Ahondando en la descripción y la clasificación

Clasificaciones con criterios relativos a las bases y....

T-13

Recopilar las características que tienen las clasificaciones-particiones.

a) Pedir que se delimiten otros criterios de clasificación e indicar como posibles el criterio que centra la atención sobre si los ejemplos tienen bases o no, o criterios que centran la atención en la base (en el número de lados, la igualdad de los lados o de los ángulos, o en la regularidad de este polígono).

b) Para cada uno de los criterios que se delimiten, pedir que se establezcan clasificaciones que sean particiones, que se nombren las familias obtenidas y se incluyan los ejemplos del universo que se clasifica en las subfamilias a las que pertenecen.

c) Pedir que se represente en un modelo la clasificación fijada, que se especifique cuál es el universo que se clasifica y si el criterio que se considera sólo tiene sentido para un "trocito" de mundo de los poliedros o se puede extender al universo de los poliedros en general.

T-14

Indicar que vamos a fijarnos en la regularidad, o en la igualdad, de todas las caras y que de esa manera establecemos las familias de los prismas, antiprismas, pirámides, bipirámides, de caras regulares (PCR, ACR, PiCR y BiCR) y las familias de los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides, de caras iguales (PCI, ACI, PiCI y BiCI).

a) Para cada subfamilia de caras regulares de las separadas, pedir que, con material comercializado, se construyan ejemplos de ella y cuestionar cuántos ejemplos pueden construir.

b) Centrar la atención en que el nombre de estas subfamilias es un nombre compuesto (arbitrario) formado por un sustantivo que hace referencia a la familia a la que pertenece (prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides) y un adjetivo que hace referencia a que en los ejemplos de estas familias todas sus caras son regulares. Apuntar también que los modelos que no son ejemplos de ellas porque sólo la(s) base(s) es(son) regular(es), al igual que los ejemplos de ellas, pertenecen a las subfamilia de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides de base(s) regular(es) (PBR, ABR, PiBR y BiBR); y que si no pertenecen a ellas porque sólo las caras laterales son regulares, al igual que los ejemplos de ellas, pertenecen a las subfamilias de los prismas, antiprismas o pirámides de caras laterales regulares (PCLR, ACLR, PiCLR).

Para cada subfamilia mencionada en el párrafo anterior, pedir que con material comercializado se construyan algunos ejemplos.

c) Plantear T-14a para los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides de caras iguales (PCI, ACI, PiCI y BiCI). Preguntar que si han construido ejemplos en los que las caras son regulares y ejemplos en los que no lo son.

T-15

a) Pedir que con material comercializado se construyan varios ejemplos diferentes de las familias de los prismas de bases regulares (PBR) y de los prismas de bases irregulares (PBIr).

b) Pedir que se haga una lista con propiedades de los prismas de bases regulares (PBR).

Indicar que pueden fijarse en si los prismas de bases regulares están incluidos en alguna otra familia de los prismas, por lo que verificarán sus propiedades; y que como consecuencia las propiedades de la familia que contiene a los PBR se pueden indicar de golpe como propiedades de ésta.

Apuntar que la igualdad de lados del polígono de las bases no conlleva siempre a que las caras laterales lo sean.

Sugerir también que una vez que se ha indicado una propiedad, se fijen en si ya está incluida englobada como propiedad de alguna familias que contiene a los PBR; que si es así, no es necesario incluirla de nuevo explícitamente y por tanto pueden tacharla.

c) Pedir que se repita la actividad T-15b para los antiprismas, pirámides y bipirámides de base(s) regular(es).

Comentarios

La tarea T-13. Sobre las clasificaciones establecidas con criterios relativos a las bases. En esta tarea pedimos que se recopilen las características de las clasificaciones particiones, que se considere como posible criterio de clasificación el que está basado en la observación de que hay poliedros que tienen base o bases, y que, para establecer otras clasificaciones, se utilicen otros criterios que centren la atención en las bases.

A) Los poliedros que tienen base o bases y los poliedros para los que no está tan claro. Al desarrollar la actividad T-13a en clase se pueden elegir poliedros que tengan todas las caras iguales, o que tengan caras de dos clases de polígonos regulares, o poliedros que no pertenezcan a las familias tratadas hasta entonces.

