lo que bordea es sólo una cara. Pero es que no hay tres... |
| {58}P: |
O sea que en los sólidos sí
que pueden haber vértices formados sólo por una cara.
¿Cómo tienen que ser las caras para que pueda pasar
eso? ¿Si las caras son polígonos puede pasar? |
| {59}E4: |
No, hay que doblarla. |
| {60}E2: |
Tiene que ser curva. |
| {61}P: |
Vale. Sólo en los modelos que se
forman con polígonos se puede decir que los vértices
tienen que tener 3 caras o más. Con caras curvas, una sola
cara ya puede formar un vértice. |
La mayoría de los estudiantes que ha participado
en nuestras experimentaciones tenían una idea visual de cara, vértice
y arista basada exclusivamente en el mundo de los poliedros. Fue necesario
introducir algún ejemplo de sólido (como se ha visto en
el protocolo, el cono es muy adecuado) y formular preguntas sobre su número
de elementos para que notaran que en los sólidos con caras curvas
no se pueden aplicar algunas ¨ideas¨ que se basan en los poliedros.
En los enunciados {13} a {61} se puede apreciar cómo la descripción
del cono (podría considerarse también el cilindro y/o la
esfera) centrando la atención en sus elementos, permite verificar
si la idea que se tiene sobre los elementos de los sólidos, basada
en los poliedros, se puede aplicar a estas familias concretas. Ello favorecerá
que los estudiantes aumenten y precisen la imagen de estos conceptos e
incluyan como ejemplos de ellos las caras curvas, las aristas curvas o
los vértices formados por una única cara.
Los enunciados {45} a {49} muestran también que
los niños no tienen en cuenta la base cuando se habla de cara de
un objeto, si no se pregunta directamente sobre ello; esta situación
se ha manifestado en repetidas ocasiones, al realizar diferentes experimentaciones
y al tratar con ejemplos de otras familias de poliedros. Se hablará
de ello en el protocolo ¿Cómo
se usa la terminología? ¿Cómo se interpreta?
Protocolo 2. Construyendo armazones de poliedros: ¿Es
poliedro? ¿Es un poliedro o varios?
| [En la sesión se habían
construido armazones de prismas y de antiprismas. Uno de ellos construyó
el armazón de la figura a partir del cual se desarrolla la
siguiente discusión] |
figura 27
|
| {1} E1: |
A ver ... ¿Esto qué es? ¿Es
poliedro o no? |
| {2} E2: |
No, porque se puede poner ahí [señala
una cara] una punta o algo. Mira ahí se puede poner ... Una
pirámide. |
| {3}E3: |
Pero así se supone que esto va a ser algo ... |
| {4} E1: |
[Interrumpe] Pero no está tapado.
|
| {5} E3: |
Que ahí se va a poner una cartulina
y lo va a tapar. |
| {6}E2: |
Pero como no está tapado no es.
Si estuviera tapado pues sí. |
| {7}E4: |
Yo creo que sí. |
| {8}P: |
¿Por qué? |
| {9}E4: |
Pues porque sí; porque tiene forma
de poliedro. |
| {10}E1: |
Pero es que aquí puedes poner otra
figura. |
| {11}E2: |
Pero ese [señala los tres rectángulos
unidos de la figura, que anteriormente se había rechazado como
ejemplo de poliedro porque no encerraba perfectamente un espacio]
no tiene todos los bordes y éste sí. Es poliedro porque
tiene todos los bordes. |
figura 28
|
| {12}E3: |
¿Pero qué figura le puedes pegar ahí
si esto está recto? [Muestra que la cara es plana]. |
| {13}E2: |
Sí, algo que salga ahí [y
señala una cara a la que le añade una pirámide
acoplada a esa cara] de punta. Sí que se puede poner. |
| {14}E4: |
Es un poliedro. |
| {15}E2: |
No. No es. |
| {16}P: |
Si quieres hacer este modelo con polígonos
¿Sabes los polígonos que tienes que elegir? |
| {17}Todos: |
Sí. Rombos. |
figura 29
|
| {18}E4: |
Es poliedro. Los bordes ya están. Es como cuando
tienen papel que tú puedes ver lo de dentro... [Se refiere
a modelos que vieron en una de las sesiones que tenían las
caras de acetato para poder ver el sólido inscrito en él]
Aunque no tiene el plástico ese tampoco... Pero da igual....
