Geometría y su enseñanza. Estudiante y docente

Cómo se construyen los Objetos mentales iniciales y...

02-1 Sobre posibles enfoques para introducir la geometría

Vamos a empezar con una forma posible de introducir la enseñanza de la geometría: organizando el mundo de las formas, pero perfectamente podríamos empezar con otra en la que los poliedros surgirían por la construcción que se haría con material comercializado siguiendo unas normas para la construcción. Primero trabajaremos la una y luego la otra. Pero podría haberlo hecho al revés.

Bueno empezamos pues introduciendo el estudio de la geometría porque intentamos organizar formas que se encuentran en el entorno cotidiano.

En la segunda sesión introduce la geometría con una situación de partida que es la organización de las formas del entorno cotidiano. Centra la atención en que hay diferentes enfoques para aproximarnos al estudio: en un intento de organizar las formas del entorno cotidiano y a partir de la construcción con material comercializado. Comienza con la primera opción y da una serie de contextos diferentes donde se pueden encontrar formas para organizar, sin embargo como son tantas, el experto acota el contexto simplemente a la organización de envases.

Las siguientes reflexiones que vamos a comentar en relación con la enseñanza de la geometría de los sólidos a nivel escolar ya se expresaron en la sesión 03.

03- Los objetos del entorno para desarrollar actividad matemática.

La idea siempre es la misma, estamos introduciendo conceptos, iniciándonos en el estudio de la geometría, pero, lo que no podemos perder nunca de vista es, que va haber situaciones de partida conectadas con el entorno del estudiante, pero como maestros pensamos que eso no tiene actividad en sí misma, yo no traigo aquí los objetos para que se diviertan o para que digan -fíjate que bonitos son, cómo están construidos-, siempre dirigidos para trabajar alguna actividad matemática, geometría en este caso. Y lo que tenemos que apuntarnos nosotros cuando hagamos nuestro resumen o cuando estudiemos los apuntes es: qué aprendemos, qué enseñamos, tomando como soporte esos objetos o esas maneras de generarlos. Eso es lo que tienen que hacer en vuestros resúmenes para estudiáoslos en casa. La materia consiste en eso, en estudiar, ¿qué aprendo yo cuando tengo estos objetos? ¿qué puedo enseñar yo cuando tengo estos objetos?

También hay que centrar la atención en que las ideas que hemos sacado para las familias de sólidos que hemos introducido (que a lo mejor aún no podemos expresar verbalmente) se han construido a partir de las formas de estos objetos. Yo no he introducido las familias diciéndoos una definición de ellas y luego mostrando a continuación los objetos del entorno, que en ese caso hubieran jugado un papel de ejemplos aplicación. Esta manera de proceder en la enseñanza de la geometría también refleja que se está tomando postura ante las diferentes opciones que pueden presentarse.

En este extracto se está aclarando su postura ante diferentes opciones que pueden presentarse para enseñar la geometría a nivel escolar y de las que habló en la primera sesión. Especifica el papel que juegan los objetos del entorno en la opción que ella ha tomado. Se subraya que los objetos del entorno se consideran como soporte para desarrollar actividad matemática a partir de ellos, no se traen a clase sólo para motivas a los estudiantes.

Las ideas de los conceptos geométricos se forman a partir de los objetos del entorno. No se consideran como un ejemplo que aclara lo que se les cuenta en relación con la geometría si no que las ideas geométricas se construyen observando estos objetos.

En los siguientes extractos se centra la atención sobre el papel de los ejemplos y los No ejemplos en la enseñanza de los conceptos geométricos.

03- Sobre los ejemplos y no ejemplos para introducir Objetos mentales de conceptos geométricos.

[Se está haciendo una recapitulación sobre cómo se han introducido las ideas de las familias de sólidos y se centra la atención en que se han considerado objetos del entorno que se parecían más y menos a la familia de sólidos correspondiente, con lo que se había tratado también las transformaciones que se tenían que hacer en los objetos para que tuviesen la misma forma que la familia de sólidos considerada]

Juego siempre con ejemplos y con No ejemplos porque los No ejemplos me perfilan las propiedades que quiero “esto no es porque no cumple esto”.

[…]

Vosotros tenéis que captar que siempre que aparecen conceptos geométricos, se han de mostrar ejemplos y no ejemplos para que los estudiantes puedan formarse una cierta idea de ellos que entre otras cosas incluya los ejemplos y las propiedades que se precisan para que se consideren como ejemplos. Los No ejemplos facilitan que se expresen verbalmente estas propiedades. Pero tienen que mostrarse No ejemplos que rompan algo (que dejen de cumplir alguna propiedad de los ejemplos) pero que se parezcan a éstos porque cumplen también alguna de sus propiedades.

