Sobre contenidos geométricos

Las Pirámides y otros sólidos.

15- Ideas ingénuas y propiedades para las pirámides. Recordar procedimientos que permitían generar representaciones físicas, o sea, modelos. Los construimos con cartulina, modelándolos, cortándolos,… Por ejemplo las pirámides se podían obtener cortando mentalmente en el cono. Las pirámides salían a partir del cono, y lo mismo que hicimos comparando el cilindro con los prismas, lo haríamos comparando el cono con las pirámides y así estableceríamos relaciones entre el cono y las pirámides. Esto era cuando hacíamos cortes,

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Entonces si lo hiciéramos, ideas ingenuas que nos saldrían para pirámides, que son las que les correspondería a las que vimos con los prismas, serían: una pirámide se puede apoyar en cualquier cara, para romper la idea errónea de que una pirámide la base es la cara donde se apoya, una pirámide se puede apoyar en cualquier cara, sólo que cuando la apoyamos en la base, pues tiene la imagen visual como las pirámides de Egipto, el pico queda arriba. En vez de decir que se parece a una columna ahora tenemos que decir que se parece a las pirámides de Egipto o el pico queda arriba, si la apoyamos en una cara lateral, al rodar parece que gira alrededor de un punto

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Igual que el cono, si la apoyamos en una cara lateral y la intentamos hacer girar, desde luego que gira mejor que si la apoyamos en la base, pero gira alrededor de un punto alrededor del ápice, gira alrededor del ápice, gira peor que el cono porque hay aristas, como hay aristas, como aquí hay aristas laterales y la base también tiene aristas (no es una circunferencia como en el cono) gira peor,

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Si la apoyo en la base, igual que en el cono, no se gira sino que hay un desplazamiento porque es plana, la base es plana, aquí es un polígono y en el cono un círculo.

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Otra idea ingenua que teníamos de los prismas y los cilindros se basaba en cortes, hacer rodajas, cuando utilizábamos el procedimiento de hacer cortes, estudiábamos secciones y nos llevaban a ideas ingenuas, bueno pues aquí en las pirámides podemos estudiar formas de secciones,

¿Qué forma tiene cuando corto así? [movimiento perpendicular a la base] y ¿Cómo se decía así? Perpendicularmente a la base ¿Qué formas obtengo cuando pego cortes perpendicularmente a la base?,

Se podría hacer también en la pirámide, revisaría lo de paralelamente y lo de perpendicularmente.

Se trata de que pasemos por todos los procedimientos para ver qué propiedades y qué ideas ingenuas de pirámides nos salen.

Cuando seguíamos el procedimiento de cortar, mirábamos secciones, practicábamos lo de perpendicularidad y paralelismo, aquí lo mismo, y las secciones más bonitas salen cuando hacemos cortes paralelos a la base, que nos llevaba a idea de base,

¿Aquí que queda?

En la pirámide, cuando pegamos cortes paralelos a la base, cuando pegamos cortes paralelos a la base ¿qué le pasa a la sección?

La forma de la sección es igual a la de la base, la forma de la sección es igual a la de la base, ¿pero qué pasa? Que es más pequeña que la base, disminuye en tamaño, va disminuyendo en tamaño, la forma de la sección va disminuyendo en tamaño [dibuja una pirámide tumbada] en el dibujo igual este paralelo a este, paralelo a ese, paralelo a ese, va disminuyendo hasta que ¿al final qué pasa? se convierte en un punto.

Si lo vemos en sentido dinámico y nos fijamos en la forma de la sección, cuando hacemos cortes paralelos a la base obtenemos polígonos que tienen la misma forma que la base pero cada vez son más pequeños y al final se convierten en un punto

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Si nos fijamos en los pedazos que quedan ¿qué pasaba en el cilindro?, me quedaban dos cilindros ¿Qué pasaba en los prismas? Quedaban dos prismas, pero ¿Qué pasa en las pirámides? Queda una pirámide más pequeñita y un tronco de pirámide, una pirámide a la que le han quitado la cúspide.