Si aquí pegáramos las caras de cartulina, simplemente
pegarlas, ya está. Y no hace falta. |
| {19}E3: |
Eso. Aquí está todo [Se refiere
al armazón]. Es como si lo hubieras hecho con las pajitas y
lo sueldas. Pero aquí [Se refiere a los tres polígonos]
si lo has empezado así... ¿Por qué paras? Si
lo empiezas así... tienes que terminarlo con estos...[Señala
el material de troquelados]. Y si lo empiezas con pajitas, pues sigues
así.... Pero todo... |
En las experimentaciones que hemos realizado hemos verificado
que si presentamos los armazones de los sólidos resulta más
difícil identificar a qué familia pertenece el sólido
correspondiente que si presentamos un modelo del mismo. De ahí
que una parte del trabajo inicial, especialmente si se trabaja con niños
pequeños, debe mostrar las diferentes representaciones materiales
de los sólidos (modelos macizos, modelos huecos y armazones) y
aprovechar cada una de ellas para trabajar el tipo de propiedades de los
sólidos que remarcan. Pero el comienzo del estudio tiene que estar
basado en modelos, bien sean macizos (de madera o de plastilina) o huecos
(construidos con cartulina a partir de uno de sus desarrollos o con los
materiales comercializados formados por polígonos). Cuando el profesor
presente los armazones como representaciones materiales de los ejemplos
de las familias de sólidos, deberá estar preparado para
que algún estudiante no acepte como atributo de los poliedros que
las caras encierran perfectamente un espacio porque esta idea entre en
conflicto con la materialización del poliedro a través de
su armazón; esto se constata en la conversación que hemos
transcrito desde {2} a {18}.
En el nivel de primaria o cuando los estudiantes se introducen
en el estudio de la geometría se tiene muy en cuenta la materialización
de los ejemplos de las familias de sólidos. Para que los estudiantes
puedan integrar en la imagen que van construyendo para una familia de
sólidos todos los significados que provienen de los diferentes
contextos en los que pueden aparecer los sólidos, es necesario
que los estudiantes puedan ver los sólidos materializados de diferentes
maneras. Si los estudiantes incluyen en su imagen de una familia de sólidos
atributos que provienen de las diferentes materializaciones, como por
ejemplo, son macizos, huecos pero con la superficie cubierta, son sólo
el armazón, al mostrar las diferentes representaciones se facilita
que estos atributos se eliminen.
| {20}E1: |
Pues yo ahora digo que no es. Son dos.
Es como una tienda de campaña y le he puesto una pirámide
en esta cara. Mira, a este prisma le pongo esta pirámide y
me sale éste, pero aquí se ve mucho peor, pero sí
es. |
figura 30
|
| {21} E3: |
: Pues le quitas la base y ya sale uno. |
| {22} E1: |
¿Son uno o dos? (Se dirige a la profesora)
|
| {23}P: |
Depende. Si nos fijamos sólo en la superficie que delimita
un espacio, el modelo podemos verlo como que está formado por
6 triángulos y 2 cuadrados. Entonces es poliedro. Pero si queremos
verlo como lo ha visto E1, entonces está formado por dos poliedros.
No es un poliedro sino dos que se han juntado. |
| {24} E1: |
O sea, que puede ser lo que te de la gana...
|
| {25} P: |
Lo primero que me tienes que decir es
cómo lo ves tú. Después ya no puedes responder
como quieras. Con los armazones, como no están materializadas
las caras puedes introducir alguna que quedaría por dentro
y en ese caso el poliedro lo has partido en otros. Tú tenías
un poliedro inicialmente pero lo has descompuesto en otros dos porque
has introducido la cara cuadrada que descompone al poliedro en otros
dos: el prisma triangular y la pirámide. |
| {26}E1: |
Pero yo es que lo he visto ya así,
partido en dos. |
| {27}P: |
Vale, pues como el borde ha quedado delimitado
y tu has visto también un cuadrado separación, entonces
la respuesta es que el modelo está formado por otros dos poliedros.
Pero si no imaginas el cuadrado separación, sólo consideras
los polígonos que forman la superficie, entonces es un poliedro
porque está formado por polígonos y se delimita perfectamente
un espacio aunque las caras no estén materializadas. |
| {28}E2 y E3: |
Yo creo que sólo es uno. Es poliedro. |
Identificar los sólidos cuando se presentan inmersos
en una estructura conlleva dificultad para muchos estudiantes de primaria,
especialmente si éstos se presentan con un armazón. Cuando
los estudiantes no puedan identificar los sólidos que forman una
estructura, el profesor puede sugerir que se construya con polígonos,
introduciendo en primer lugar los polígonos que marcan la separación
de las piezas; luego se puede pedir que se desmonte, se observen e identifiquen
las piezas y se construya de nuevo Situaciones como la descrita en {20}
a {28} son muy interesantes porque además de precisar las ideas
que se tienen sobre los conceptos (en este caso sobre los poliedros) y
sus representaciones, fomenta las discusiones entre los niños desarrollando
actividad matemática. Permite mostrar además, ya en este
nivel, aunque no se haga explícito, algunas características
de las matemáticas: En las matemáticas ¨nos desprendemos¨
de la materialización de las formas, por eso aceptamos que las
caras o el interrior de un poliedro estén materializados o no;
en las matemáticas se decide de dónde se parte y después
se es coherente.
En esta tarea, puede ser interesante también, además
de la identificación de formas, que los estudiantes describan las
construcciones realizadas, que den datos sobre ellas a un compañero/a
(o a varios) para que sin verlas puedan reproducirlas; la descripción
de las estructuras construidas es un buen incentivo para crear medios
lingüísticos.
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