Para estos modelos se puede cuestionar qué caras cabe seleccionar como bases, si tienen o no tienen bases y qué idea de bases de un poliedro aplicamos para incluir cualquier modelo de poliedro en una de las familias establecidas. Una vez que hayamos hecho sentir la dificultad de precisar una idea de bases que sirva para cualquier poliedro, se puede reflexionar sobre si es o no pertinente dividir los poliedros con este criterio, y sobre lo que puede considerarse, o es adecuado hacerlo, como criterio de clasificación.

Incluso al resolver esta actividad podemos ir más allá cuestionándonos la conveniencia o no de introducir el nombre de caras laterales y el de bases en las familias de sólidos que hemos tratado (prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides). Se puede subrayar las ventajas que nos proporciona el hacerlo y los problemas de lenguaje con los que nos encontramos, por el nombre que se les da a estos tipos de caras.

B) Las subfamilias de prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides, triangulares, cuadrangulares, etc. Sobre las tareas de identificación de ejemplos. En la actividad T-13a también sugerimos que se utilicen para clasificar criterios que centran la atención en la base. Se proponen así las clasificaciones que o bien llevan a establecer las subfamilias de los prismas triangulares, prismas cuadrangulares, ..., basándose en la observación de que las bases de todos los ejemplos de una familia tienen el mismo número de lados, o a delimitar las familias de los de bases regulares y los de bases irregulares.

Respecto de la primera clasificación, podemos centrar la atención en que en los ejemplos de cada una de las subfamilias establecidas se mantiene el número de cualquiera de sus elementos. Para las clasificaciones de los antiprismas con este criterio, nos fijaremos en el nombre que reciben estas subfamilias y plantearemos tareas de identificación de ejemplos, especialmente de la subfamilia de los antiprismas triangulares, ya que algunos estudiantes tienen dificultad en identificar estos ejemplos.

Al introducir los antiprismas que hay que resaltar en repetidas ocasiones que el octaedro y otras bipirámides cuadrangulares, además de bipirámides son antiprismas. Y esta actividad es una buena ocasión para hacerlo de nuevo. Se puede remarcar que mientras que al considerarlas bipirámides son bipirámides cuadrangulares, al considerarlos antiprismas, son antiprismas triangulares. Hay que romper además con la idea de los estudiantes, que proviene de las que las clasificaciones con las que se ha encontrado son dicotómicas y del hecho de que las familias de los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides apenas compartan ejemplos comunes (sólo los que estamos considerando), de que si un modelo es de alguna de estas familias podemos asegurar que no es de ninguna otra.

C) La clasificación que centra la atención en la regularidad del polígono de las bases. Sobre las tareas de identificación de ejemplos. Cabe señalar que proporciona un problema para incidir de nuevo en las ideas que ya hemos trabajado para las bases de las familias de sólidos tratadas, dado que el incluir un modelo en una u otra de las subfamilias establecidas va a depender de la(s) cara(s) que se seleccione(n) como base(s).

Por otra parte, las tareas de identificación de ejemplos de las subfamilias establecidas permiten que los estudiantes plasmen y afinen la idea que tienen sobre regularidad de polígonos y que se provoquen discusiones que tienen un gran valor didáctico, pues si bien pueden crear conflicto si no se dirigen adecuadamente, pueden mostrarnos cómo se pueden ir afinando o precisando los conceptos.

Las experimentaciones realizadas pusieron de manifiesto que al considerar la regularidad de polígonos algunos estudiantes sólo tienen en cuenta una condición; muy a menudo olvidan la otra. Al abordar esta clasificación podemos enfocar la atención sobre esto. Mostraremos modelos cuyas bases tengan lados (ángulos) iguales pero ángulos (lados) distintos y cuestionaremos la subfamilia de las que hemos establecido que contendría a estos modelos como ejemplos.