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Ahora me salen dos pedazos pero no son dos pedazos que son pirámides sino que nos sale una pirámide más pequeñita y un tronco de pirámide.

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Un tronco de pirámide, no es una pirámide. Las pirámides ya hemos dicho que tienen una base y caras laterales triángulos, mientras que en un tronco de pirámide sus caras laterales ¿cómo van a ser? ¿qué forma van a tener?

¿Son paralelogramos?

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Vale pues a esa forma se le llama trapecio. Cuando tenemos un par de lados paralelos, cuando tenemos un par de lados paralelos por lo menos.

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La condición imprescindible es que tiene que tener un par de lados paralelos, si los otros dos son iguales, pues es más bonito, se le llama isósceles, trapecio isósceles, pero los dos son trapecios. ¿Y los paralelogramos son trapecios? ¿Tienen un par de lados paralelos por lo menos?

[…]

Trabajando con cortes, tenemos ya una idea de pirámide, en una pirámide si quiero encontrar cuál es la base hago rodajas y se me tiene que mantener la forma de la base, solo que cambia el tamaño ¿qué otra observación nos vendría bien para saber cuál es la base de la pirámide? Pero fijaos en que esa condición también se cumple en la pirámide truncada y no es pirámide.

Si la tuviera así [tumbada], ¿una cara lateral puede ser cuadrado? ¿puede ser cualquier polígono?

-alumnos: no

No, la cara lateral tiene que ser necesariamente triángulo, pues si veo un polígono que no es triángulo, ¿qué tendrá que ser necesariamente? la base. Si no puede ser base porque las otras caras no son triángulos, ya no es pirámide.

O sea que para las pirámides, igual que para los prismas, si yo quiero trabajarme ideas de base, para romper la idea de que la base es la cara donde se apoya, me trabajaré observaciones como esa.

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en un modelo para que sea pirámide sólo puede haber un polígono que no sea triángulo,

[…]

y ese es el único que puede ser la base. Si no es triángulo, es el único que puede ser base, porque cara lateral no es.

[…]

15. Las pirámides triangulares y las de caras iguales [Coge una pirámide triangular oblicua], ¿Aquí cuál es la base?

Aquí puede ser cualquiera. Cuando todas las caras son triángulos, todas las caras pueden ser bases. En esa pirámide es especial, esa pirámide es de una familia especial.

Pero tienen un aspecto totalmente diferente. Cuando todas las caras son triángulos, todas las caras pueden ser base, pero al considerar la base tienen un aspecto totalmente diferente [muestra el modelo en distintas posiciones].

[…]

¿Aquí qué pasa? [tetraedro], que la apoye en la cara que lo apoye, tiene el mismo aspecto.

Aquí podemos anotar, hay hay también diferentes pirámides que tienen caras triángulos todas ellas, por ejemplo en esta [tetraedro], todos son triángulos equiláteros.

-alumno: esa sería regular.

Esta sería regular, la apoye donde la apoye tiene el mismo aspecto, todas sus caras son triángulos equiláteros,

En ésta sin embargo [un triángulo equilátero y tres isósceles], tengo triángulos isósceles y un triángulo equilátero, y aquí tengo triángulos escalenos [la muestra].

Si no hubiéramos trabajado la clasificación de los triángulos, podemos hacerlo ahora.

En esta pirámide [vuelve a la formada por un triángulo equilátero y tres isósceles], si consideramos que la base es el triángulo equilátero,… y pueden ser base también las otras y el aspecto si que cambia muchísimo.

Y hay otras pirámides, donde, esta que voy a construir ahora, que tienen también caras iguales, [construye una con triángulos isósceles, con material comercializado, piezas de cartón] pero también tiene un aspecto totalmente diferente.

