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Ahondando en la descripción y la clasificación Enumeración de ejemplos y descripción de subfamilias T-21 a) Cuestionar si pueden haber paralelepípedos en los que alguna cara sea cuadrado pero no todas ellas, y paralelepípedos en los que todas sus caras sean cuadrados. Plantear la misma actividad considerando el rectángulo o el rombo en vez del cuadrado. Cuestionar también si pueden haber paralelepípedos cuyas caras sean rombos y paralelogramos (o rombos y rectángulos) y paralelepípedos formados por rombos, rectángulos y paralelogramos. Pedir que se delimiten diferentes tipos de paralelepípedos (según el tipo de polígonos de sus caras). b) Pedir que se repita la actividad anterior para otras familias de prismas cuadrangulares de las que consideramos en la tarea T-20. c) Pedir que se pongan ejemplos de paralelepípedos que no sean cubos ni ortoedros. Cuestionar por turno si en las caras de los paralelepípedos que cumplen estas condiciones (no son cubos ni ortoedros) puede haber cuadrados, rectángulos, rombos, paralelogramos, trapecios, cometas. Después cuestionar si todas sus caras pueden ser de cada uno de los cuadriláteros señalados. Cuestionar si los paralelepípedos que cumplen las condiciones impuestas (no son cubos ni ortoedros) pueden ser romboedros (ortoedros) y si todos ellos lo son. d) Pedir que se repita la actividad anterior para los ejemplos de prismas de base cometa que no son romboedros. e) Pedir que se repita la actividad T-21a para los ortoedros que no son romboedros y para los prismas de bases trapecios que no son prismas de bases cometas. f) Pedir que se pongan ejemplos de paralelepípedos que sean además ortoedros. Plantear cuestiones como en T-21c. g) Pedir que se repita la actividad anterior para los ejemplos de prisma de base cometa que son romboedros y cubos, y para los prismas de bases trapecios que son además prismas de bases cometas. T-22 a) Explicar que cuando se describe un prisma cuadrangular se puede tener en cuenta que las propiedades de los cuadriláteros de las bases relativas a paralelismo de pares de lados se convierten en los prismas en paralelismo de pares de caras laterales. Explicar que en los paralelepípedos la propiedad se convierte en paralelismo de pares de caras. Cuestionar si las propiedades de los cuadriláteros de las bases relativas a perpendicularidad de lados (igualdad de lados) se convierten en los prismas en perpendicularidad de caras laterales (igualdad de caras laterales). Pedir que se indiquen las familias de prismas cuadrangulares para los que ocurre esto, las que verifican que las caras están bordeadas de caras perpendiculares a ella, las que verifican que las caras son iguales dos a dos y las que cumplen que las caras son iguales. b) Centrar la atención en que cuando se describe un prisma cuadrangular, las propiedades del cuadrilátero de las bases relativas a medidas distintas para los ángulos o las diagonales, o respecto a cómo se cortan éstas, se pueden enunciar como propiedades de las bases del prisma correspondiente, pero no como propiedades de las caras. Pedir que se señalen las familias de prismas cuadrangulares para las que no hay que preocuparse con ello. Para el ortoedro, pedir que se delimiten las propiedades del rectángulo que se pueden extender como propiedades de elementos de las caras. c) Pedir que para cada una de las familias de prismas cuadrangulares se haga una lista que incluya todas las propiedades de la familia correspondiente. Dar como sugerencia que para delimitar las familias de prismas cuadrangulares que contienen a la que se considera, y así indicar de golpe un bloque de propiedades de la familia, se pueden apoyar en el diagrama de la tarea T-20. Comentarios La construcción de ejemplos. Queremos aclarar por qué antes de pedir la lista de propiedades de una familia pedimos que se construyan ejemplos de ella con material comercializado y además damos unas sugerencias para que se tengan en cuenta. Es posible que los estudiantes todavía basen las propiedades de familias de sólidos en ejemplos de las subfamilias que tienen más peso en el objeto mental correspondiente. La consecuencia es que o bien indican propiedades que no son propiedades de la subfamilia dada sino de una más específica, o señalan como propiedades de una subfamilia algunas que dejan fuera ejemplos de ella. Por ejemplo, en nuestras experimentaciones, cuando pedimos propiedades de los prismas de bases regulares (PBR) algunos estudiantes indicaron como propiedad que "las caras laterales son iguales y Las aristas tienen dos medidas: la de las aristas laterales y la de las