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Compilando y entretejiendo Recopilación de propiedades T-1 a) Mostrar con los prismas cómo se puede proceder de manera sistemática para enumerar las propiedades de esta familia relativas a tipos de caras, orden de los vértices y relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre sus elementos. Apuntar que para descubrir las propiedades de los antiprismas, pirámides y bipirámides se fijen en si las propiedades de las familias ya analizadas se siguen verificando en la familia que se está describiendo y si no es así que se observe si se pueden modificar para que lo sean. Pedir que se observe también si la familia que se está analizando tiene propiedades que no lo sean de las familias descritas antes. b) Pedir que se cuente el número de caras, vértices y aristas de un prisma n-agonal por pisos y que se aplique el mismo procedimiento para determinar estos elementos en los antiprismas, en las pirámides y en las bipirámides. c) Apuntar que para hallar el número de ángulos de las caras de un prisma n-agonal se pueden hallar por separado los de las bases y los de las caras laterales y luego sumarlos. Pedir que se halle la fórmula que da el número de ángulos de las caras de un prisma n-agonal y cuestionar qué modificaciones hay que hacer en este procedimiento si queremos determinar la fórmula para los antiprismas (las pirámides, las bipirámides). d) Pedir que se halle el número de ángulos diedros y de los vértices de cada una de las familias tratadas. Apuntar que para ello se tengan en cuenta las relaciones que existen entre estos números y el número de aristas y de vértices. e) Pedir que se recopilen las propiedades que se han descubierto en las actividades de la opción ¨Ahondando en la descripción y la clasificación¨ para los prismas y que se haga una lista lo más larga posible con las propiedades de esta familia. f) Pedir que se repita la actividad T-1e para los antiprismas, las pirámides y las bipirámides. g) Dar las listas de propiedades que indicamos en ¿Qué propiedades cumplen...? como propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides. Pedir que se comparen estas listas con las listas que se han elaborado para las familias correspondiente. T-2 a) Pedir que se utilicen varios modelos de prismas rectos y que se apoyen en ellos para recopilar en una lista las propiedades que se han descubierto para esta familia en las actividades de la opción ¨Ahondando en la descripción y la clasificación¨. Pedir que se explique si la lista de propiedades de los prismas rectos contendrá todas las propiedades de los prismas. b) Pedir que se repita la actividad anterior para las familias de antiprismas, pirámides y bipirámides, rectos. c) Pedir que se repita la actividad T-2a para las familias de los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides, convexos. d) Pedir que se repita la actividad T-2a para varias subfamilias de los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides, de las establecidas al hacer clasificaciones en las tareas de la opción ¨Ahondando en la descripción y la clasificación¨. Para estas subfamilias pedir además que se explique si, además de indicar de golpe las propiedades de los prismas, se pueden señalar de golpe otros grupos de propiedades. Comentarios Las tareas T-1 y T-2 pretenden conseguir una recopilación de las propiedades de las familias de los sólidos que ya se han descubierto en las actividades de las otras opciones. Cabe resaltar que no son tareas rutinarias de resumen de propiedades sino que están dedicadas a trabajar la descripción de familias centrando especialmente la atención en la manera de hacerlo. Con estas tareas se puede hacer notar que para que no se nos olviden propiedades, cuando intentamos dar una lista lo más larga posible para un sólido o una familia de sólidos, una vez que se ha indicado todas las familias de sólidos a las que pertenece, conviene ir por orden considerando los diferentes elementos: las caras, las aristas, los vértices, los diferentes tipos de ángulos (aC, ad y aV) y los diferentes tipos de diagonales (dC y dE). Señalaremos que para estos elementos hay que delimitar si hay relaciones de igualdad, paralelismo, o perpendicularidad; el número de elementos de cada tipo; si se puede decir algo sobre la medida de ellos, o sobre alguno de ellos; si se pueden establecer relaciones entre los elementos de un tipo y los de otro, etc. Podemos apuntar que para las caras hay que especificar el tipo de polígonos que son, además de si son planas o curvas, que se puede indicar diciendo que es poliedro. Para las aristas hay que señalar si son rectas o curvas, que también se informa de ello cuando se indica que es poliedro. Para las caras o las aristas se puede centrar la atención sólo sobre parte de ellas y decir propiedades relativas a igualdad, paralelismo o perpendicularidad. La tarea T-1 también permitirá observar si los estudiantes son sistemáticos o no al recopilar las propiedades de las otras familias (antiprismas, pirámides y bipirámides). Por otro lado, cabe señalar que la descripción de las familias no se hace independientemente unas de otras sino que se comparan las propiedades que tiene la familia considerada con las otras y se observan parecidos y diferencias entre ellas. Enfatizamos cómo podemos aprovechar los recursos que se tienen para resolver actividades que ya se han planteado para otras familias. Las sugerencias que señalamos en el enunciado de la tarea T-1 dirigen los razonamientos para que se establezcan fórmulas que dan el número de elementos de un determinado tipo para los prismas; además fijan la atención en si se puede extender estos procedimientos para hallar el número de elementos de los diferentes tipos para las otras familias y en las modificaciones que hay que hacer para adaptarlos. Las actividades de la tarea T-2 pretenden que se recopilen las propiedades de las subfamilias establecidas en las tareas de la opción ¨Ahondando en la descripción y la clasificación¨. También centran la atención en la utilización de relaciones de familias para indicar propiedades de una familia englobadas como propiedades de otra. El establecer relaciones de familias en términos de propiedades en muchos casos ya requiere de razonamientos de nivel superior que la descripción de familias en términos de propiedades, por lo que cuando se plantee en clase esta tarea puede ocurrir que los estudiantes no señalen todas las propiedades posibles englobadas como propiedades de otra familia y que incluyan alguna que no sea adecuada. En las experimentaciones realizadas con estudiantes de Magisterio, cuando pedimos las propiedades de los prismas de caras laterales regulares, muchos estudiantes que razonaban en términos de propiedades geométricas indicaron "que esta familia cumple las propiedades de los prismas, las propiedades de los prismas rectos y las de los prismas convexos". Cuando pedimos las propiedades de los romboedros, indicaron "que esta familia cumple las propiedades de los prismas, las propiedades de los prismas convexos y las de los paralelepípedos". Fallos como el primero se pueden aprovechar para centrar la atención de nuevo en los ejemplos diferentes que podemos encontrar en la familia considerada. Para los PCLR se puede llamar la atención en que puede haber primas cóncavos; sus bases tienen lados iguales y sus caras laterales son cuadrados. La segunda respuesta dirige hacia los diagramas que relacionan familias de prismas para establecer todas las familias que contienen a la familia dada. |
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