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Los poliedros regulares. ¿Qué características tienen? Contando caras y … 20- El tetraedro. […] Quedamos en que íbamos a rellenar una tabla con las características numéricas de los cinco poliedros regulares (tetraedro, cubo o hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro), centrando la atención en su disposición en el espacio. Vamos a fijarnos ahora en la columna de las caras. El nombre de los poliedros regulares ¿a qué hacía referencia? A número de caras [columna 1] Por eso los he puesto en este orden, porque si aquí hubiera querido ordenar por el número de vértices, estarían de otra manera, pero como el nombre se lo hemos dado por el número de caras, pues entonces los ordeno así [empieza a llenar la columna] éste 4, 6, 8, 12, 20. Luego esta columna [1] se puede rellenar rapidísimo sólo fijándome en el nombre. En la sesión anterior lo habíamos hecho al revés; dábamos el nombre en función de las caras que tenían. Así que también puedo decir que el número de caras lo puedo calcular de una determinada manera posible, calculo la disposición de las caras en el espacio que me interesa muchas veces mucho más que el número, calculo esa columna fijándome en la disposición en el espacio. Eso es lo que vamos a hacer ahora. El cuatro caras del tetraedro puedo verlas como que eran los tres del pico más la que cerraba: [3+1] Para el cubo, ¿cómo lo veíamos más fácil? Las cuatro de la pulsera más las dos que cierran: [4+2] El octaedro ¿cómo lo veíamos más fácil? Las cuatro de un pico y las cuatro del otro pico: [4+4] El dodecaedro … ¿Cómo lo veíamos? Como dos cuencos que encajaban: Un pentágono más cinco que lo bodean (que forman como un cuenco) y otro pentágono más los cinco que lo bordean (que forman el otro cuenco): [1+5 y 1+5] El icosaedro ¿Cómo lo veíamos? Como dos picos que estaban bordeados de triángulos Cinco de un pico y cinco que lo bordean y cinco del otro pico y los cinco que lo bordean: [5+ 5 y 5+ 5] Una vez que ya se han encontrado todos los poliedros regulares, la tarea siguiente es determinar sus propiedades. Se trabaja con una tabla para recopilar las observaciones y hacer la descripción basándose en los elementos que los conforman, caras, vértices y aristas. Se utiliza la relación que existe entre el nombre de los poliedros y el número de caras para empezar a recopilar los datos. Otra cosa que se trabaja es la de identificar los poliedros en diferentes posiciones para describir más propiedades y relaciones existentes en y entre los poliedros regulares. […] El tetraedro, me doy cuenta de que tiene 4 caras. Como tiene 4 caras que son triángulos, yo pienso que si me pongo dos triángulos y me pongo otros dos triángulos… O sea que aquí tengo dos triángulos equiláteros [los dibuja unidos por un lado] y otros dos. Tengo dos aristas. Dos triángulos forman una arista al juntarse, y estos dos al juntarse forman otra arista. Si los pongo así [muestra con el cartón, las aristas paralelas y en la misma dirección], no sale.
Está claro que no puedo hacerlo de esta manera; cuando pongo una arista paralela a la otra arista y en la misma dirección no sale, pero cuando hago una especie de cruce con las aristas encaja [lo muestra con el cartón] y ya sale el tetraedro. Notar pues que en el tetraedro cada aista tiene otra que se cruza con ella perpendicularmente Si yo tengo en la cabeza esto [dos triángulos] la unidad base, tengo también la disposición de las otras aristas. […] Cuando lo tengo apoyado en una cara es como una lámpara, como una pirámide, bueno también es una pirámide así [apoyado en arista] pero se identifica peor. Cuando está apoyado en arista no lo identificáis como tetraedro porque no os lo han enseñado nunca, pero aparecen muchísimas situaciones apoyado en la arista. Para planos de simetría, ejes de rotación y secciones o para cuando tenemos poliedros inscritos unos en otros es muy bueno reconocerlo apoyado en arista. Para mostrar las diversas cosas que se pueden estudiar cuando se acostumbra a observar a los poliedros en diferentes posiciones toma el tetraedro como ejemplo. Remarca la identificación inmediata como pirámide cuando está apoyado en una cara y cómo se facilita el estudio de sus simetrías o de inscripciones de poliedros cuando se apoya también en una arista. También se describe cuando se ve su construcción a partir de dos unidades base formada cada una con dos triángulos. Según la posición del poliedro será más fácil o más difícil expresar propiedades o relaciones. 21- El cubo. Remarcando la idea de los prismas, podemos verlo como una pulsera que se cierra con dos polígonos, así el número de caras serían 4 y las dos que cierran. 6 caras. Si ahora nos fijáramos en el desarrollo, visto de esta manera tendríamos cuatro caras. [Va dibujando un desarrollo plano] ¿Y ahora qué pasaría? Que habría una de cada lado, lo podríamos poner así.
