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Sobre contenidos geométricos El cilindro, el cono y sus desarrollos 03- El cilindro. Introduciendo ideas de arista, cara, superficie...Vamos a tomar como situación de partida el generar los modelos con diferentes procedimientos. […] nos habíamos introducido el último día con una manera de introducir el cilindro con un folio. Esta manera de introducir ejemplos del cilindro, nos permitió introducir conceptos del plano: círculo, rectángulo, circunferencia, ... Esta manera de generar el cilindro va a permitir, también, introducir ideas geométricas visuales para arista de un sólido: arista de un sólido son las costuras. Un sólido cuando lo construyo con papel, tengo pedacitos de papel, a esos pedacitos se le llama caras. […] Quedamos el otro día, un pedazo de papel sería este [muestra un folio] sería una cara, esta cara está doblada [enrolla el folio], es una cara curva, rueda muy bien [lo“rueda” en el escritorio], es una cara curva, la superficie cilíndrica, y la superficie cilíndrica, el rulo, lo tapamos por los dos lados con dos pedacitos de papel, que los construimos [se auxilia del escritorio para tapar uno de lo huecos]. Estos pedacitos son idénticos. Los podemos construir marcando con el rulo en otro fólio. A partir del rulo se puede señalar sus bordes [en la pizarra superpone el rulo y esboza a partir de él los círculos]. Los marcamos. Los recortamos mentalmente. Esos dos pedacitos son completamente redondos, son planos, son lisos, son planos.
Y ahora cuando junto este pedacito con el rulo para tapar éste por un lado, sale una arista. Y cuando junto este pedacito con el rulo por el otro lado, sale otra arista [el experto lo muestra utilizando las manos e indicando los huecos y la cara curva] […] Arista: donde se juntan dos caras. Arista de un sólido es donde se juntan dos caras. Y caras son partes de la superficie. A partir de la superficie se consigue que quede un espacio perfectamente delimitado. La superficie está formada por el rulo y los dos trocitos que tapamos [el experto lo muestra utilizando las manos]. Queda un espacio perfectamente delimitado, y a los pedacitos de superficie [el experto lo muestra utilizando las manos para mostrar la cara curva y las bases] que delimitan el espacio, a los pedacitos o pedazos de superficie que delimitan el espacio les vamos a llamar aquí en clase cara. Con la situación de partida de construcción de modelos por diferentes procedimientos, particularizando a la representación de los desarrollos planos, trabajará la introducción de conceptos geométricos, el concepto de arista y cara de un sólido, y la descripción de propiedades de la familia de los cilindros. Trabaja la introducción de conceptos geométricos a través de ideas visuales. Utilizando terminología visual expresa la idea de los conceptos introducidos que luego la expresa en términos geométricos: cuando junto este pedacito con éste sale una arista. Arista de un sólido es donde se juntan dos caras. Describe elementos de los sólidos basándose en características visuales y funcionales, “cuando junto este pedacito con éste sale una arista o la cara curva rueda muy bien”. Al mismo tiempo que introduce los conceptos de caras y aristas, al describir visualmente los elementos que conforman el cilindro introduce el concepto de plano, de figura geométrica. También está trabajando relaciones entre los elementos del cilindro, los círculos de las bases son idénticos. 03- Registrando el cilindro en el cuaderno. [Se sigue con la situación de que el cilindro se construye con cartulina. Continúa el extracto anterior] Bueno pues está claro que aquí ya tenemos dos ideas ingenuas. Vamos a ver cómo guardamos en la libreta lo que hemos visto de los cilindros. Si miramos por ahí dibujos que hay en el entorno, no sólo lo que yo he traído a clase, si hubiera traído láminas también veríamos que el cilindro a veces lo vemos así [la profesora dibuja en la pizarra un cilindro de pie y otro tumbado]
El cilindro, y esto sí que me lo puedo guardar en la libreta, no sólo lo veo como el rulo que lo tapo, sino también lo vería así [señala el dibujo de la pizarra] Esto sí lo puedo guardar en la libreta. Es un dibujo del cilindro, me guardo el dibujo del cilindro. Y también me lo puedo guardar en la libreta a partir del desarrollo plano. Este se podría construir abriendo el cilindro recto. Tenemos el rectángulo [dibuja un rectángulo en la pizarra] y voy a reflejar que los dos pedacitos que tapan están pegados [los dibujos de la pizarra no tienen los dos círculos iguales].
