Compilando y entretejiendo

Asignar familias de sólidos a propiedades.

T-8

Pedir que para cada una de las propiedades que señalamos a continuación, se indiquen qué familias de prismas las cumplen. Pedir también que se explique las respuestas para todas las familias, tanto si verifican la propiedad como si no es así. Apuntar que en las respuestas se tengan en cuenta solamente las familias de prismas para las que indicamos abreviaturas para el nombre: P: prismas. PR: prismas rectos. PX: prismas convexos. PBR: prismas de bases regulares. PRBR: prismas rectos de bases regulares. PCR: prismas de caras regulares. PCI: prismas de caras iguales. P. Reg.: prismas regulares.

a) Las aristas laterales tienen la misma longitud.

b) Tienen n(n-1) diagonales de las caras.

c) Las diagonales del sólido caen dentro del sólido.

d) La longitud de la altura coincide con la de las aristas laterales.

e) Las caras laterales son iguales.

f) Sus aristas son iguales

g) Sus caras son paralelas dos a dos.

h) Sus ángulos diedros son iguales.

i) Sus vértices son de orden 4.

T-9

a) Indicar que las propiedades que en la tabla hemos nombrado como 1, 2, 3,... son: 1) tiene caras paralelas dos a dos, 2) los vértices son iguales, 3) las aristas son iguales, 4) los ángulos diedros de las caras laterales son iguales al correspondiente de la base y 5) los ángulos diedros son menores de 180°.

Informar también de que las familias que indicamos en el encabezamiento de la tabla corresponden a las de las abreviaturas siguientes: prismas convexos, PX; prismas rectos, PR; prismas de bases regulares, PBR; prismas rectos de bases regulares, PRBR; prismas de caras laterales regulares, PCLR; prismas de caras regulares, PCR; prismas de caras iguales PCI; paralelepípedos, L; romboedros, R; cubo, C.

Pedir que si una familia verifica una propiedad se ponga una cruz en la casilla correspondiente y que se explique la respuesta para cada propiedad y cada familia, tanto si la propiedad se ha asociado a ésta como sí no se ha hecho.

b) Pedir que se consideren otras propiedades de familias de sólidos y que se repita la actividad T-9a para ellas.

c) Pedir que se consideren otras familias de sólidos de las que se han establecido en las actividades de la opción ¨Ahondando en la descripción y la clasificación¨ y que se repita la actividad T-9a para ellas.

Comentarios

Las experimentaciones realizadas han puesto de manifiesto que hay que dedicar tiempo y atención para que los estudiantes que razonan en términos de propiedades geométricas puedan salvar las dificultades que se les presentan cuando intentan resolver este tipo de tareas, especialmente cuando las propiedades que se consideran no pertenecen a familias generales (los prismas, antiprismas, etc.) o tienen fuerte componente visual. En todas las experimentaciones constatamos que el que las aristas laterales tienen la misma longitud muy a menudo se asociaba sólo a los prismas rectos (a pesar de que ya habíamos repetido en varias ocasiones que era una propiedad de los prismas); el incluir en la actividad la familia de los prismas rectos de base regular y propiedades específicas de esta familia llevaba a que a esta familia no se le asignaban propiedades que cumplía. Con frecuencia, la propiedad de "tener vértices iguales" se asociaba a las familias de los prismas de bases regulares (sólo los rectos la verifican) y a los de caras iguales (sólo en cubo la verifica); y la propiedad de tener caras paralelas dos a dos se asociaba a todas las familias que tenían bases regulares (sólo algunas subfamilias la cumplen) y también a todos los prismas. Cabe mencionar también, que en algunas ocasiones las propiedades de los prismas rectos se asociaban a los prismas convexos y a la inversa.

Otra razón por la que consideramos apropiadas estas tareas es porque los estudiantes que ya han empezado a razonar en un nivel superior pueden resolver las cuestiones razonando en términos de relaciones de familias de sólidos. Algunos estudiantes que han participado en nuestra investigación resolvieron esta tarea de la siguiente manera: determinaban la familia más general que cumplía la propiedad considerada; determinaban todas las subfamilias de las dadas incluidas en ella y todas las que la contenían. Explicaban la respuesta para estas familias señalando que si una familia verifica una propiedad, también la van a verificar todas las subfamilias contenidas en ella y que si una familia no verifica una propiedad tampoco la verifican las familias que la contienen. De este modo, acortaron la resolución de las tareas T-8 y T-9 considerablemente

Las familias y propiedades que consideramos para diseñar estas tareas corresponden a las establecidas con las actividades de la opción ¨Ahondando en la descripción y la clasificación¨. La tarea T-8 incluye propiedades específicas de familias más o menos generales: propiedades de los prismas (la que usualmente se asocia sólo a los prismas rectos y otra propiedad de esta familia), de los prismas rectos, de los prismas convexos, de los prismas rectos de bases regulares, de los prismas de caras regulares o de los primas de caras iguales, de los paralelepípedos, de los ortoedros. También contiene una propiedad de los antiprismas que no verifica ninguna de las familias seleccionadas.

