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(¿Son o no ejemplos?)
Respuestas basadas en ideas ingenuas
En la presentación hemos hablado del modelo de razonamiento
de Van Hiele. Freudenthal (1973, p. 408), cuya referencia se incluye en
la sección Para conocer
más, explica que ¨la intención de Dina Van Hiele
al diseñar el material concreto es la de hacer que los chicos actúen
con lógica, pensando. Las manos y el cerebro trabajan conjuntamente
para responder a la cuestión de cómo está hecha una
cosa concreta. Si las definiciones se les dan a ese nivel éstas
serán genéticas, esto es, diciendo cómo está
hecha la cosa que se define. Si después esta definición
es reformulada de un modo más formal, la nueva definición
deberá conectar con la anterior. El último desarrollo lógico
deberá quedar grabado en los chicos con el uso del material concreto¨.
En el primer nivel, para definir una familia de ejemplos, los estudiantes
o bien se apoyarán en modelos conocidos que tengan la forma de
los ejemplos, o bien indicarán propiedades visuales. La definición
será una idea muy ingenua del concepto basada en ejemplos prototipo
y pueden incluir atributos visuales o características funcionales.
De estas definiciones genéticas, que denominamos
¨ideas ingenúas¨, se habla en este apartado. Al comentar
las respuestas basadas en atributos visuales ya hemos indicado que el
profesor puede aprovechar descripciones que hacen los estudiantes de modelos
o esqueletos de sólidos utilizando atributos visuales para verbalizar
alguna idea ingenua para algunas familias de sólidos. Estas ideas
ingenuas facilitan que se identifique lo que es ejemplo o no ejemplo de
la familia correspondiente cuando el sólido se muestra en diferentes
posiciones y con diferentes representaciones.
Por otro lado, en el apartado La
construcción y... de esta sección se ha remarcado en
varias ocasiones que los procedimientos de construir o generar modelos
y/o armazones de algunos sólidos facilita la elaboración
de ¨ideas¨ para las familias correspondientes. A continuación
vamos a indicar algunas respuestas de estudiantes para maestro y de maestros
en ejercicio a tareas de identificación de ejemplos o no ejemplos
de prismas cuyas explicaciones están basadas en las ideas ingenuas
que se habían hecho explícitas a partir de procesos de construcción.
| {1} |
El que tiene forma de F, si es prisma.
Una forma de identificar si un sólido es prisma, es hacer
cortes (rodajas) paralelos a la que consideramos bases y las secciones
que se obtienen deberán ser iguales a las caras bases. En
este modelo, aunque no está apoyado en las F, cuando se corta
en “rodajas” niveles, paralelo a las F, las partes resultantes
son iguales en forma, entonces esa será la base.
El otro, no lo es. Hago rodajas, y no todos los prismas salen de
la misma forma, entonces esa no es la base. Y no encuentro ninguna
que pueda serlo. |
figura5 |
| {2} |
La F, sí que es prisma. De un prisma grande
puedo obtener muchos prismas haciendo rodajas. Si todas las rodajas
salen de la misma forma, a esa forma la llamamos base. Si hago rodajas,
y no todos los prismas salen de la misma forma, entonces esa no
es la base. |
| {3} |
Para identificar la cara base de un (polígono) prisma
se recomienda hacer cortes y en donde se corte y todos los cortes
salgan iguales esa es la cara base. En este modelo la F es la cara
base y sí que es prisma.
El otro modelo creo que no es porque creo que cuando corto no salen
todos cortes iguales. Pero no lo imagino bien. Lo puedo decir también,
porque un prisma puede construirse con una pulsera hecha de polígonos
paralelogramos iguales, que puede taparse por los lados. En este
modelo la pulsera no es de paralelogramos sino de triángulos.
Por lo que no es prisma. |
| {4} |
Haciendo cortes o rodajas y todas las partes son
iguales al lado paralelo, entonces ese lado paralelo es la base.
En el modelo F sí que es prisma. Se parece al de la E que
vimos otro día. La base es la F.
El otro yo creo que no es prisma. No imagino los cortes que den
igual al lado paralelo. Además, tampoco responde a lo que
son los prismas que también lo podemos decir como el prisma
es un polígono que se hace gordo. Prisma: jaula. Polígono
gordo que se hace gordo y que no se debe girar.
figura 6 
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| {5} |
Un ejemplo con tapas y ligas representa un prisma
con lados, vértices y aristas. Cuando se introduce un prisma
con dos polígonos iguales y atados por ligas y después
se estiran o desplazan las bases, los niños imaginarán
que no es un sólido, pues las ligas permiten ver de un lado
a otro. Pensarán que es una jaula. Dirán que es un
esqueleto. Por eso, es bueno mostrar modelos para estos prismas.
