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Sobre contenidos geométricos Descripción de los prismas. Diferentes tipos de diagonales 13- Diferentes tipos de diagonales en el plano y espacio. Bueno pues vamos a entrar en las diagonales, y en los sólidos también tenemos diferentes tipos de diagonales, [dibuja un polígono cóncavo] Por un lado tenemos las diagonales de las caras [dC] y por otro lado vamos a tener lo que le vamos a llamar diagonales del espacio, que son las que están, por ejemplo la que va de aquí a ahí [dibujo de un prisma de base irregular recto convexo, marca una dE]. La que va por dentro…, es una diagonal que une vértices del prisma y va volando; no puede ir totalmente por la superficie. Es una idea súper ingenua, tiene que ir volando, esa es la idea más ingenua de la que parto, la que une vértices de cara y va por la superficie será diagonal de la cara. Por otro lado están los planos diagonales que se forman a aprtir de diagonales de caras. Bueno diagonales de las caras esta claro ¿no? Desmontamos, los polígonos tienen diagonales, los polígonos tienen diagonales y por tanto las diagonales de las caras serán las diagonales de los polígonos; es igual que los ángulos de las caras. De todas maneras vamos a ver qué idea tenemos de diagonal de un polígono y luego precisaremos en términos geométricos una idea para diagonal del espacio. En los apartados Sobre los elementos de los sólidos y ¿Qué propiedades cumplen,...? se puede obtener información sobre cómo se han desarrollado en clase estas cuestiones. Tal y como se muestra en estos apartados algunos estudiantes de la clase incluían para diagonal de polígono el atributo de que tenía que quedar dentro del polígono, con lo que en los polígonos cóncavos no se contaban las diagonales que quedaban fuera. Para la idea de diagonal del espacio primero da una idea visual que expresa luego en términos geométricos, remarcando la diferencia entre ésta y las diagonales de caras. A partir de esta actividad se mostró cómo se van precisando las ideas de los conceptos porque aparecen ejemplos que obligan a ello. Además, se hizo notar también lo que puede ocurrir cuando los conceptos se introducen a partir de ejemplos de una familia específica: se incluyen para el concepto más propiedades de las que tocan. En este caso, para diagonal de un polígono se incluye una propiedad que cumplen las diagonales en los polígonos convexos. Las idea que se expresa para diagonal de un polígono es: Junta vértices que no son vecinos (no están unidos por un lado). La diagonal del espacio junta vértices que no pertenecen a la misma cara. 14- Contando diagonales. Ahora que supongo que ya todo el mundo tiene claro lo de las diagonales, vamos a seguir con el problema que teníamos planteado que es ver cuántas diagonales de las caras tiene un prisma. ¿Qué problema hemos resuelto que puede ayudarnos? Dado que tenemos que hallar las diagonales de todas las caras, ¿hay algún problema que hayamos resuelto, que también haga referencia a que se tiene que hallar algo de todas las caras? ¿Qué estrategias utilizábamos en ese problema? ¿Se pueden adaptar para resolver éste? […] Bueno pues, el problema de hallar las diagonales de las caras del prisma lo hemos transformado, convertido en 2 problemas: Hallar las diagonales de las bases (son dos) y hallar las diagonales de las caras laterales. Luego hay que sumar las unas y las otras. Las diagonales de las caras laterales se pueden calcular adaptando el procedimiento usado para hallar los ángulos de las caras laterales, pero ahora tenemos 2 diagonales en vez de 4 ángulos por cada cara lateral. Pero el razonamiento es exactamente igual: 2 por cada cara lateral y tenemos n caras laterales. En total tenemos 2n diagonales de las caras laterales. Ahora hay que hallar las diagonales que tiene una base del prisma ¿Cuántas diagonales tiene una base? ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados? Pensar sobre este problema para ver cómo podéis resolverlo. […] Me fijo en un vértice e intento sacar cuántas diagonales salen de él […] Para saber cuántas salen de él en general, lo que se hace es: se miran las que no pueden ser [lo apunta en la pizarra], porque así me dirá muy fácil cuántas pueden ser, para saber lo que puede ser, me fijo en las que no pueden ser. Una vez que ya me he fiado en uno me fijo en todos los vértices […] ¿Qué haría?, me fijo en un vértice, por ejemplo en éste, en cualquiera, y ahora quiero saber cuantas salen de él, saber cuántas diagonales salen de él lo tengo complicado, porque ni siquiera sé cuantos vértices tengo por ahí. ¿Qué tengo fácil?, saber con cuales no, con éste no porque es lado, con éste tampoco porque es lado [lo va haciendo con el dibujo] ¿ya está?, y ¿con él mismo? ya me diréis
¿Y con todos los demás? Si se puede, con todos los demás se puede, entonces en este caso ¿con cuántos no se puede? Con tres no se puede, con los dos vecinos y con él mismo no se puede […] Tenga los lados que tenga, eso siempre me va a pasar entonces ¿con cuántos se podrá?, si en total tengo n -alumnos: menos tres n-3 [lo apunta en la pizarra] Fijaos, tenga los vértices que tenga, tengo n, luego de un vértice me salen n-3 [apunta: (n-3)] Pero ¿cuántos vértices tengo? [espera respuesta] n, Lo hago con todos, ¿cuántas tengo en total? Por cada uno tengo n-3, y tengo n, en total serán n por los que tengo por cada uno [apunta en la pizarra n (n-3); n-3 por cada uno y tengo n] -alumno: ¿esa sería la fórmula final? Esa sería la fórmula final, ¿hemos acabado? -alumno: ¿la fórmula final de qué? No, no hemos acabado No es la fórmula final, eso es parte del problema que tenemos planteado: hallar las diagonales de las caras del prisma. Ahora estamos en una base. Esta expresión nos dará las diagonales que tiene una base. Luego tenemos que continuar para hallar las que tenemos en total. Bueno pues como está bien, vamos a revisarlo porque no nos fiamos -alumno: ¿esa es la fórmula? Vamos a revisar, vamos a empezar, vamos a ver si es verdad -alumno: no pues no es cierto [dibuja un triángulo, un cuadrilátero y un pentágono] vamos a ver si es verdad ¿Cuántas diagonales tiene el triángulo con esta fórmula? 