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Ahondando en la descripción y la clasificación Clasificaciones inclusivas. T-19 Indicar las características de las clasificaciones inclusivas y los modelos (diagramas con forma de red como los de la figura 9) que pueden representarlas.
El diagrama de la figura 9(b) se puede utilizar como ejemplo para aclarar que en los diagramas que representan estas clasificaciones sólo se incluyen las familias que verifican alguna, varias o todas las propiedades que utilizamos como criterios de clasificación; que no se reflejan en ellos las familias complementarias. a) Pedir que se expliquen las razones por las que algunas familias de las que hay en el diagrama de la figura 9(b) están conectadas mientras que otras no lo están. b) Para el diagrama de la figura 9(b), cuestionar la relación que existe entre los pares de familias que están conectadas con una flecha; preguntar también sobre qué familia tiene el origen y qué familia tiene el extremo. c) Para el diagrama de la figura 9(b), centrar la atención sobre que en el primer nivel está la familia de los prismas; en el segundo nivel las familias establecidas con criterios visuales; en el tercer nivel las familias establecidas con criterios que centran la atención en la regularidad de parte de las caras; en el cuarto nivel... Pedir que se continúen indicando las familias que corresponden al 4º y 5º nivel. d) Apuntar que si dos familias tienen relación de inclusión, en el diagrama que representa la clasificación inclusiva, éstas están conectadas con una flecha que va desde la familia contenida (ahí está el origen) hasta la familia que la contiene (ahí está el extremo). Pedir que revisen las respuestas a T-19a y a T-19b. Cuestionar si en el diagrama de la figura 9(b) hay que introducir más flechas porque hay relación de inclusión entre familias que no están conectadas con ellas. Para los pares de familias que podrían seleccionarse remarcar que están conectadas por un camino que tiene el origen en la familia contenida en todas las demás del camino, sigue este esquema (flecha, flecha, flecha, flecha) y el extremo está en la familia que contiene a todas las implicadas en el camino. e) Recopilar las instrucciones que se han dado en T-19c y T-19d para construir un diagrama con forma de red y pedir que se construya razonadamente el diagrama de la figura 9(b). f) Pedir que se repita la actividad T-19e para otras familias de prismas. g) Pedir que se repita la actividad T-19e para familias de antiprismas, para familias de pirámides y para familias de bipirámides. T-20 a) Señalar que el universo de clasificación que vamos a considerar son los prismas cuadrangulares y que al fijarnos en las bases vamos a abordar una clasificación de los cuadriláteros. En esta familia separar el cuadrado, cd, el rectángulo, rg, el rombo, rb, el paralelogramo, pl, el trapecio isósceles, tpi, la cometa, ct, y el trapecio, tp. Resaltar que estos cuadriláteros tienen relación de inclusión entre ellos, por lo que un diagrama con forma de red puede representar una clasificación de ellos. Utilizar como ejemplo pares de cuadriláteros de los que en el diagrama de la figura 9(c) de la tarea T-19 están conectados con una flecha para mostrar cómo se puede interpretar la información que refleja un diagrama y cómo se formulan las relaciones entre las familias implicadas. Utilizar varillas (que tienen agujeros distribuidos a la misma distancia) para representar las diagonales de los cuadriláteros (o los lados) y chinchetas (que se utilizan como mecanismos de unión) para explicar, mediante la construcción, que los cuadriláteros seleccionados tienen relación de inclusión (el cuadrilátero contenido surge como un caso particular de la construcción del cuadrilátero que lo contiene) y para establecer las propiedades de ellos relativas a las diagonales. Pedir que se intenten explicar las relaciones de inclusión que refleja el diagrama de la figura 9(c) de la tarea T-19 entre algunos tipos de cuadriláteros. b) Considerando como universo los prismas cuadrangulares separar las siguientes familias: cubo, C, ortoedro, O, romboedro, R, paralelepípedo, L, prisma de bases cometas, PBc, prisma de bases trapecios isósceles, PBti, prisma de bases trapecios, PBt. Indicar lo que Polya (1957, p. 58) señala con respecto a por qué un rectángulo es análogo a un ortoedro (paralelepípedo recto rectangular):