bases"; propiedades que dejan fuera a los prismas de caras regulares. Como propiedades de los prismas rectos indicaron algunas que dejan fuera a los prismas de caras regulares, o a los ortoedros: "Los PR tienen aristas de dos medidas distintas". "Los PR tienen por caras rectángulos y otros que no son rectángulos, las dos bases". Al plantear una actividad previa en la que pedimos que se construyan diferentes ejemplos de la subfamilia para la que luego vamos a pedir una lista de sus propiedades, si en esta actividad sólo se construyen ejemplos de un tipo, podemos destacar que la subfamilia correspondiente también tiene ejemplos de otro tipo. Y en caso necesario, si los estudiantes señalan propiedades que no deberían estar en la lista por alguna de las razones mencionadas, el profesor puede recurrir a estas subfamilias para que los estudiantes comprueben que las propiedades que han señalado sólo las verifican algunas subfamilias de la considerada, pero no todas ellas. Sobre las sugerencias que incluyen los enunciados de las tareas. Las sugerencias que damos en las tareas de descripción de subfamilias pretenden evitar errores que cometen los estudiantes al describir subfamilias de sólidos o que se amplíe la lista de propiedades que se enumeran para ellas. Dado que apuntamos sugerencias de diferente tipo, vamos a explicarlas por separado a continuación: – Algunas pretenden que se indiquen propiedades agrupadas como propiedades de familias. Cabe señalar que los estudiantes no siempre son capaces de reconocer si las propiedades que se han señalado explícitamente también están incluidas en el grupo de propiedades de una familia; de ahí que aún dando la sugerencia de que se tachen estas propiedades, cabe esperar que en las respuestas de los estudiantes que razonan de acuerdo a las características asociadas a este nivel se incluyan propiedades repetidas y que no se indiquen los grupos de propiedades de todas las familias de sólidos que contienen a la subfamilia considerada. – Los estudiantes suelen extender el paralelismo y la igualdad de los lados del polígono de la base a paralelismo e igualdad de las caras laterales correspondientes. Respuestas comunes en los estudiantes son: "Los PBti tienen 2 CL paralelas e iguales" "Los PBc tienen 2 CL iguales (son vecinas) y otras dos iguales (vecinas también)". Esto no siempre ocurre en los prismas oblicuos correspondientes. De ahí que una de las sugerencias que damos en las actividades de estas tareas es que lados iguales no conduce a caras laterales iguales en las familias consideradas. En la tarea T-22 cuestionamos además qué familias de prismas cuadrangulares lo verifican. – La descripción de las familias de prismas cuadrangulares es la que presenta mayores dificultades. De ahí que, por una parte, hayamos planteado la tarea T-21 que centra la atención en las diferentes subfamilias y los diferentes ejemplos de paralelepípedos (por ejemplo, en los paralelepípedos que son ortoedros o que no lo son) y en los tipos de caras que pueden tener y, por otra, hemos incluido más sugerencias que para la descripción de otras subfamilias, y otras cuestiones que intentan corregir los errores usuales de los estudiantes: La actividad T-22a explica que la propiedad del paralelogramo de tener lados paralelos dos a dos, se adapta al paralelepípedo como que tienen pares de caras paralelas, y pretende que se llegue a establecer que las propiedades de los cuadriláteros de las bases relativas a igualdad de lados sólo se convierten en igualdad de caras laterales para los prismas rectos, para el romboedro y para los paralelepípedos. La perpendicularidad de lados de la base sólo se convierten en perpendicularidad de caras laterales para los prismas rectos. En los paralelepípedos dos medidas diferentes para los lados del cuadrilátero de la base, se transforma en tres medidas como mucho para las caras (2 medidas para las caras laterales y una para las bases) y para las aristas. • Como hemos indicado en ¿Se aplican ideas que se tienen que revisar? cuando se describe alguna familia de prismas cuadrangulares, especialmente en las familias de paralelepípedos, hay otro error muy común. Es muy usual basar la respuesta sólo en una cara para enunciar propiedades relativas a elementos que centran la atención en todas ellas (las diagonales de las caras, o a los ángulos de las caras). Para el ortoedro y para el paralelepípedo es usual que se enuncien propiedades como las siguientes: "En los ortoedros las diagonales de las caras son iguales" o que "en los paralelepípedos, las aristas, los ángulos de las caras y las diagonales de las caras como mucho tienen 2 medidas". Así, la