Las experimentaciones realizadas han mostrado que para las propiedades específicas de sólido o de poliedro, las de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides y las propiedades específicas de una subfamilia establecidas con un criterio de clasificación visual, no conlleva demasiada dificultad el identificar la familia más general que verifica la propiedad, a no ser que ésta tenga componente fuertemente visual; si bien como hemos indicado antes (y que lo refleja una de las respuestas que hemos indicado) en algunas ocasiones los estudiantes confunden el grupo de propiedades de los prismas rectos y de los prismas convexos.

Pero lo que queremos subrayar aquí es que es para las propiedades de las subfamilias establecidas con criterios visuales para las que ya empiezan a aparecer problemas para delimitar todas las familias que están contenidas en ellas. Y el problema se agrava para las propiedades específicas de las subfamilias establecidas con dos criterios de clasificación, uno de ellos visual y el otro que centre la atención en la igualdad de los lados o ángulos del polígono de la base. Para estas subfamilias, aunque la actividad no se resuelva aplicando relaciones entre familias como ya hemos resaltado refiriéndonos a los prismas rectos de bases regulares, aparece el problema de que la propiedad no se considera como propiedad específica de estas familias. Esto ocurre muy a menudo cuando se consideran propiedades específicas de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, rectos, cuya base tiene lados iguales (o ángulos iguales, o es regular), o de los prismas convexos cuadrangulares, o de los paralelepípedos (prismas convexos de base un paralelogramo), etc.

Y lo mismo ocurre con las propiedades específicas de las subfamilias establecidas con criterios de clasificación que centran la atención en la regularidad o igualdad de todas las caras o de alguno de sus elementos. Por ejemplo, propiedades específicas de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, de caras iguales o de caras regulares, o de los ortoedros. Propiedades de este tipo podrían ser: todas las aristas tienen la misma longitud, todas las caras son regulares, todas las caras son iguales, todos los ángulos de las caras (o los ángulos diedros) son iguales.

También incluimos en este grupo las propiedades que imponen condiciones de paralelismo o igualdad a parte de los lados del polígono de las bases. Por ejemplo, la que ya hemos comentado antes: toda cara tiene otra cara paralela a ella. Esta propiedad permite rechazar varias familias; sólo el octaedro y algunas subfamilias de prismas pueden ser solución. Una vez situada en los prismas hay que seleccionar los de caras iguales y también los que tengan como base polígonos que tengan lados paralelos dos a dos; y una vez ahí, obliga a pasar la propiedad de los prismas al polígono de la base.

Sin embargo, los estudiantes suelen asociar esta propiedad a la familia de los prismas, a la familia de los prismas de bases regulares, o a las familias de los prismas y de los antiprismas. Las entrevistas realizadas nos aclararon que unos estudiantes asociaban esta propiedad a los prismas y antiprismas porque no interpretan el enunciado de la propiedad adecuadamente. Expresaron que era una propiedad de esas familias "porque en ellas las bases siempre son iguales y paralelas". Otros estudiantes explicaron que la habían asociado a los prismas "porque en ellos las caras laterales son paralelas y las bases también". La propiedad de las aristas laterales se extendía a las caras laterales. Nótese que visualmente se puede llegar a esta idea si uno no prolonga mentalmente las caras laterales. Otros estudiantes señalaron que esta propiedad "la cumplen los prismas de bases regulares". En el objeto mental de estos estudiantes tenían más peso los ejemplos en los que el polígono de la base es regular y tiene un número par de lados.

La tarea T-9 pretende que se recojan en tablas las familias que cumplen determinadas propiedades y las que no las cumplen. En la actividad T-9a se proponen las actividades y las familias que se tienen que considerar; en la actividad T-9b se proponen las familias y se pide que se elijan las propiedades que se tienen que asociar como propiedades o no de las familias dadas y en la actividad T-9c se proponen las propiedades y se pide que se elijan las familias que tendrán que comprobar si verifican o no las propiedades. En esta tarea también se pide que se explique la respuesta para cada propiedad y cada familia que se considera; con ello la tarea no es mera rutina de marcar cruces; se recuerdan los procedimientos que se pueden utilizar para explicar si varias familias verifican o no una propiedad. Por otro lado, las respuestas a esta tarea pueden informarnos sobre si los estudiantes aún tienen dificultades para resolver este tipo de actividad para algunas familias y para algunas propiedades, y si utilizan relaciones de familias para explicar las respuestas.

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