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Los poliedros regulares. ¿Qué características tienen? Una tabla con las características numéricas 22- Relaciones de dualidad de los poliedros regulares. Bueno vamos a rellenar la tabla con las características numéricas de los poliedros regulares. En las sesiones anteriores hemos visto cómo se pueden hallar estas características y la disposición en el espacio de los elementos. Hoy vamos a ver más cosas. Veréis qué rápido puedo rellenar de nuevo la tabla y no me la sé de memoria. En lo que nos vamos a fijar es en otra forma de rellenarla una vez que descubramos relaciones entre los elementos de los poliedros que facilitarán mucho la tarea. Voy a rellenar la tabla. Esto por el nombre de los poliedros me lo sé. La columna del número de caras me la sé [rellena la columna de caras]. Y ahora relleno la columna de los vértices [rellena la columna de los vértices] Ya lo tengo, éstos me los sé. Para las aristas tengo que hallar algunas, yo marco los que haría de otra manera [rellena la columna de las aristas]. El resto, me las sé. El orden de los vértices también lo conozco por la construcción. Una de las columnas, por ejemplo la forma de las caras me facilita rellenar la otra [rellena la columna de la forma de las caras y después el orden de los vértices] ¿Qué observáis que hace más fácil rellenar la tabla?
Visualmente uno se queda con ese esquema, dos aspas con una raya en medio. O sea yo veo dos aspas y una raya en medio. Bueno pues las relaciones que hay ahí, que veríamos sería ¿En el cubo y el octaedro qué pasa? Se intercambia el número de caras y de vértices, se intercambia el número de caras y de vértices, y el número de aristas coincide y lo mismo pasa con el icosaedro y el dodecaedro, también se intercambia el orden de los vértices con el número de lados de las caras. Bueno pues cuando a dos poliedros les pasa eso se dice que son duales. El cubo es dual del octaedro y viceversa. El dodecaedro es dual del icosaedro y viceversa. Si conozco las carácterísticas numéricas de uno de ellos conozco las de su dual. Si conozco el número de caras de uno de ellos, conozco el número de vértices del otro. Si conozco el número de lados de las caras del uno, conozco el orden de los vértices de su dual,... Aplicando estas relaciones, que el nombre de los poliedros refleja el número de caras que tienen y que por la construcción conocemos el tipo de caras (número de lados de sus caras) se pueden rellenar la mayoría de las casillas de la tabla. ¿Y qué pasa con el tetraedro? También intercambia las caras y los vértices y el orden de llos vértices y el número de lados de sus caras, pues son iguales. Luego el tetraedro es el dual de él mismo. […] Tenemos maneras distintas de rellenar la tabla. Podríamos tener más, por ejemplo, porque aplicáramos la fórmula de Euler o alguna que hay por ahí entre Caras, Aristas y Vértices. Tendríamos otras maneras de rellenarla y también serían interesantes. […] 22- Los modelos de pares de polidros regulares duales. ¿Qué me están diciendo también? Por cada cara del cubo se tiene un vértice del octaedro. Se está diciendo que cuando el cubo esté apoyado en cara ¿cómo voy a ver fácil al octaedro? Apoyado en vértice. Puedo imaginarme un modelo donde tengo el octaedro inscrito en el cubo [muestra el modelo]. Y también puedo imaginarme el cubo inscrito en el octaedro. […] Para construirlo tendré que calcular medidas y para calcular medidas buscaré relaciones y necesitaré secciones. Si hemos trabajado los poliedros regulares, podré ver triángulos por ahí y secciones que me facilitarán hallar las medidas que se necesitan.
Tenemos también las mismas relaciones entre el dodecaedro y el icosaedro, así que si yo quisiera, podría construir un dodecaedro de manera que los vértices del dodecaedro estuvieran en el centro de las caras del icosaedro o a la inversa. Y del tetraedro consigo mismo. […] ¿Luego qué tengo ? ¿Qué conozco? ¿El icosaedro? Si yo veo 5 aristas tumbadas aquí, en el icosaedro (en el modelo circunscrito), ¿cómo estarán en el dodecaedro (modelo inscrito)? De pie [lo va mostrando en el armazón], porque se cruzan perpendicularmente, Si aquí las veo tumbadas ¿cómo estarán en el modelo inscrito? Medio de pie. Si aquí están boca abajo, ¿cómo estarán en el modelo inscrito? Horizontalmente. Si aquí están en zigzag, en el el modelo inscrito estarán en zigzag también pero al revés. Si aquí están en boca abajo, estarán en horizontal y si aquí están en horizontal estarán en pico. O sea, que cuando conozcamos la disposición de las aristas del dodecaedro podremos conocer la disposición de las aristas del icosaedro y a la inversa. Y cuando tenemos la disposición de las aristas del cubo, tenemos también la disposición de las aristas del octaedro. Se recopilan los datos en una tabla para tenerlo como un resumen y también para observar qué otras relaciones existen entre los elementos de los poliedros. Al analizar la tabla, ordenada de menor a mayor en número de caras es fácil ver las relaciones que llevan introducir un concepto nuevo, poliedros regulares duales. Pero si yo hiciera crecer los modelos que hay dentro, de manera que salieran [muestra el modelo del cubo y el octaedro], podría obtener un modelo compuesto. El de dentro crece, crece y crece [muestra el modelo compuesto] sale fuera, y sale lo que se llama un modelo compuesto, es el modelo compuesto del cubo y el octaedro.
