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Los poliedros regulares. ¿Qué características tienen? Contando aristas y… 21- El cubo. Ahora vamos a ir con las aristas, y con las aristas para el cubo. Para hallar la disposición de las aristas vamos a usar lo que ya hemos aprendido al haber determinado los vértices. Esta tarea es más bien para que intentéis aplicar en esta nueva cuestión (hallar la disposición en el espacio de las aristas) lo que se hacía en otra cuestión que nos planteamos y que se parecía a ésta (hallar la disposición en el espacio de los vértices). Bueno, cuando el cubo lo imaginamos apoyado en cara, la respuesta para las aristas es fácil: 4, 4, 4. Las de las dos bases 4, 4 y las 4 que juntan las bases. Apoyado en vértice será: 3, 6, 3. O sea, con el cubo serían, tres, las 6 de en medio las del zigzag, ¿Y ahora cuántas me bajarán? Otras tres nuevas. O sea, 12.
En el tetraedro tenemos: tres aristas que salen de un vértice y tres que cierran. En total, 6 aristas. Si al tetraedro lo veo como dos unidades formadas por dos triángulos ¿Qué queda? Me pinto una unidad ¿Y cuántas aristas me salen? Una, dos, tres, cuatro y cinco ¿Cuando me añado la otra unidad, cuántas nuevas me salen? Éstas se me solapan, [lo dibuja en la pizarra] Cuando le añado la otra unidad éstas se me van a solapar ¿Y cuántas nuevas salen? Una. ¿Pues cuántas tengo? Cinco y una, seis.
22- El dodecaedro. Cuando ya estoy en el dodecaedro, empiezo a tener un poco más de dificultad. Haberlo hecho para los vértices suaviza bastante las cosas para ver las aristas. Si yo intento construir un armazón, empiezo buscando 5 varillas iguales, empezaría construyendo éstas [muestra el armazón de plástico]. ¿Cómo continúo? De cada vértice me sale una, que es la que baja, éstas [lo dibuja en la pizarra].
Luego tendría 5 + 5 (las cinco que bajan) que serían éstas. ¿Y ahora qué pasa? ¿De cada extremo cuántas me salen? -alumnos: dos De cada extremo salen dos. Y cada una la junto con su vecina, luego tendría 10, que es el zigzag. ¿Y ahora qué pasará? Esto mismo exactamente, si lo miro desde abajo en vez de desde arriba. Éstas de aquí [las señala en el dibujo] son las que aparecen, son las 5 que bajan y las del pentágono.
[…] Luego la disposición de las aristas del dodecaedro es: 5 en un plano, formando un pentágono regular, las 5 que bajan, la 10 en zigzag, las 5 que bajan y las 5 del otro pentágono. Luego si yo corto en la primera franja me sale un pentágono como sección porque el corte afecta a 5 caras. Como véis se puede responder sin imaginar nada, se responde razonando, aplicando las características que conocemos del dodecaedro. Si el corte pasa por la franja central, ¿qué forma tendrá la sección? -alumnos: decágono Decágono porque el corte afecta a 10 caras, a los 5 pentágonos del un casquete y a los otros 5 del otro casquete. Si el corte equidista de las caras opuestas, el decágono que se obtiene como sección es regular. Fijaos que es importante practicar en un nivel contar los elementos de manera estructurada porque se facilita determinar la forma de las secciones que producen determinados cortes. En la tarea de describir las aristas, se aprovecha que ya se ha trabajado el contar y describir los vértices, se aprovechan procedimientos de resolución de problemas anteriores para resolver nuevos problemas similares. Identificando la disposición de las aristas en el espacio se cuenta de manera estructurada y se identifican y describen las formas de las secciones resultantes al realizar cortes en los poliedros. Cuando nos fijamos en las aristas, encontramos cosas bien bonitas. Vamos apoyar el dodecaedro en una arista. Entonces tengo una arriba [muestra el armazón apoyado en arista] ¿Y cuando tengo una arriba qué tengo necesariamente? Otra abajo. Puedo juntarlas vértice a vértice y se obtiene un rectángulo [utiliza bolígrafos para unir los vértices y formar un rectángulo].