3 menos tres cero, vale si que me cuadra. Aplico esta fórmula ¿Cuántas diagonales tendría el cuadrilátero? 4, 4 menos uno que es uno -alumnos: 4 menos tres,... Cuatro menos tres, uno -alumno: cuatro por uno cuatro ¿Cuántas tendría el pentágono con esa fórmula? 5 menos 3 -alumno: diez 5 por 2 diez, ¿y qué pasa? Que no sale -alumno: sale el doble No sale ¿Cuántas tienen que salir?, estas son las que nos salen -alumno: dos y cinco ¿Cuántas nos tienen que salir? -alumno: dos y cinco Luego ¿qué tendremos que hacer? Lo arreglamos, la arreglamos. Y una vez que la hemos arreglado, sólo hemos visto unos ejemplos, tenemos que convencernos más, ¿Vale sólo dividir por dos? ¿Por qué pensáis que hay que dividir por dos? -alumno: porque una misma diagonal va en dos direcciones Una misma diagonal…¿qué pasa? La habremos contado como que va de este vértice a este, pero también de este a este, eso con todas, todas las diagonales las hemos contado dos veces, como que sale de un vértice y como que sale del otro. Como todas las diagonales las hemos contado dos veces Estando en una tarea de descripción de propiedades de los prismas, el profesor trabaja una parte de la tarea como un problema del plano, encontrar el total de las diagonales de un polígono. Se trabaja, sobre todo, la deducción. Muestra una forma de encontrar el total de diagonales en un caso general de un polígono de n lados. En el transcurso de la argumentación hay una parte donde se conjetura y donde se particulariza, pues han encontrado una fórmula y al probarla en ejemplos específicos, triángulos, cuadrados y pentágonos, se particulariza para probar si es correcta o no. Una vez resuelto ese problema regresa al original, encontrar el total de diagonales de las caras de un prisma y ahí la problemática aparece por tener que operar con expresiones algebráicas. 14- Buscando expresión para las diagonales del espacio de los prismas. Vamos a recordar primero la idea de la diagonal del espacio que expresamos el otro día. Diagonal del espacio une vértices, en este caso vértices que no están en la misma cara, porque si fueran de la misma cara serían diagonales de las caras, vértices que están en distintas caras y por supuesto que no pueden coincidir con el lado, no coincide con una arista del prisma. Vale pues, si estoy en éste, donde lo tengo pinchado, con todos los de esa base no se podrá unir porque serían diagonales de caras, esas serían diagonales de caras, si me voy a la otra base ¿con todos se puede unir y ser diagonal del espacio? Recordar que para saber las diagonales que salen de un vértice nos fijamos en los vértices con los que no se puede. No se puede con éste porque sería arista, con éste de aquí tampoco porque sería diagonal de cara y con éste de ahí tampoco porque sería diagonal de cara, con todos los demás, con todos, vamos a apuntarlo. […] Entonces ¿cuántas pueden salir de este vértice? ¿A dónde podrá ir?, a todos los vértices que hay aquí bajo menos tres [lo explica en el dibujo] ¿Cuántas diagonales salen de este vértice?
Me fijo en la base de abajo ¿cuántos vértices tengo en la base de abajo? Como es un prisma n-agonal, la base tiene n lados, luego tiene n vértices. Uniendo este vértice en el que me he fijado con los de la base de abajo ¿cuántas diagonales puedo dibujar que salen de este vértice? -alumno: (n-3), luego las diagonales que salen de un vértice del prisma, las diagonales del espacio, ahora es diagonales del espacio que salen del vértice de un prisma, son n menos 3 [ ]. Vale ¿cuál es el siguiente paso? Me fijo en todos los vértices […] En total tengo en la base de arriba, diagonales del espacio de una base [ ], que salen de la base serían n por n menos 3, las que salen de una base y no se me repite ninguna, Luego cojo los vértices de la otra base ¿tengo que considerar la base de abajo? -alumno: no. Ya están con los de arriba. No, no hace falta considerarlos. Esta expresión n(n–3) ya corresponde a las diagonales del espacio de un prisma porque ¿qué pasaría al considerar los vértices de la otra base? Al fijarnos también en los vértices de la otra base, no aparecerá ninguna nueva. Todas serán las mismas porque las diagonales del espacio juntan dos vértices que pertenecen uno a cada base. Si queremos considerar también los vértices de la otra base contaríamos todas las diagonales repetidas y habría que dividir por dos. Los comentarios son análogos a los anteriores. Se trabajan razonamientos deductivos. A partir de esta cuestión se da la oportunidad a los estudiantes de que adapten para esta nueva situación el procedimiento utilizado para hallar las diagonales de un polígono. Éste es el único ejercicio que se ha tratado en clase sin referencia a casos concretos, directamente para un caso general de un prisma n-agonal. Ahora bien, si que se ha usado modelos concretos para que se visualizaran los razonamientos que se iban haciendo en la justificación. Por ejemplo, cuando se explicaba con qué vértice no se formaba diagonal del espacio porque con ellos se formaba arista o diagonales de cara, o cuando se explicaba que no hacía falta considerar los vértices de una de las bases, que bastaba con considerar los de la otra, porque si lo hiciéramos las diagonales saldrían repetidas.
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