Pedir que se especifiquen las relaciones que comparten los diferentes tipos de cuadriláteros que hemos separado en T-20a con los prismas rectos correspondientes (los que tienen por bases esos cuadriláteros). c) Cuestionar si se rompen algunas relaciones de las que existen entre un cuadrilátero y su prisma recto análogo al considerar los prismas con bases el cuadrilátero. Pedir que establezcan analogías entre los cuadriláteros que hemos separado en la actividad T-20a y los prismas que hemos separado en la actividad T-20b. d) Pedir que se averigüe si entre el ortoedro y el cubo, el ortoedro y el romboedro, el paralelepípedo y el prisma de base cometa, hay relación de inclusión, exclusión, o tienen elementos comunes pero no están incluidos en ningún sentido. Indicar que para responder se pueden apoyar en las relaciones que existen entre los elementos del plano análogos a éstos. e) Pedir que se construya razonadamente el diagrama de la figura 9(d) de la tarea T-19. Comentarios Sobre las tareas T-19 y T-20. Las clasificaciones inclusivas. En relación con la tarea T-19 vamos a señalar, por un lado, que sugiere dedicar atención especial a la construcción de diagramas con forma de red, pues esta actividad presenta bastantes dificultades para los estudiantes. Por otro, que los problemas relativos a las clasificaciones inclusivas que se pueden subrayar con la tarea T-19 los tratamos de nuevo con la tarea T-20, al establecer una clasificación posible de los prismas cuyas bases son cuadriláteros. La explicación yace en las dificultades que presentan estos problemas y en que esta clasificación además presenta características propias. A) Sobre la tarea T-19. La construcción de diagramas con forma de red. Las experimentaciones realizadas han puesto de manifiesto que hay que dedicar tiempo y atención para que los estudiantes puedan salvar las dificultades que se les presentan cuando intentan construir diagramas que relacionan familias. Los que mostramos en la figura 10, realizados por estudiantes de Magisterio que participaron en nuestras experimentaciones reflejan que:
a)...............................b)................................c) Figura 10 Las diferentes actividades que incluye la tarea T-19 centran la atención sobre estos problemas. Puede ser que los estudiantes sólo puedan relacionar las familias a partir de ejemplos o verificando que una familia que les resulta familiar verifica todas las propiedades de otra familia; el establecer si entre dos familias de sólidos dadas hay relación de inclusión, de exclusión, o tienen intersección pero no están incluidas una en otra, presenta dificultad. En las experimentaciones realizadas ha ocurrido a menudo que en un diagrama no se interpreta adecuadamente el significado de dos familias que están o que no están interconectadas con una flecha. Muchos estudiantes han expresado que cuando dos familias están conectadas con una flecha tienen dificultad para distinguir en qué sentido es la relación. Por ejemplo, ellos indican que saben que entre los ortoedros (o los romboedros) y paralelepípedos hay flecha pero que no saben "si tengo que decir que los ortoedros (o los romboedros) son paralelepípedos o al revés; me lo tengo que aprender de memoria, con el diagrama hacia arriba o hacia abajo porque si no me lío". También es muy común que se interprete que dos familias que no están conectadas con una flecha como que no tienen ejemplos comunes. Al abordar la tarea en clase, el profesor, con ayuda de ejemplos de las familias consideradas o con frases de este tipo tomadas del entorno del estudiante, puede centrar la atención sobre si entre dos familias se ha interpretado, o enunciado, la relación que corresponde. Por ejemplo, el profesor puede utilizar los pájaros y los animales para mostrar que no es lo mismo enunciar una relación de inclusión que la inversa: mientras que sí que es correcto decir que todos los pájaros son animales, no es correcto decir que todos los animales son pájaros. O se puede comparar, por ejemplo, los mamíferos y los animales para mostrar que no hay relación de inclusión entre ellos, pero sí tienen ejemplos comunes. También es muy probable que se tengan que dirigir los razonamientos, bien para explicar que pares de familias realmente tienen las relaciones de inclusión o exclusión que se han señalado, o para justificar con un contraejemplo que determinados pares de familias no presentan relación de inclusión ni son excluyentes. Para explicar que dos familias tienen relación de inclusión, las pruebas que puede presentar el profesor para los estudiantes que tengan más dificultad pueden estar basadas en ejemplos, o si las subfamilias consideradas son muy familiares, se verificará que una familia, o un elemento general de ella, verifica todas las propiedades (o la definición) de