Se construye con triángulos isósceles, [muestra el modelo], todas las caras son triángulos isósceles, la puedo apoyar y siempre tiene el mismo aspecto, lo que pasa es que no tiene un aspecto tan bonito como cuando las caras son triángulos equiláteros.

Para construirla se cogen dos triángulos isósceles de éstos y se hace una unidad con ellos (en plano queda un rombo) [lo va mostrando con las piezas de cartón], Luego construyes otra unidad de dos triángulos isósceles. Luego los encajas de manera que las aristas que tienen las gomitas que juntan los triángulos se cruzan perpendicularmente.

Y aquí (con triángulos equiláteros) haces lo mismo, haces una especie de rombo y luego otro… Y los encajas. Cuando lo encajas te sale. Si no va en una dirección, lo pones en otra dirección. Las pirámides obtenidas en los dos casos tienen caras iguales.

O sea, que hay pirámides de caras iguales, pero también hay dos tipos de pirámides de caras iguales.

[…]

¿Qué tienen en común todas estas pirámides? ¿qué tienen en común todas estas pirámides en las que todas las caras son triángulos? Desde luego que todas las caras son iguales, no, porque ya hemos visto que en unas son iguales y que en otras no, ¿qué tienen en común todas estas pirámides en las que sus caras son triángulos todas ellas?

-alumno: has dicho en las que todas las caras son triángulos

En las que todas las caras son triángulos ¿qué hay en común en todas ellas?

-alumno: que cualquier cara puede ser base

Eso ya lo hemos dicho, otra nueva [espera respuesta] ¿qué tienen en común todas ellas?, ¿qué hace que esto no sea pirámide? [icosaedro, octaedro] aquí también todas son triángulos, aquí también son todo triángulos

-alumno: que tienen 4 caras

Que tienen cuatro caras, todas ellas tienen 4 caras, esto (se refiere al octaedro) no es pirámide triangular porque no tiene 4 caras, esto (se refiere al icosaedro) no es no tiene 4 caras. Lo que tienen en común las pirámides que tiene caras triángulos, que hace que esto no sea pirámide es que no tiene cuatro caras. ¿Y cuántos, vértices, aristas… tienen todas ellas?

Considerar la familia de las pirámides para desarrollar actividad matemática ha permitido que en una situación de construcción con diferentes procedimientos, y relacionando familias de sólidos se expresen ideas ingenuas para las pirámides.

Para ello se hace referencia a los procedimientos de generar sólidos a partir de los que se introducían ideas ingenuas para los cilindros y prismas, con lo que se relacionan las ideas que se obtienen para las diferentes familias y se centra la atención en los cambios que aparecen. Para introducir las ideas ingenuas de las pirámides, observa lo que cambia y lo que se mantiene con respecto a los prismas.

Al truncar la pirámide con un corte paralelo a la base (trabaja relaciones entre los elementos del sólido) introduce un sólido nuevo: tronco de pirámide. Al estudiar el tronco de pirámide introduce elementos nuevos del plano como es el trapecio, y sigue trabajando conceptos como paralelismo al “definir” el trapecio. Se tratan también relaciones entre los cuadriláteros: relaciones inclusimas de los paralelogramos en los trapecios.

Al fijarse en las pirámides de caras triangulares se aproxima de nuevo a las clasificaciones jerárquicas. Dentro de las pirámides distingue las que tienen caras del mismno tipo y dentro de éstas se fija en las que tienen caras iguales. Dentro de ésta se encuentra el tetraedro, que es la pirámide que es además poliedro regular.

Tambien trabaja la descripción de algunas de las familias obtenidas. Además de expresar características visuales, centra la atención en si tienen o no el mismo aspecto al apoyarlo en cualquiera de sus caras, se indican propiedades geométricas: Las pirámides triangulares tienen caras del mismo tipo. Tienen 4 caras, 4 vértices y 6 aristas.

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