actividad T-22b pretende que se llegue a establecer que en los paralelepípedos algunas propiedades de las bases se pueden indicar como propiedades de las caras, porque todas ellas son paralelogramos, pero también tiene como objeto que se resalte que todo lo relacionado a número o medidas de ángulos de las caras o de diagonales de las caras no puede extenderse. En la base sólo tenemos 4 ángulos de las caras, como mucho de dos medidas, y dos diagonales de las caras, como mucho de dos medidas; pero si hablamos de ángulos de las caras, en el paralelepípedo tenemos 24, como mucho de 6 medidas diferentes (2 por cara y hay tres posibles medidas para las caras) y 12 diagonales de las caras, como mucho de 6 medidas diferentes (2 por cara y hay tres posibles medidas para las caras). Con respecto al ortoedro, se puede hacer hincapié en que al ser recto, las relaciones de perpendicularidad entre los lados de la base se mantiene entre las caras laterales y la igualdad de ángulos de la base también se puede extender como igualdad de los ángulos de las caras (todos ellos son rectos por ser prisma recto de base rectángulo). Pero tenemos que remarcar que la igualdad de diagonales de la base no se extiende a las diagonales de las caras; puede haber tres medidas diferentes para éstas, una por cada medida posible de las caras. Sobre las propiedades que se enumeran. Tal como hemos relatado antes, en este nivel no cabe esperar que en las respuestas a tareas de descripción de subfamilias se incluyan todas las familias que contienen a la dada y, sin embargo, sí que puede ser bastante usual que se indiquen propiedades que dejan fuera ejemplos de la familia considerada. Ya nos encontramos con estos problemas cuando se describen familias que contienen otras subfamilias en ellas; si es interesante retomarlos de nuevo es porque para las familias de prismas cuadrangulares el problema se agrava considerablemente y además se introducen problemas nuevos. A continuación vamos a señalar algunas propiedades que dieron algunos de los estudiantes de Magisterio que participaron en nuestras experimentaciones: – Entre las propiedades que los estudiantes enumeraron para el romboedro figuraban las siguientes, con las que se deja fuera al cubo como ejemplo de romboedro: "Los ángulos de las caras tienen dos medidas". "Las propiedades de los prismas oblicuos". "Las diagonales del espacio se cortan en el centro, no son iguales, no se cortan perpendicularmente, se cortan en el punto medio de ambas" . Como propiedades del ortoedro los estudiantes señalaron algunas que reflejaban que sólo se incluía como ortoedro al cubo o a los ortoedros que no son cubos: "Las diagonales de las caras son iguales". "Tienen 8 aristas iguales más largas y 4 más cortas". – Las experimentaciones realizadas también pusieron de manifiesto que alguna de estas familias de prismas cuadrangulares (en particular, una familia de paralelepípedos) puede tener un gran peso en los objetos mentales de otras familias de prismas, y que esto implica que se extiendan a éstas algunas propiedades específicas de aquella. Por ejemplo, era bastante usual que los estudiantes plasmasen la idea de que si la base es regular las diagonales van a tener el mismo tamaño (la respuesta se basa en el cuadrado) y que si la familia es de caras regulares, las diagonales del espacio son iguales (la respuesta se basa en el cubo). Respuestas que dieron diferentes estudiantes son: "Para los PCR las diagonales de la base son iguales y las DE son iguales". "Tanto las dC (entre ellas) como las DE (entre ellas) tienen la misma longitud. (en tamaño)". "En los prismas irregulares la longitud de sus diagonales variará de tamaño y en los regulares las diagonales de las caras laterales serán iguales con esas caras, las del espacio también serán iguales, y las de la base iguales a las de la otra base (todo en longitud)". Así pues, las tareas de descripción de familias de prismas cuadrangulares podemos aprovecharlas, por un lado, para centrar la atención sobre las propiedades que dejan fuera ejemplos de la familia considerada. Por otro, para fijarnos en las propiedades relativas a las medidas diferentes de las diagonales de las caras, de los ángulos de las caras, y de las diagonales del espacio. Pero es necesario aclarar que si los dos tipos de propiedades mencionadas se consideran para este nivel es sólo para destacar si dejan fuera ejemplos o no, o si son incorrectas; y que requiere de mayor nivel de razonamiento verbalizar las propiedades a las que nos hemos referido, utilizando términos del tipo como máximo o como mínimo. |
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