Ahondando en la descripción y la clasificación

Clasificaciones en las que las particiones se solapan.

T-16

16Indicar las características de las clasificaciones particiones que se hacen en el mismo universo de partida considerando varios criterios conjuntamente (1, 2, etc.) y los modelos que pueden representarlas. Para ello, como ejemplo, establecer la clasificación considerando como universo de clasificación el mundo de los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides y como criterios de clasificación el de la regularidad de las caras (X), la igualdad de las caras (Y) y la igualdad de los vértices (Z).

a) Pedir que clasifiquen los poliedros considerando conjuntamente los dos criterios siguientes, el de regularidad de caras y el de igualdad de caras, que se nombren las 4 subfamilias disjuntas que se establecen y que se enumeren ejemplos de ellas, tomados del mundo de los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides.

b) Pedir que se fijen en otros dos criterios (apuntar algunos pares como posibles, como por ejemplo, regularidad de caras e igualdad de orden de los vértices, o igualdad de caras y de vértices), y que se responda a las cuestiones planteadas en la actividad T-16a.

c) Pedir que delimiten los criterios que llevan a establecer los prismas rectos de bases regulares (PRBR) y las restantes familias disjuntas con ella.

d) Plantear la actividad T-16a para una clasificación en la que haya que considerar conjuntamente tres criterios, por lo que se establecen 8 subfamilias disjuntas.

e) Pedir que se repita la actividad anterior considerando otros tres criterios para clasificar.

T-17

a) Pedir que se muestren varios ejemplos diferentes de la familia de los prismas rectos de bases regulares (PRBR).

b) Pedir que se haga una lista con propiedades de los prismas rectos de bases regulares (PRBR).

c) Pedir que se repitan las actividades T-17a y T-17b para los antiprismas, pirámides y bipirámides rectos de bases regulares.

d) Pedir que se repitan las actividades T-17a y T-17b para los prismas de caras laterales regulares (PCLR) y para las correspondientes familias de los antiprismas, pirámides y bipirámides.

e) Pedir que se repitan las actividades T-17a y T-17b para los prismas de caras regulares (PCR) y para los antiprismas, pirámides y bipirámides de caras regulares. Cuestionar la subfamilia en la que se incluiría un prisma que tiene 2 rombos iguales y opuestos que no son cuadrados y cuatro cuadrados; preguntar si es ejemplo de los PCR o de su familia dicotómica (P¬CR).

f) Pedir que se repita la actividadT-17e para los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides de caras iguales.

T-18

Centrar la atención en que en las clasificaciones donde se superponen las particiones las clases resultantes son disjuntas, pero también se pueden considerar las clases que corresponden a uno sólo de los criterios y entonces aparecen relaciones de inclusión entre unas y otras.

Mostrar con un ejemplo que al considerar 3 criterios conjuntamente, las 8 familias disjuntas que se establecen podemos representarlas mediante un diagrama de árbol como el de la figura 7; subrayar también que este diagrama refleja las relaciones de inclusión que existen entre las diferentes familias que hay en los tramos de cada rama.

figura7

a) Pedir que se consideren los criterios de clasificación en otro orden, se dibuje el árbol correspondiente y se establezcan todas las inclusiones que se pueda de los prismas de caras regulares e iguales con vértices iguales en otras familias.

b) Pedir que se consideren los criterios de ser prisma (X), ser recto (Y) y tener las bases regulares (Z), y que se dibuje el árbol que permite delimitar las 8 familias disjuntas.

Pedir que se establezcan todas las inclusiones que hay de los prismas rectos de bases regulares en otras familias.

c) Pedir que se repita la actividad T-18b considerando los criterios de ser prisma (X), ser convexo (Y) y tener las bases regulares (Z). Cuestionar además si todas las familias que se pueden establecer tienen algún ejemplo y centrar la atención sobre la familia X¬YZ.

d) Pedir que se repita la actividad T-18c considerado los criterios de ser prisma (X), ser recto (Y) y tener las caras laterales regulares (Z),

e) Explicar que el diagrama de árbol muestra que las clasificaciones en las que se solapan las particiones también pueden verse de la siguiente manera: como un proceso en el que los criterios de clasificación se van considerando por turno y las familias establecidas con un criterio son las que se consideran como universos de clasificación para establecer las clasificaciones con el otro criterio. Y así sucesivamente.

Cuestionar si todas las subfamilias se pueden considerar como nuevos universos de clasificación con cualquiera de los criterios delimitados. Después reparar en los prismas cóncavos y el criterio que centra la atención en la regularidad de la base, y en los prismas oblicuos con el criterio relativo a la regularidad de las caras laterales.

Comentarios

Las tareas T-16 a T-18. Clasificaciones en las que las particiones se solapan. En la figura 8 mostramos los diagramas que representan las 2 familias disjuntas que se establecen con un criterio, las 4 familias disjuntas que se delimitan con 2 criterios y el diagrama trilateral que representa en un cuadro las 8 posibles clases que se pueden establecer al considerar 3 criterios de clasificación. También presentamos otros modelos para representar estas subfamilias que puede generalizarse para representar las 16 familias que pueden delimitarse cuando se clasifica con 4 criterios. Estos criterios los hemos representado en los diagramas con X, Y, Z, K hacen referencia a cada uno de estos 4 criterios y ¬X, ¬Y, ¬Z y ¬K hacen referencia a que no se verifica el criterio correspondiente.

Para averiguar si los estudiantes han comprendido las explicaciones que hemos dado sobre esta clasificación, planteamos las actividades T-16b y T-16e. De nuevo nos centramos en la enumeración de ejemplos de familias. Pero ahora no se pide explícitamente que se construyan. Si los estudiantes no pueden enumerarlos sin ayuda del profesor, se puede sugerir que se construyan ejemplos de estas familias que verifiquen las condiciones impuestas por los criterios considerados para clasificar. Así, si buscamos ejemplos de la familia que tiene las caras regulares e iguales y los vértices distintos, el profesor puede dirigir la discusión, siempre apoyándose en la construcción, para que se llegue a concluir que tenemos que irnos al mundo de las bipirámides, porque en los prismas, antiprismas y pirámides, si las caras son regulares e iguales los modelos que podemos construir sólo son el cubo, octaedro y tetraedro respectivamente; y todos ellos tienen los vértices iguales. En el mundo de las bipirámides que tienen las caras regulares (sólo podemos construir 3 de ellas: la triangular, la cuadrada y la pentagonal) tenemos dos de ellas que son ejemplos de la familia que se nos pide.

Figura 8

En la actividad T-16c se tiene que averiguar que los criterios implicados para establecer la clasificación que lleva a establecer los PRBR (prismas rectos de bases regulares) como una de las subfamilias son: ser recto u oblicuo y tener bases regulares o irregulares, y que las 4 familias establecidas son: PRBR, POBR, PRBIr, POBIr.

Remitimos a Guillén (1991, 2005), que se referencian en la sección Para conocer más, donde explicamos las razones para abordar las clasificaciones que hemos incluido en esta opción.

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