Pero es que ahora si yo miro arriba y abajo [señalando dos aristas opuestas] ¿Qué veo también delante y detrás? [señala otras dos aristas opuestas que forman un rectángulo perpendicular al primero En el dodecaedro puedo ver otro rectángulo perpendicular a éstos; cuando se juntan las aristas que quedan a la derecha e izquierda [otras aristas opuestas]. Luego en el dodecaedro hay 3 planos perpendiculares entre sí. Y hay tres rectángulos... […] ¿Qué cumplen esos tres rectángulos? Hay tres rectángulos perpendiculares entre sí. Dentro de las 30 aristas que tiene el dodecaedro, 6 aristas son las que vamos a llamar las bonitas porque forman tres rectángulos que son perpendiculares entre sí. Además, si nos fijáramos en la sección saldría un hexágono, formado con 4 alturas de caras y dos aristas, que cumple unas determinadas propiedades […] O sea, que podemos apuntar, que en el dodecaedro hay 30 aristas, dispuestas de esa manera, 5, 5 que bajan, 10 en zigzag, 5 que bajan y 5 que forman un pentágono. Y además hay 6 que son las bonitas, cuando lo apoyo en una arista siempre tengo arriba-abajo, derecha-izquierda y adelante-detrás que forman tres rectángulos perpendiculares entre sí. 22- Dodecaedro y cubo. Eso quiere decir, y ahora estamos mirando lo que tiene gracia... Lo apoyo en arista y corto paralelo a la arista que queda arriba con un corte que pasa por diagonales de caras; quito así un casquete del dodecaedro que contiene a la arista. Si corto paralelamente a la arista de delante de manera que el corte también pasa por diagonales de caras, quito otro casquete [lo va mostrando con el armazón] Si corto paralelo a la de detrás, quito otro casquete. Si corto paralelo a la de la derecha, quito otro casquete. Si corto paralelo a la de la izquierda, quito otro casquete. Y si corto paralelo a la de abajo, quito otro casquete. ¿Qué me quedaría?, mirad, las 6 aristas, arriba-abajo, delante-detrás, izquierda-derecha, corte paralelo a la de abajo, corte paralelo a la de arriba, corte paralelo a la de la izquierda, corte paralelo a la de la derecha, corte paralelo a la de adelante y corte paralelo a la de atrás ¿y qué me queda?
-alumnos: un cubo Un cubo, o sea, se puede obtener un cubo a partir del dodecaedro […] Cuando cortamos paralelamente a las aristas bonitas se obtiene un cubo, pero claro no cortamos por cualquier sitio, sino que cortamos de manera que el corte pasa por diagonales de 4 caras. De esta manera, la sección es un cuadrado que se convierte en las caras del cubo [las señala en el armazón] Como véis hay relaciones entre el cubo y el dodecaedro que jamás en la vida nos lo hubiéramos imaginado. Aquí tenemos un modelo que mostraría esa relación [muestra el modelo y señala en él las aristas que nombra], arriba, abajo, derecha, izquierda, delante y detrás. O sea, dicho de otra manera: A partir del cubo puedo obtener un dodecaedro. ¿Qué tengo que hacer? Añadir a las caras del cubo, los casquetes que son iguales. O sea, nos construimos 6 casquetes iguales y los ponemos en todas las caras del cubo ¿Y qué se obtiene? El dodecaedro. Luego se puede pasar del dodecaedro al cubo cortando de una determinada manera, fijándome en las aristas bonitas del dodecaedro, pero también se puede obtener a partir del cubo el dodecaedro cuando se le añade a todas las caras el casquete correspondiente. Prestando atención a la disposición en el espacio que tienen las aristas de un dodecaedro se pueden identificar más propiedades, en este caso se identifican tres planos perpendiculares, planos de simetría, trabaja con diferentes conceptos, como perpendicularidad y planos de simetría. A partir de describir los planos se aprovecha para identificar cortes y mediante una descomposición del dodecaedro se construye el cubo, se establecen relaciones entro los poliedros, relaciones de composición y descomposición. Descomposición si se realizan los cortes en el dodecaedro para obtener el cubo, y no son cortes cualesquiera, para realizar los cortes también se tiene que prestar atención a los elementos de las caras, elementos del plano, diagonales del poliedro-diagonales de las caras, y a las relaciones de paralelismo entre cortes y aristas. Composición si a cada cara del cubo se le agrega los casquetes correspondientes e iguales para obtener el dodecaedro. La actividad continúa incidiendo en esta relación entre el dodecaedro y el cubo en cuanto que comparten algunos planos de simetría (los que son perpendiculares entre sí) y algunos ejes de rotación. Después de establecer la relación entre el dodecaedro y el cubo, se centra la atención en cortes que se realizan en el cubo que pasan por diagonales de las caras del cubo. Se obtiene así el tetraedro a partir del cubo. Y también se puede obtener el cubo a partir del tetraedro cuando se añaden a todas las caras del tetraedro las pirámides triangulares correspondientes.
22- El icosaedro. ¿Cuántas aristas nos salen en el icosaedro? 5, 5, las 10 de zigzag, 5 y 5. O sea 30 también y no me diréis que habíais sospechado que ambos iban a tener las mismas aristas [muestra un modelo de icosaedro y el armazón del dodecaedro]. En el dodecaedro, al ser más grande parece que están más sueltas; en el icosaedro parece que están más juntas. Pues bien, el dodecaedro y el icosaedro tienen las mismas aristas. […] Y en el icosaedro tenemos también aristas arriba-abajo, delante-atrás, derecha-izquierda, o sea, también tenemos 6 aristas bonitas. En el icosaedro tenemos también tres rectángulos perpendiculares entre sí igual que en el dodecaedro Entre los elementos de pares de poliedros regulares se encuentran otro tipo de relaciones; por ejemplo entre el icosaedro y dodecaedro. |
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