la otra familia. Por ejemplo, para justificar que los prismas de bases regulares son convexos, se pueden dirigir demostraciones como la siguiente: se ponen varios ejemplos de prismas de bases regulares y se indica que todos ellos son convexos (no tienen entrantes, tienen todos los ángulos de las caras menores que 180°,...); y que para los otros prismas de bases regulares pasa lo mismo. Todos los polígonos regulares tienen lados y ángulos iguales; son convexos. Para demostrar que dos familias son excluyentes caben explicaciones como la siguiente: se pone varios ejemplos de una de las familias y se indica que ninguno de estos ejemplos verifica las propiedades de la otra familia; y se muestra propiedades que no cumplen. Para encontrar el ejemplo que justifica que algunas familias no tienen relación de inclusión, si es necesario, se pueden dar sugerencias como las siguientes: hay que construir diferentes ejemplos de la primera familia implicada (no basta con construir los primeros que se nos ocurran) y después cuestionar si entre los ejemplos construidos puede haber ejemplos de la segunda familia y ejemplos de la familia complementaria. Como ejemplo que muestre la manera de razonar, podemos utilizar la justificación de que los prismas de caras laterales regulares (PCLR) no son siempre prismas convexos. Una manera de hacerlo puede ser la que se desprende de la figura 11
Se remarca que para construir los diferentes ejemplos de PCLR se puede construir una cinta de cuadrados (que se obtiene juntando cuadrados) que la unimos para formar una especie de anillo, y que, dado que la cinta la podemos hacer más o menos larga, se obtiene un ejemplo con un polígono de la base con un número de lados u otro. La observación de que la cinta unida se puede deformar se puede utilizar para mostrar que como polígono de las bases podemos obtener diferentes polígonos de lados iguales, y que entre ellos hay cóncavos y convexos. Aconsejamos que se subraye que cuando se da un contraejemplo hay que poner mucho cuidado en que éste sea realmente un ejemplo de la primera familia. Para que se vea más claro podemos poner un ejemplo del entorno del estudiante. Podemos señalar, por ejemplo, que para explicar que todos los de la clase no han ido a la cena que celebraron a final de trimestre, se señala un estudiante de la clase que no fue; pero que, para razonar la respuesta, a nadie se le ocurriría indicar un estudiante de la clase de al lado. B) La tarea T-19. Los enunciados de las relaciones. Cuando trabajamos estas actividades también podemos llamar la atención sobre que las relaciones que existen entre las familias podemos enunciarlas de varias maneras que son equivalentes. Podemos utilizar para ello las relaciones que ya hemos justificado en esta tarea. Por ejemplo, podemos señalar que "no todos los PCLR son convexos", "todos PCLR no son convexos", "los PCLR pueden ser cóncavos" son formulaciones de un mismo problema: son todas ellas relaciones entre pares de familias que reflejan que no hay inclusión entre ellas y éstas tampoco son excluyentes. También podemos recopilar reformulaciones que correspondan a relaciones que reflejen relaciones de inclusión: todos ... son ..., los ... son siempre ...; o relaciones de exclusión: los ... nunca son ..., no hay ningún ... que sea.... C) La tarea T-20. Sobre una clasificación inclusiva de los cuadriláteros. La actividad T-20a permite revisar si los estudiantes han visto anteriormente una clasificación inclusiva de los cuadriláteros. Los estudiantes requieren que el profesor dirija la actividad, con objeto de que, utilizando el material comercializado que se propone en esta tarea (varillas y chinchetas), a partir de la construcción de estos cuadriláteros se lleguen a establecer relaciones entre ellos. En el enunciado de esta actividad señalamos que se muestre con un ejemplo la manera de razonar la relación de inclusión que muestra el diagrama entre el cuadrado y el rombo (a partir de la construcción de los cuadriláteros con varillas), pero es muy probable que sólo un ejemplo no baste para que los estudiantes puedan establecer las relaciones siguientes: – De todos los rombos que podemos construir, juntando los extremos de 2 varillas iguales, que se cortan en el punto medio de ambas perpendicularmente, el cuadrado es uno de ellos: cuando las varillas de partida son iguales. Por tanto, el cuadrado es un rombo particular. – De todos los rectángulos que podemos construir, juntando los extremos de 2 varillas iguales, que se cortan en el punto medio, el cuadrado es uno de ellos: cuando las varillas de partida se juntan