Pero como es más rápido construirlo con tapas y ligas,
después de ver varios modelos ya puedes imaginar el prisma
cuando sólo tienes la ¨jaula¨, como me ha pasado
a mi. Y así es muy fácil ver que es un prisma y que
las bases son las F porque son los polígonos atados por ligas.
El otro no lo es pues hay dos polígonos iguales también
pero para atarlos con ligas, no se juntan los vértices, vértice
a vértice, sino que se hace como una ¨cenefa¨.
figura 7
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| {6} |
La F sí que es prisma pues cuando lo apoyamos
en la F (ahora no está apoyado ahí pero puedo ponerlo)
parece que el polígono de la F (el otro día vimos
que era un polígono) lo hemos levantado hacia arriba y puede
ser más o menos alto. O sea, los rectángulos que juntan
los lados pueden ser más o menos altos. Cuando lo miramos
al revés, o sea vamos destensando las ligas (gomitas), en
el límite sale el polígono.
Con el otro modelo no se puede hacer eso porque no tiene rectángulos.
Tiene triángulos. También parece como una columna
al apoyarlo en su base, como el cilindro y los prismas, pero las
caras laterales no es un rulo (como en el cilindro) ni tiene rectángulos. |
Cabe señalar las diferentes ideas ingenuas que se
han indicado en las respuestas {1}a {6} y cómo han facilitado que
los modelos se identificaran como ejemplo y no ejemplo de prisma. De las
respuestas se desprende también que para algunos estudiantes unas
ideas ingenuas facilitan identificar los ejemplos pero ofrecen dificultad
para identificar algunos no ejemplos, como se expresa en {3} y {4} para
la idea de ¨Se hacen rodajas...¨. Tener el recurso de otras ¨ideas¨
que inciden en otras propiedades de los prismas les facilita poder responder
a la cuestión planteada y seleccionar las caras que corresponden
a las bases.
Respuestas como las dadas en {1}a {6} se pueden aprovechar
en clase para verbalizar en términos geométricos las propiedades
de los prismas y antiprismas que se están subrayando con la explicación
de la respuesta. El profesor puede precisar estas ideas ingenuas y enunciarlas
en términos geométricos, llamar la atención sobre
algunas propiedades que se han indicado porque con ellas se hace referencia
a familias más específicas de la considerada, y centrar
la atención en el uso impreciso que se haya hecho del vocabulario
en algunos casos. Por ejemplo, se puede hacer notar que en {3} se ha indicado
que los paralelogramos son iguales, y esto sólo ocurre en algunos
prismas, en {6} se señala que las caras laterales de los prismas
son rectángulos y esto sólo ocurre en los prismas rectos
y en {4} se ha usado el término lados en vez del de caras. Además,
se pueden explicitar las siguientes ideas para los prismas.
- Un prisma cuando se apoya en su base parece como una
columna más o menos alta. En el límite sale el polígono.
La base es la parte en la que se apoya el prisma para que parezca que
es una columna. Es la cara que se correspondería con el círculo
del cilindro, al igual que las caras laterales del prisma se corresponden
con la superficie cilíndrica.
- En un prisma, las secciones paralelas a las bases son
polígonos iguales a las bases. En un prisma, cuando se hacen
cortes paralelos a las bases, se obtienen varios prismas cuyas bases
son las del prisma de partida.
- Un prisma puede verse como una pulsera de paralelogramos
cerrada por ambos lados con dos polígonos que son iguales. También
puede verse como dos polígonos iguales que se juntan lado a lado
con paralelogramos (cuadrados, rectángulos, rombos, romboides).
Cuando los polígonos que juntan las bases son rectángulos
más o menos altos (pueden ser rectángulos o rectángulos–cuadrados)
se obtienen los prismas rectos.
- Un prisma es un polígono que se ha desplazado
paralelamente a sí mismo en alguna dirección. Cuando se
desplaza e dirección perpendicular a sí mismo se obtienen
los prismas rectos.
- Un prisma podemos verlo como una estructura de aristas
y vértices que delimitan dos polígonos iguales y paralelos
que se juntan vértice a vértice con una arista. Cuando
las aristas que juntan las bases son perpendiculares a éstas,
se obtienen los prismas rectos.
Cabe subrayar cómo algunas ideas de las que
se han verbalizado establecen relaciones de los prismas con los polígonos
y/o con los cilindros, otras centran la atención en las secciones
y en los nuevos prismas obtenidos cuando se truncan los modelos de una
determinada manera, otras ven los prismas como una superficie formada
por dos tipos de caras que verifican ciertas condiciones y otras los ven
como estructura de vértices y aristas dispuestos de una determinada
manera.
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