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Sobre contenidos geométricos Descripción de los prismas. Caras, vértices y aristas. 10- Seleccionando ejemplos representativos. Vamos a describir FAMILIAS INFINITAS, no es lo mismo describir al cilindro donde sólo me fijo en un ejemplo, que describir los prismas que es una familia infinita con ejemplos infinitos y que además son diferentes. O sea que vamos a trabajar la descripción de una familia infinita. Antes de comenzar, para que no basemos la respuesta sólo en los ejemplos que nos vienen primero a la cabeza, vamos a seleccionar los ejemplos representativos de la familia de los prismas. Para ello hay que pensar en bonitos (tienen más propiedades) y feos (pertenecen a las familias más generales). ¿Qué ejemplos representativos seleccionamos? Bueno desde luego que en los bonitos hay que pensar. Puedo pensar en el cubo o en este de base regular…[los dibuja] esos son a los que les voy a llamar bonitos ¿En qué otros tengo que pensar? Desde luego no se me tiene que olvidar,... ¿Cuáles no se me tiene que olvidar? -alumnos: los oblicuos Dentro de los feos hay tres clases: Porque la base no es regular,... Mira la base la voy a poner así [dibuja un polígono convexo irregular] y las caras laterales, estoy pensando en rectos pero con base irregular convexa.
Ahora no se me tienen que olvidar los oblicuos, pienso en los oblicuos y ahora me pongo el que quiera y me lo puedo decir: Las caras laterales son esto [dibuja un romboide] y la base esto [dibuja un polígono convexo irregular]. Me lo pongo como quiera, es para uno mismo. Es una representación para que nos sugiera el ejemplo en el que se está pensando para que no se nos olvide que hay que tenerlo en cuenta.
¿Qué otros no se me tiene que olvidar? ¿Qué otros no se me tiene que olvidar?
Hay que aclararse con la representación que uno usa aunque los demás no se aclaren con la que para nosotros es clara. Son representaciones de uno mismo; nuestra manera de registrarnos el modelo en el que estamos pensando para que no se nos olvide, y luego cuando vayamos por turno comprobando si la propiedad en la que se ha pensado se verifica o no, no se nos olvide comprobarlo con todos. Así pues, antes de enmpezar a describir los prismas, el primer problema que nos planteamos es seleccionar un mundo de ejemplos representativos, y luego registrarlos con nuestros propios códigos para que cuando vayamos por turno comprobemos si verifican o no la propiedad que hayamos expresado. No se nos tienen que olvidar los bonitos, los rectos de base regular, los de bases regulares y caras laterales cuadrados (tienen todas las caras regulares) y el más bonito el cubo. Y luego los feos, entre comillas, o bien la base es irregular convexa o bien son oblicuos o bien son cóncavos (que tienen entrantes).
[…] Con la situación propuesta de descripción de prismas se ha desarrollado actividad matemática en la que: Se identifican ejemplos representativos, se trabaja la manera de comunicar los ejemplos, se describen ejemplos concretos, se identifican elementos de los prismas, se relacionan los elementos de los prismas y prismas entre sí (al pensar en los ejemplos representativos). Es una manera para acercarse a la clasificación. Al momento de elegir los ejemplos representativos se trabaja una clasificación jerárquica dentro del los prismas bonitos: rectos de base regular y ahí están los de caras regulares y el cubo, el más bonito porque tiene más propiedades. También se aproxima a la clasificación introduciendo el nombre de los prismas, identificando la forma de la base y haciendo notar que el número de elementos de un prisma depende del número de lados del polígono de las bases, pero no de su forma. Todos los que tienen por base un triángulo, tienen el mismo número de elementos. Y lo mismo para los que en su base tienen un pollígono de 4, 5, 6,,, lados. Por eso, al elegir los ejemplos representativos se tiene en cuenta la forma del polígono de las bases y si es recto (con caras laterales rectángulos o cuadrados) u oblicuo. 10- Considerando diferentes elementos. De los elementos primeros, voy a decir todo lo que pueda de caras, vértices y aristas, o sea voy a decir todo lo que pueda de los elementos que lo componen. Diré todo lo que pueda de relaciones de igualdad, las relaciones de paralelismo, las relaciones de perpendicularidad, todo lo que pueda, de número, y de otras cosas que yo pueda decir más [apunta esa lista en la pizarra]. Cuando ya haya dicho todo lo que pueda de caras vértices y aristas, que son los elementos que lo forman, voy a decir todo lo que pueda de otros elementos ¿De qué otros elementos podéis decir más cosas? En los polígonos, además de lados y vértices ¿qué otros elementos conocéis? -alumno: ángulos Ángulos, o sea que de aquí diré también cosas de los ángulos, en la segunda parte diré cosas de los ángulos ¿de qué otros elementos decimos cosas en los polígonos? ¿además de los ángulos? -alumnos: diagonales Diagonales, diré entonces cosas de diagonales, ¿y de qué otras cosas? -alumno: de la altura Haciendo una recopilación de la actividad matemática que se ha desarrollado a partir de la situación Introduce conceptos como el orden de los vértices. Relaciona elementos del plano con elementos del espacio: lados de los polígonos de las bases-aristas de las bases. Describe los prismas que lo conforman, los representativos y si una propiedad la cumplen todos se generaliza a todos los prismas. Trabaja pues este tipo de generalización. La actividad continúa describiendo la familia de los prismas. Para esta familia se elabora el listado de propiedades que se indica en ¿Qué propiedades cumplen... ? de la sección ¿Cómo aprendemos y nos expresamos? 11- Contando el número de caras de un prisma n-agonal. [Para contar las caras, vértices y aristas en una de las estrategias que utiliza se cuentan estos números de manera estructurada, partiendo de ejemplos concretos en los que la base tiene 3, 4, 5, ... lados y recopilando los resultados en una tabla. Algunas filas de la tabla ya se han rellenado] Como ya sabemos que debemos contar las caras laterales y las caras bases ¿qué sabemos de las caras bases? ¿qué podemos decir siempre de las caras bases? -alumno: son dos En observaciones, que las caras bases siempre van a ser dos, éstas siempre van a ser dos en todos, en todos, ponga el que ponga siempre van a ser dos más lo que sea [lo va anotando en la tabla]. ¿Y las caras laterales? ¿qué pasa con las caras laterales? -alumno: que habrá tantas como lados tenga la base Aquí otra observación, que las caras laterales habrá tantas como lados tenga la base. Incluso si queremos ya nos podemos meter en justificación al nivel que estamos. ¿Por qué? porque cada lado se engancha con cada lado de la otra base [lo muestra en el modelo] y eso es una cara lateral, cada cara lateral se forma enganchando el lado de una base con el correspondiente de la otra base [lo apunta en la pizarra] El contar el número de caras, vértices y aristas ha llevado a la siguiente actividad matemática: Se cuenta de manera estructurada en función del número de lados del polígono de las bases (para el prisma triangular, cuadrangular, pentagonal,…) y al final la generalización se hace cuando se llega a la fórmula en términos numéricos para calcular el número de vértices, aristas y caras, para n. Se generaliza porque se sustituye un dato concreto por una variable. Se trata otro tipo de generalización cuando se utiliza otra estrategia para hallar estos números: se cuenta de manera estructurada, por niveles, y se generaliza porque se repite el contar de manera estructurada pero en el prisma n-agonal y se simboliza la expresión. Se trabajan también diferentes estrategias para contar los elementos. Al contar de manera estructurada, el profesor introduce la demostración a un nivel básico, basándose en características observadas en los modelos y en las propiedades de los prismas.
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Figura 25