Figura 12 [Se muestran ejemplos y no ejemplos y se discute sobre los que pueden ser desarrollos del cilindro y los que no. Así, se descartan los dos primeros y se quedan los otros dos. El extracto se muestra en ¿Cómo se introducen los objetos mentales iniciales? De la opción de Geometría y su enseñanza] 03- El rectángulo, el círculo y la circunferencia. Del desarrollo al modelo y del modelo al desarrollo. Cuando yo esto lo doble, el borde éste ¿qué pasa? [con señas hace como que enrollara el folio y señala en el dibujo la circunferencia y el lado del rectángulo sobre el cual está apoyado-d3] que es exactamente igual de grande que éste. Estoy remarcando lo que yo veré después, cuando yo lo doblo tengo que hacer una costura con el borde este y éste [señala en el dibujo la circunferencia y el lado del rectángulo sobre el cual está apoyado-d3] son exactamente iguales. […] Y además como tengo dificultades para decir el pedacito de arriba, el folio, el no se cuantas…les vamos a dar también nombres. Esto es un rectángulo [pone el nombre en el d3] Aquí en clase le vamos a llamar rectángulo. Y ¿esto? ¿Cómo le vamos a llamar al pedacito este de papel? […] Se llama círculo. [Marca una diferencia muy clara entre que son alumnos de Magisterio y cuando sean profesores en ejercicio. Marca cosas en las que tendrán que poner atención ya teniendo que dirigir una clase ellos mismos, detalles de ejercicio] ¿Qué características diríamos de un círculo? ¿Basta con decir que es un pedacito de papel? […] ¿Cómo pasamos del modelo físico al desarrollo? Recorto el círculo [señalando en la pizarra el d3] Recorto el otro círculo, abro el rulo, y cuando abro el rulo, si lo había hecho con un folio, me saldría el rectángulo. Este borde, habíamos quedado que era igual a este borde [señala primero el lado del rectángulo y luego la circunferencia en el d3] ¿Cómo se le llama a este borde? [señala primero el lado del rectángulo- d3] ¿Cómo le llamaríamos? [se oye que unos alumnos dicen lado y otros arista, el experto retoma arista] Arista del cilindro, pero ahora no estamos en cilindro, estamos en el desarrollo plano ¿Cómo le llamaríamos? Lado del rectángulo. […] Cuando lo construya, el lado del rectángulo se convierte en arista del cilindro. ¿Y cómo llamamos al borde éste? [señala las circunferencias en el d3] Circunferencia.
El borde del círculo lo llamamos circunferencia. 04- [Al comenzar la sesión hace un resumen de la actividad que se ha desarrollado a partir de la construcción del cilindro con cartulina] En este caso el cilindro, ¿Para qué?, ¿Qué hicimos? Introducir ideas ingenuas para los elementos. Introducir ideas ingenuas para los elementos de arista, cara, superficie…La arista era donde se juntan dos caras. La introducíamos diciendo que era la costura, luego acabábamos diciendo que era donde se juntaban dos caras. Cara era pedacito de superficie. Superficie era lo que limitaba perfectamente un espacio. Esas ideas las introducíamos partiendo del material. Por otro lado introducíamos también otro concepto que era Desarrollo plano, nos centrábamos en el dibujo, y a partir del desarrollo plano introducíamos bastantes conceptos del plano: circulo, circunferencia, rectángulo, lado del rectángulo. Introducíamos los conceptos y además ideas ingenuas. O sea, que los contenidos del plano los introducíamos a partir de las acciones de desmontar un modelo del cilindro y montarlo. O sea, estábamos todo el tiempo jugando plano y espacio, los conceptos del plano los introducíamos relacionándolos totalmente con los del espacio. Pasábamos del cilindro al plano y del plano al cilindro. Con ello hemos introducido los conceptos del plano y hemos verbalizado propiedades del cilindro en términos de estos elementos del plano. Con el desarrollo plano del cilindro introduce conceptos del plano, como rectángulo, círculo, circunferencia, lado del rectángulo, perímetro y algunas propiedades del cilindro: Para un mismo rectángulo se tienen dos cilindros rectos. El lado del rectángulo sobre el que se apoyan los círculos mide lo mismo que la circunferencia de estos círculos. El otro lado del rectángulo coincide con la altura del cilindro obtenido. Así pues, utilizando como situación de partida el desarrollo plano del cilindro recto se trabaja: - Relacionar elementos del plano y el espacio. - Introducir elementos del plano. - Identificar elementos del plano y del espacio. - Descripción del cilindro y de sus desarrollos. 