Para abordar el segundo problema los modelos que se pueden presentar (para que se identifiquen) serán los que verifican que todo par de caras, o toda cara, pueden ser bases, o base. Por ejemplo, los modelos de la figura: el prisma formado por dos rombos que no son cuadrados y 4 cuadrados y la pirámide formada por un triángulo equilátero y 3 triángulos que no son equiláteros.

figura 6

Estos modelos se pueden incluir en las dos familias establecidas (las de base(s) regular(es) y las de base(s) irregulares, dependiendo de los pares de caras, o de la cara, que se elija(n) como base(s).

Si intentamos evitar este problema de la misma manera que cuando se planteó un problema análogo al identificar modelos (uno de ellos era el prisma de la figura) como prismas rectos u oblicuos (ver los comentarios de la actividad T-11e de la opción clasificación con criterios visuales) , surgen nuevos problemas. Ideas que surgen para los prismas de bases regulares y para los prismas de bases irregulares (PBR y PBIr), análogas a las que dimos para los prismas rectos y oblicuos, son: un prisma (u otra familia de las tratadas) es de bases regulares si podemos encontrar dos caras (o una) regulares que pueden ser bases de esa familia. En caso contrario es de base irregular.

Con estas ideas no rompemos con la idea totalmente aceptada por los estudiantes de que la pirámide formada por un triángulo equilátero y 3 triángulos que no lo son es de base regular, pero al considerar el prisma formado por dos rombos genéricos y 4 cuadrados se presentan problemas. Este modelo, con la idea dada de PBR y PBIr es de base regular; sus bases son los cuadrados pues cumplen las propiedades de las bases de los prismas: son iguales y paralelas y se juntan con paralelogramos (2 cuadrados y 2 rombos genéricos en este caso). Pero una vez aceptado que las bases son los cuadrados, habría que concluir que el prisma es oblicuo. Sin embargo; con la idea que precisamos en la actividad T-11e el modelo es recto: podemos encontrar dos caras que se juntan con rectángulos (en este caso cuadrados).

Llegados a este punto podemos optar, o bien por revisar de nuevo las ideas que hemos dado para las familias de sólidos rectos y oblicuos, de bases, o de base, regular e irregular, o bien aceptamos que las clasificaciones que establecemos no son disjuntas (los modelos pueden incluirse en las dos familias). Remitimos a Guillén (2005) donde se puede obtener más información sobre cómo continuamos nosotros en una de nuestras experimentaciones con estudiantes de Magisterio.

Centrando la atención en los modelos que han provocado discusión observamos que tienen todas las caras de la misma familia. Todos pares de caras (o cara) pueden ser las bases (o base). Se puede comprender que para estas familias se tengan problemas cuando se consideran criterios que centran la atención en las bases pues se obtendrán unos resultados u otros dependiendo de los pares de caras (o cara) elegidas. Así pues, resulta conveniente acotar el universo objeto de clasificación. Para clasificar con este criterio, en el mundo de los prismas, antiprismas, pirámides y bipirámides se eliminan las subfamilias de éstos que tienen caras de la misma clase.

Sobre la tarea T-14. La clasificación con criterios que centran la atención en la regularidad e igualdad de todas las caras, o de las caras laterales. En las actividades T-14a y T-14c pedimos que con material comercializado se construyan ejemplos de las diferentes subfamilias establecidas para que se incorporen en los objetos mentales correspondientes y puedan ser la base para explicar la respuesta a las otras preguntas que también planteamos en esta tarea relativas a cuántos ejemplos diferentes se encuentran de una familia de sólidos dada.

Es muy probable que el profesor tenga que dirigir y dar bastantes pistas para que se lleguen a considerar varios ejemplos, o por lo menos de dos tipos, de las familias implicadas. Puede ser que haya que sugerir que se planteen si es posible construir antiprismas y pirámides de caras iguales utilizando triángulos isósceles (de troquelados) porque los estudiantes a la condición de igualdad de caras le añaden regularidad de las mismas. En la mayoría de nuestras experimentaciones hemos tenido estudiantes que han aplicado esta idea, por lo que, una vez que ya habían encontrado el ejemplo de la familia correspondiente que tiene caras iguales y regulares (el que es además poliedro regular), ya no se cuestionaban que podía haber otros.

Remitimos a Guillén (1991, 2005), que se referencian en la sección Para conocer más, donde explicamos las razones para abordar las clasificaciones que hemos incluido en esta opción.

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