O lo podríamos poner así , O lo podríamos poner aquí o aquí. O sea, que la actividad que podríamos sacar aquí es cuántos desarrollos diferentes podemos hacer que remarquen que el cubo se ve como una pulsera que se cierra con dos cuadrados. […] Un cubo lo podríamos ver como dos picos de 3 cuadrados que encajan. Esto sería como una lámpara, es medio cubo [muestra tres caras, un vértice de orden tres] y cuando hago otro exactamente igual, lo encajo y se me forma el cubo. O sea, con dos exactamente igual a esto se forma el cubo.
[…] Con lo que el cubo también podríamos verlo de manera que hay 6 aristas en zig-zag y 3 y 3 que salen del vértice en el que se apoya y su opuesto. Esto es, tenemos un vértice y salen tres aristas; luego donde acaba cada arista ¿qué pasa? Le salen dos aristas [lo muestra con el modelo que ha construido]. Las junto para formar 3 nuevos vértices que es donde van a parar las 3 aristas que salen del vértice en el que lo apoyamos. […] Desde luego, la manera más sencilla de determinar la disposición en el espacio de las aristas del cubo es cuando lo tenemos apoyado sobre una cara. Ahora bien, para poder determinar la forma de algunas secciones apoyándonos e características del sólido es bueno conocer también como están dispuestas las aristas cuando el cubo tiene otra posición. Así, si está apoyado en vértice, tendríamos tres aristas que salen del vértice opuesto (que bajan), 6 aristas en zig-zag, porque de cada una salen dos y luego tres aristas más. O sea que sería otra manera de ver la disposición en el espacio de las aristas del cubo. Los ejes de rotación que pasan por vértices opuestos del cubo se ven mucho mejor si estoy acostumbrado a verlo apoyado en un vértice. Al trabajar con los poliedros regulares hay que verlos apoyados en vértices, aristas y caras, así cuando busquemos algunos elementos (secciones, simetrías, …) lo podemos hacer de varias maneras distintas. El octaedro. El tetraedro se puede ver como dos unidades de dos triángulos cada una que encajan. El cubo se ve como dos casquetes, de tres cuadrados cada uno, que encajan. Bueno pues lo mismo pasaría con el octaedro. El octaedro podemos verlo como dos picos que encajan. Ahora claro, si tiene 8 caras, tendrán que ser picos de 4 triángulos cada uno. Fijaos que en el tetraedro las unidades son de dos triángulos porque hay cuatro; en el cubo las unidades son de tres cuadrados porque hay seis… Al octaedro ¿qué le toca? Unidades de cuatro triángulos. Y el octaedro, al igual que el cubo, también lo puedo ver como una pulsera. Pero ahora es una pulsera de triángulos equiláteros. En el octaedro, ¿cuántos triángulos tendrá la pulsera? ¿Cuántas caras tiene el octaedro? ¿Cuántas caras tiene que tener la pulsera? -alumnos: 6 Seis, pues el octaedro también se puede ver [dibuja 6 triángulos en “línea”] 6 triángulos que forman una pulsera [muestra el modelo apoyado en una cara y señala los 6 triángulos de la pulsera], 3 boca arriba y tres boca abajo, y está cerrado con dos triángulos. Si lo apoyo en una cara se ve como una pulsera que se cierra con un triángulo y con otro triángulo solo que están girados. El octaedro es un antiprisma triangular.
Bueno pues preguntas que nos podemos plantear son: ¿Cuántos desarrollos diferentes remarcan que el octaedro es una bipirámide cuadrada, esto es, que es dos picos formados por 4 triángulos? ¿Cuántos desarrollos hay que remarcan que se puede ver como una pulsera que se cierra con dos polígonos?
