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Los poliedros regulares. ¿Qué características tienen? Contando vértices y… 21- Contando vértices. [..] Vértices aquí en el tetraedro lo puedo ver como un pico y los tres de la base [tetraedro]. Los estoy contando por niveles. Con la geometría del espacio me fijo en la disposición, los números totales no me dicen nada, lo que me interesa es la disposición en el espacio. […] Si yo veo el total no me dice demasiado, bueno por lo menos hasta ahora, después quizá nos pueda decir algo, ahora nos interesa más la disposición en el espacio.
Otra manera de verlo, si yo lo viera así, si yo lo viera como las dos unidades como el otro día, fijándonos en los vértices ¿Cómo los tenía? Tendría 4, tendría 2 y 2, ésta se me encajaría con ésta ¿Me aparece algún vértice nuevo cuando lo encaje? ¿Cuándo yo veo al tetraedro como dos unidades, me aparece algún vértice nuevo cuando yo encajo la una unidad de los dos triángulos con la otra? -alumnos: no No, entonces sólo con imaginar la unidad formada por dos triángulos equiláteros ya tengo el número de vértices y su disposición en el espacio de otra manera. […] Para los vértices del cubo la manera más sencilla es cuando consideramos que el cubo está apoyado en una cara: 4 arriba y 4 abajo [apoyado en cara]. Pero si lo vemos como lo teníamos antes [apoyado en vértice], como dos picos formados por 3 cuadrados cada uno encajados, si lo vemos como la lámpara, ¿cuántos vértices tendríamos? [espera respuesta] Por lo pronto uno, y ahora en otro nivel... ¿Cómo se obtienen? ¿bajan tres aristas no? ¿Luego, cuántos vértices me saldrán? -alumnos: 3
Porque de ahí bajan tres, acabarán en 3 vértices. ¿Y luego qué pasa? De cada vértice vuelven a salir aristas. Mire el que mire tengo dos aristas por cada uno. Y luego las recojo ésta con ésta, ésta con ésta y ésta con ésta. Cada una con su vecina. ¿Cuántos vértices me saldrán? ¿Cuántos vértices me saldrán en el otro nivel?
-alumnos: 3 Otros tres, cuando yo encaje con la otra unidad ¿Qué pasa con las aristas? Es lo mismo y salen tres, cuando encajo las aristas las delzig-zag se me solapan ¿Y cuántos nuevos vértices me aparecen? Uno. luego me vendrá uno más [completa el diagrama]. Luego los vértices del cubo, cuando éste está apoyado en un vértice, están dispuestos como: uno, tres, tres, uno. […] Cuando peguemos cortes perpendicularmente al segmento que une vértices opuestos del cubo, hay una franja que si corto por ella sale un triángulo porque el corte sólo pasa por tres caras. Hasta aquí [lo muestra en el modelo], hasta el primer nivel de los vértices, la sección sería un triángulo equilátero. Luego, en esta franja donde están los vértices en zig-zag, donde hay tres caras que bajan y tres caras que suben ¿Cuántas caras toca el corte? -alumnos: 6 6, o según corte ¿Qué forma tendrá la sección que me va a salir en esa franja? -alumnos: hexágonos Hexágonos; son hexágonos con dos medidas en los lados y cuando el corte pasa exactamente por el punto medio de las aristas del zig-zag, o sea, cuando equidista de los vértices opuestos, sale como sección un hexágono regular. En la tarea de describir el número de vértices y aristas se muestran maneras distintas para contarlos, siempre fijándose en la disposición de los elementos en el espacio. Se remarca que el tener presentes los modelos en distintas posiciones favorece para incidir en diferentes elementos del poliedro. Al terminar la tarea de contar se muestra cómo en determinadas posiciones es mucho más fácil identificar las formas de las secciones. Se procede de la misma manera para el octaedro, dodecaedro e icosaedro, lo importante es identificarlos en diferentes posiciones, identificar la disposición de los elementos que lo conforman y describir propiedades utilizando el razonamiento, intentando que al final ya no se dependa del modelo físico. 21- El icosaedro. Vamos a ver el icosaedro como ejemplo. Para determinar la disposición de los vértices y las aristas, resulta más fácil si intento construir el armazón con pajitas de refresco. En ese caso centro la atención en las aristas y en los vértices, pues cuando yo se construye con material comercializado se centra la atención en las caras. La disposición de los vérticeses: uno, cinco, cinco, uno; 1, 5, 5, 1 [lo muestra en el modelo]. Repito, tengo un vértice, de ahí salen 5 aristas, luego pues acabarán en 5 vértices que son éstos del primer nivel. Ahora ¿de cada uno qué me sale?
Dos aristas, pero como las recojo cada una con su vecina. al recogerlas ¿cuántos vértices me salen? Otros 5 ¿Y ahora cuál me falta? El de abajo 1, 5, 5, 1. Si yo corto perpendicularmente al eje que une vértices opuestos, por ahí, por donde está el primer nivel de los 5 vértices, sale el pentágono mayor. Y también si corto por el otro nivel donde están los otros 5 vértices. ¿Y si corto por la franja central, qué me va a salir? Un decágono; como el corte corta diez caras (5 triángulos y 5 triángulos) sale un decágono que será regular cuando el corte equidiste de los dos vértices opuestos. Bueno pues ya tenemos los vértices, uno, cinco, cinco, uno. Y también la forma de algunas secciones.
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