perpendicularmente. Por tanto, el cuadrado es un rectángulo particular. Así, el cuadrado es un rombo y un rectángulo particular – De todos los paralelogramos que podemos construir, juntando los extremos de dos varillas unidas por el punto medio, el rombo es uno de ellos: cuando las varillas de partida se juntan perpendicularmente. Por tanto, el rombo es un paralelogramo particular. – De todos los paralelogramos que podemos construir, juntando los extremos de dos varillas unidas por el punto medio, el rectángulo es uno de ellos: cuando las varillas de partida son iguales. – De todas las cometas que podemos construir, juntando los extremos de dos varillas, unidas perpendicularmente, de manera que una de ellas corta a la otra por el punto medio de ella, el rombo es una de ellas: cuando las varillas de partida se cortan en el punto medio de ambas. Por tanto, el rombo es una cometa particular. Así, el rombo es un paralelogramo y una cometa particular. – De todos los trapecios isósceles que podemos construir juntando los extremos de dos varillas iguales, cuyo punto de corte en ambas varillas dista lo mismo de los vértices, el rectángulo es uno de ellos: cuando las varillas de partida se cortan en el punto medio de ambas. Por tanto, el rectángulo es un trapecio isósceles particular. Así, el rectángulo es un paralelogramo y un trapecio isósceles particular. – Los trapecios los construimos con 4 varillas de manera que al menos dos son paralelas. Uno de ellos es un paralelogramo. Otro es un trapecio isósceles. El paralelogramo y el trapecio isósceles son trapecios particulares. Proponemos que sea el profesor el que utilizando varillas y chinchetas (él las junta y coloca tal y como va señalando) plantee las preguntas adecuadas y dirija la actividad para que sean los estudiantes los que formulen las relaciones de los cuadriláteros que hemos señalado. Por ejemplo, para llegar a establecer que el rombo es una cometa particular se puede proceder como sigue: – Después de elegir dos varillas de una caja se puede apuntar que si bien nos han salido dos varillas diferentes, también podrían habernos salido iguales. Se subrayará que las condiciones son que se junten perpendicularmente a la misma distancia de los dos extremos de una de las varillas, por lo menos; por lo que las posibilidades que se muestran en la figura 12 son todas ellas posibles.
– Para cada posibilidad mencionada, se cuestionará el cuadrilátero que se obtiene al juntar con varillas los extremos de las que ya se han unido. En este ejemplo se llamará la atención sobre que siempre se obtienen cometas y en algunos casos se obtienen cometas especiales que son rombos, o rombos - cuadrados, pero hay muchas cometas que no son rombos (si unimos las varillas por los agujeritos 2, ...). – Y se trabajará también el paso de estas observaciones a las expresiones verbales correspondientes: todos los rombos (cuadrados) son cometas pero no se puede decir que todas las cometas son rombos. D) La tarea T-20. La analogía entre la geometría plana y la sólida para establecer una clasificación inclusiva de los prismas con bases cuadriláteros. La actividad T-20b permite que los estudiantes aprendan a aplicar la analogía y que descubran que en las actividades que planteamos en la tarea T-20 los objetos análogos del plano y espacio comparten relaciones que sí son pertinentes para el problema. Con la actividad T-20b pretendemos que los estudiantes descubran que al considerar los prismas de bases cuadriláteros, en los prismas de bases cometas, trapecios isósceles o trapecios se rompen las relaciones de igualdad y perpendicularidad entre los elementos límites (lado y cara lateral respectivamente). En los prismas oblicuos una igualdad de lados del polígono de las bases no implica que las caras laterales correspondientes sean iguales, ya que los ángulos de estas caras pueden cambiar. Y de nuevo, será necesaria la intervención del profesor para que muchos estudiantes puedan descubrirlo, a pesar de que ya se ha llamado la atención sobre ello en otro contexto (en la tarea T-15). Una vez que se haya puesto de manifiesto que esto ocurre, subrayaremos que aunque seamos conscientes de que se rompen algunas relaciones entre los elementos análogos que aparecen en los diagramas correspondientes de elementos del plano y del espacio, dado que estas relaciones sí que se mantienen en algunas familias (por ejemplo la de igualdad se mantiene en los romboedros y en paralelepípedos) y para todas las familias de prismas cuadrangulares se siguen verificando las relaciones de paralelismo entre los elementos límites, consideramos