07- El cono y su desarrollo. Revisando ideas de conceptos e introduciendo otros. A esto se le llama círculo y ¿cómo se le llama a esto? [señala el sector circular] ¿a qué forma se parece? -alumno: a un triángulo A un triángulo y ¿en qué se diferencia?. A esta forma se le llama triángulo [dibuja un triángulo] si ya lo hemos visto en otro momento pues lo recordarían, sino pues lo introducimos ahora. [...] Bueno tenemos este lado, este lado y este lado, tenemos tres lados, pero el tercer lado es curvo, ahí el tercer lado es curvo y cuando nos fijamos solo en este pedacito queda una cosa ¿qué cosa me recuerda de mi entorno cotidiano? -alumno: a un trozo de un círculo Un trozo de pizza, un quesito. Y visto en términos geométricos ¿La pizza qué forma tiene? -alumno: círculo Luego esto parece que es un pedazo de círculo, un pedazo de pizza, un trozo de círculo, y aprovecho para introducir la terminología geométrica. Parece que es un trozo de ese círculo grande [dibuja el círculo completo], luego, el desarrollo del cono parece que es un trozo de un círculo grande y un círculo pequeñito.
Bueno a este trozo [señala el sector circular] que da justo al centro del círculo, a este se le llama sector circular. El nombre viene de esta relación con el círculo grande. Se llama sector circular [pone el nombre en la pizarra] y para distinguir a este lado del triángulo, a este lado que es recto de este otro lado que es un trozo de la circunferencia, este lado que es curvo, un trocito de circunferencia, se le llama arco. El arco es un pedacito de la circunferencia, estoy en longitud. Así pues, inmersos en construir sólidos por diferentes procedimientos, considerando como situación particular el desarrollo plano del cono la actividad matemática que se ha desarrollado la podemos esquematizar como sigue: - Introducir el desarrollo plano. - A partir del desarrollo plano del cono se introducen conceptos del plano: sector circular, cuerda, arco. - Se relacionan elementos del plano con elementos del espacio: arista-circunferencia y arco. Sector circular-superficie cónica. Con la sesión que continúa, con el estudio del cilindro, cono y esfera se trabaja también: - Relacionar sólidos (los elementos del cono y los del cilindro, lo que se mantiene y lo que cambia) - Estableces parecidos y diferencias entre las familias. - Se introducir la esfera y analizar por qué no tiene desarrollo plano. - La información obtenida se organiza en una tabla. Se subraya la ventaja de las tablas para recopilar información. Como situación para pensar fuera de clase, extendiendo la tarea que se estaba desarrollando en ella. Dentro de la situación de construcción de modelos por diferentes procedimientos, introduce una tarea nueva: ¿Cómo será el desarrollo plano de cilindros oblicuos? Describirlos. A partir de esta situación se: - introducen otros conceptos del plano, - se relacionan elementos del plano y el espacio (alturas, lados, diagonal, generatriz, etc.), - se describen propiedades del cilindro y del cono y - se relacionan entre sí elementos del plano (rectángulo con paralelogramo-romboide). Cabe subrayar también cómo esta situación de partida, en la que se consideran conjuntamente los cilindros y conos y sus desarrollos, llevan a plantear actividades en dos estratos diferentes: Por un lado se va de la construcción a las matemáticas; se construyen formas y a partir de ellas se introducen conceptos, se observan propiedades y relaciones. Por otro lado, se va de las matemáticas a la construcción. Dadas determinadas propiedades o relaciones se pide que se construyan formas. Al estudiar el desarrollo plano de los cilindros oblicuos. Por las propiedades del cilindro que se han establecido con las actividades desarrolladas a partir de la construcción see concluye que “dos lados de la superficie cilíndrica son curvos, pero se mantienen equidistantes”. Ahora los modelos surgen como ejemplo aplicación.
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Figura 11
Figura 13