Ya tenemos dos maneras de verlo: como bipirámide cuadrada (dos picos de 4 triángulos equiláteros cada uno que se juntan); esto es, como dos pirámides que se juntan. Y como antiprisma triangular; es decir, como una pulsera de 6 triángulos que se cierra con dos triángulos. Hay una tercera manera de verlo que es la siguiente: Tengo un triángulo lo bordeo de triángulos [lo muestra con el cartón y lo dibuja en la pizarra]. ¿Y cuántos tendría? 4
Si lo cierro sale el tetraedro [lo muestra con el cartón, pero si lo junto con otro igual, ¿qué me sale? El octaedro. O sea que con dos tetraedros, con los desarrollos de dos tetraedros, construidos de esta manera, puedo construir un octaedro. Ahora lo veo como un triángulo bordeado de triángulos otro triángulo bordeado de triángulos y los encajo.
Al tomar como ejemplo al cubo, la profesora muestra como observar en diferentes posiciones ayuda a remarcar ciertas propiedades o a introducir más tareas, por ejemplo el estudio de los desarrollos, especialmente para el cubo. Para encontrar todos los desarrollos del cubo introduce los hexaminós y plantea como investigación que se encuentren todos los que son diferentes y de éstos que se determinen los que son desarrollos del cubo. Se hacen descripciones usando atributos visuales (la pulsera cerrada) o usando atributos geométricos basándose en aristas y vértices. Y se ven también como una composición de piezas iguales. La identificación de los poliedros en diferentes posiciones facilita que se identifiquen como ejemplos de determinadas familias de sólidos (el tetraedro es una pirámide, el cubo es prisma recto de base cuadrado, el octaedro es un antiprisma y una bipirámide) y que se determinen determinados elementos: planos de simetría, ejes de rotación, secciones,… Entonces con esta tarea de identificación y descripción se favorece la familiarización con los modelos que facilita el estudio de la geometría en niveles posteriores a la educación primaria, por ejemplo, cuando se estudian los planos de simetría y los ejes de rotación. 21- El dodecaedro e icosaedro. […] El dodecaedro, ¿cómo puedo verlo? Pentágono bordado de pentágonos y pentágono bordeado de pentágonos. Esta manera de verlo lleva a una manera de contar sus caras. Si lo quiero ver como algo que hay en medio cerrado por dos polígonos, enseguida nos damos cuenta que ya no tiene la misma clase que tenían los prismas o los antiprismas; no hay una sola tira sino que hay dos, en el medio no sólo tenemos una tira sino que tenemos dos; en esta de abajo hay una que tiene cinco y arriba otra de 5 pentágonos. Y estas dos cintas están cerradas por dos polígonos.
Hay más maneras pero hasta aquí lo vamos a dejar. Si lo pasamos al icosaedro, en el icosaedro además de la manera de contar que ya teníamos: un pico de 5 y un pico de 5 con el antiprisma de en medio, o sea con la pulsera de en medio, que lleva a 5 y 5 y 10. También lo podríamos ver como dos picos de 5 triángulos equiláteros bordeados [lo muestra en el modelo de cartón] de triángulos que están encajados.
Podemos contar señalando en las caras, pero ya veréis que os llegaréis a equivocar menos si razonáis para ello. Una pirámide pentagonal tendrá 5 aristas en la base y como en cada arista le añado un triángulo ¿Cuántos triángulos quedan hacia abajo? 5 Tengo 5, uno por cada arista de la base de la pirámide. Y en el otro pico pasa lo mismo, uno por cada arista de la base de la pirámide. Por tanto tengo, 5-5 y 5-5. Fijaos que establezco relaciones entre poliedros, porque igual que antes con dos tetraedros tenía un octaedro, aquí con dos bipirámides pentagonales tengo el icosaedro. Si los 10 triángulos los pongo así [cierra los 5 que cuelgan] ¿qué me sale? Una bipirámide pentagonal. Y con dos bipirámides pentagonales tengo un icosaedro.
[…] Relaciona el icosaedro con otros sólidos por composición o con sus desarrollos. Al describir el dodecaedro también se están repasando los prismas y antiprismas, pues la descripción se hace tomando como referencia dos caras que podrían ser las bases y centra la atención en la “franja” de en medio, como se había hecho para el icosaedro o el octaedro. Se muestran estrategias para contar las caras, contar de manera estructurada prestando atención a la disposición de los elementos en el espacio. |
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