que los elementos del plano y espacio comparten relaciones que sí son pertinentes para el problema planteado. La actividad T-20d permite mostrar cómo se puede aplicar la analogía para explicar las relaciones de inclusión o no inclusión que hay entre pares de familias de prismas cuadrangulares. Al abordar la tarea en clase haremos ver que el hecho de que se pueda pasar el problema al plano y justificar ahí la respuesta, lleva a que ya tengamos resuelto el problema, salvo hacer las traducciones correspondientes de los elementos análogos: se plantea realmente el problema de hallar relaciones entre el cuadrado y el rectángulo, el rombo y el rectángulo, el paralelogramo y la cometa, porque luego vamos a extenderlas a los elementos análogos en el espacio; y este problema ya se ha resuelto en la actividad T-20a. E) Sobre la tarea T-20. Otro procedimiento para justificar las relaciones de inclusión o no inclusión que hay entre pares de familias de prismas cuadrangulares. La actividad T-20e también permite subrayar que se puede justificar en el espacio, al igual que se hizo en el plano, las relaciones que existen entre pares de familias de prismas cuadrangulares. Se puede explicar de esta manera, por ejemplo, que todos los cubos son ortoedros: – Para construir ortoedros se tienen que elegir 6 rectángulos que pueden ser todos ellos rectángulos no cuadrados, o rectángulos no cuadrados y rectángulos-cuadrado o sólo rectángulos-cuadrado. Como una de las posibilidades lleva al cubo, podemos concluir que el cubo es un ejemplo de los posibles ortoedros, por lo que todos los cubos son ortoedros – La observación de que también tenemos ortoedros que no son cubos, y se pueden seleccionar ejemplos de ellos, puede llevar a que se formule y explique que hay ortoedros que no son cubos. Si es necesario se puede explicar de esta manera, por ejemplo, que los paralelepípedos y los prismas de base cometa tienen ejemplos comunes pero no tienen relación de inclusión: – Los ejemplos de paralelepípedos pueden estar formados por todos los tipos de paralelogramos: paralelogramos genéricos, paralelogramos-rombo, paralelogramos-rectángulo, paralelogramos-cuadrado. Se construyen varios ejemplos de manera que sean todos del mismo tipo o mezclados. – De la misma manera, los ejemplos de prismas de bases cometas tienen por bases cualquiera de los tipos de cometas: cometas genéricas, cometas-rombo, cometas-cuadrado. Las caras laterales pueden ser cualquiera de los paralelogramos: paralelogramos genéricos, paralelogramos-rombo, paralelogramos-rectángulo, paralelogramos-cuadrado. Se construyen varios ejemplos de prismas de bases cometas, según el tipo de cometa que tenga en la base y variando también los paralelogramos de las caras laterales. – Se puede verificar que el cubo y el romboedro genérico están en las dos familias. E) La tarea T-20. Sobre la construcción de diagramas. El problema de lenguaje. La actividad T-20e se refiere también a la construcción de diagramas con forma de red que representan clasificaciones inclusivas (una clasificación de los prismas cuadrangulares). Ya hemos sugerido una forma posible de abordar este problema: se dibuja previamente el diagrama que representa una clasificación de los cuadriláteros, y luego se extiende el diagrama a los prismas correspondientes. No obstante, para que la tarea no se reduzca a un aprendizaje de memoria del diagrama que representa estas clasificaciones (de los cuadriláteros y de los prismas cuadrangulares), que es lo que suele ocurrir con algunos estudiantes, aconsejamos que cuando se realicen estas actividades se pida también que se indiquen y descifren de nuevo los convenios que se utilizan para construir diagramas de red y que se formulen relaciones de familias de sólidos que quedan reflejadas en el diagrama construido. Advertimos de la conveniencia de observar la terminología geométrica que se utiliza. Como subrayamos en los apartados ¿Cómo se usa la terminología? ¿Cómo se interpreta? y Cómo comunicamos... de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos ?, es usual que se utilice terminología del plano para la del espacio y a la inversa; en estas tareas ocurre especialmente. Es usual encontrar diagramas de los estudiantes que no pueden considerarse ni representaciones de clasificaciones del plano ni del espacio porque en ellos hay nombres de sólidos y de polígonos. Es fundamental prestar atención especial a este problema cuando se resuelven estas actividades. |
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figura 9
Figura 11
Figura
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