Podríamos estudiar cómo se construye. Podríamos estudiar qué ejes de simetría tiene. Podríamos estudiar qué sólido queda cuando quitamos todos los picos. Podríamos estudiar qué sólido queda cuando es el envolvente, y qué relación hay entre el que queda dentro y el que queda fuera. Como veis podríamos estar bastante tiempo a partir de este modelo compuesto del cubo y el octaedro en el que estos poliedros están intersectados. Pero si en vez de estudiar este modelo, cogiéramos el dodecaedro y el icosaedro, tendríamos un modelo con el dodecaedro y el icosaedro intersectados. Bueno esto para que veáis la multitud de relaciones que hay entre los poliedros regulares Y también tenemos el tetraedro consigo mismo [muestra el modelo del tetraedro dual de sí mismo] ¿Y qué pasa si el tetraedro de dentro crece y crece atraviesa y queda con las aristas que se cortan perpendicularmente? -alumnos: una estrella La estrella octagonal. Tenemos el tetraedro inscrito en el tetraedro. Cuando crece y crece queda la estrella de ocho picos y se llama la estrella octagonal. Tiene los cuatro picos de uno de los tetraedros y los cuatro del otro. Hay muchas lámparas que tienen la forma de estrella octagonal. El profesor muestra modelos donde se ven algunos poliedros regulares duales, con una imagen visual dinámica introduce el concepto de modelo compuesto y el nombre de uno de ellos, la estrella octagonal y la relaciona con objetos del entorno. ¿Cuántas caras tiene este modelo? [muestra el modelo compuesto del cubo y el octaedro] a ver ¿cuántas caras pensáis que tiene este modelo? [espera respuesta] ¿Cuántas caras tendrá este modelo? -alumno: la suma ¿La suma de qué? -alumno: ¿Del cubo y el octaedro? -alumno: ¿48? -alumno: ni idea Vale opciones -alumno: depende, depende ¿48?, ¿Cómo lo has calculado para que lo vayamos apuntando? -alumno: pues como de cada punta blanca hay tres caras, como hay…[la cuenta] ocho puntas blancas, 3 por 8, 24. y en las puntas rojas en cada una hay cuatro y hay 6, 4 por 6, 24 [lo apunta en la pizarra] Vale, una manera. Otra respuesta, porque he oído otras. No las cambiéis porque a lo mejor tenéis razón. A ver otra respuesta ¿Cuántas caras pensáis que tiene este modelo ? -alumno: yo había dicho al principio que era la suma de los dos. Había dicho al principio la suma de los dos, el cubo tiene 6 y el octaedro tiene 8, 6+8=14, Son 14 caras, y había oído a más gente, no sólo tu, ¿Y por qué habéis cambiado de idea? ¿Habéis cambiado de idea o mantenéis la que tenían? Vamos a pensar si son 48 ó son 14. -alumno: depende de lo que consideres cara Depende de lo que se considere cara, efectivamente. Tengo que extender mi idea de cara, para que este modelo tenga 14 caras, las 8 del octaedro y las 6 del cubo. Tenemos un modelo compuesto que está formado por la intersección del cubo y del octaedro. Tendríamos que extender nuestra idea de cara, porque fijaos si rompemos con nuestra idea ingenua, la idea que viene de todos los que hemos estudiado hasta ahora. Por eso es lógico que haya estudiantes que consideren como cara los triángulitos y, con esa idea de cara, la respuesta en la quue habéis razonado que tenía 48 caras era muy buena. Se aplicaban razonamientos considerando cara a los pedacitos que se ven y considerando también que donde no se ve (por dentro), no hay pedacito. Se están viendo como picos y cuando este modelo se ve como pico el número de caras es efectivamente 48. Pero sin embargo, si el modelo lo estoy viendo como la intersección del cubo y el octaedro, no tenemos esas caras, Tendríamos que extender nuestra idea de cara, nuestra idea de arista y nuestra idea de vértice y decidiríamos nosotros qué consideraríamos a partir de ahora caras, qué consideraríamos a partir de ahora vértice y qué consideraríamos a partir de ahora arista […] Estaríamos en un momento interesantísimo donde las dos respuestas son correctas, a partir de aquí decidiríamos, perfilaríamos las ideas que tenemos sobre los conceptos y a partir de ahí tendríamos que ser coherentes con la decisión. Ya se había comentado lo correspondiente a perfilar ideas de los conceptos por la aparición de ejemplos que así lo requieren.. |
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