En el siguiente extracto se muestra el uso de No ejemplos para el desarrollo plano del cilindro. Se está considerando la construcción del cilindro a partir de un fólio que se enrolla para desarrollar actividad matemática. Se ha construido ya el desarrollo del cilindro imaginando que se abre el cilindro recto construido con cartulina y se extiende en el plano. Se ha observado que el desarrollo está formado por el fólio y dos trocitos de papel completamente redondos. Se remarca la observación que se ha hecho de que no sirven dos ¨Trocitos de papel¨ cualesquiera para tapar el rulo. La actividad continúa como sigue.

03- Sobre el desarrollos planos de cilindros. Los no ejemplos.

Esto no me serviría [tacha el d4-círculos demasiado grandes] porque no es igual de grande el borde del pedacito de un lado como el borde de aquí, del folio [rellena el rectángulo del d4] y éste no me vale [tacha el d2- círculos muy distintos] porque no son exactamente iguales. Me sirven los otros dos.

Figura 2

Juego siempre con lo que sí y ejemplos de que no, con ejemplos porque los No ejemplos me perfilan las propiedades que quiero “esto no es porque no cumple esto”. Esto es, pero si sólo presento lo que es, no noto que hay algo que no es, para perfilar las propiedades me vienen muy bien los No ejemplos.

Y además como tengo dificultades para decir el pedacito de arriba, el folio, el no se cuantas…les vamos a dar también nombres.

Esto es un rectángulo [pone el nombre en el d3] aquí en clase le vamos a llamar rectángulo.

Y ¿esto? ¿cómo le vamos a llamar al pedacito este de papel? se llama círculo.

Recuerda la importancia que tienen los no ejemplos en la enseñanza de la geometría, en este caso los no ejemplos para perfilar las propiedades del desarrollo plano del cilindro.

Y también hace consciente la necesidad de tener una terminología geométrica e introduce nuevos conceptos, como está en el desarrollo plano del cilindro, serán conceptos geométricos de dos dimensiones.

03- Vocabulario para algunos elementos. Sobre el estudio de la geometría plana inmersa en el estudio de los sólidos.

Y además de tener el dibujito ese, en nuestra libreta [se refiere al desarrollo del cilindro] tendríamos muchas más cosas apuntadas. La circunferencia es completamente redonda y es el borde del círculo, el círculo es completamente redondo pero es plano, el rulo del cilindro cuando lo abro, que he construido con el folio, pues se convierte en el rectángulo, el rectángulo tiene lados.

Vale, pues fijaos cómo estoy estudiando la geometría plana inmersa en la geometría del espacio, a partir de un objeto hemos introducido nombres para elementos del plano, y para los de una dimensión, lados, a partir de los objetos. Es una reflexión como maestros, estamos introduciendo la geometría. Como maestros somos concientes que estamos introduciendo la geometría del plano y la de una dimensión inmerso en la del espacio. Partiendo del cilindro, mirad si estamos introduciendo cosas.

Está aprovechando que a partir del espacio se pueden estudiar los elementos del plano. Estudia las figuras planas inmerso en situaciones de partida para trabajar sólidos. En esta reflexión centra la atención en ello.

Las siguiente advertencia se hace en repetidas ocasiones cuando se han introducido diferentes familias de sólidos. Centra la atención en que en la enseñanza de la geometría el maestro tiene que seleccionar los ejemplos que se muestran a los niños, las representaciones con las que se muestran y las posiciones en las que se muestran.

05- Sobre los ejemplos que se muestran. ¿Con qué repressentaciones? ¿En qué posiciones?

Cuidado con enseñar sólo ejemplos bonitos, ejemplos prototipo los que continuamos estudiando luego porque sino en la cabeza de la gente van a incluir más propiedades de las que tocan, son las propiedades de la familia bonita.

Igual que como habíamos visto el otro día y que saldrá muchísimas veces un maestro tiene que pensar constantemente cuidado con presentarlos sólo en posición estándar.

Las propuestas siguientes también surgieron cuando se estaba considerando los cilindros, conos y esferas para desarrollar actividad. Ahora se centra la atención, por un lado, en que partir de lo que se desarrolla en clase uno siempre puede ir más allá. Uno mismo puede plantearse una gran variedad de preguntas y uno decide también por donde continuar y cuándo parar. Por otro lado, se subraya otra idea que también se repite en muchas situaciones: Algunos contenidos se trabajan en diferentes contextos y en tiempos diferentes para que estos conocimientos se afiancen y para mostrar que se usan para descubrir otros.

06- Cuestiones que surgen de una situación.

Lo que vamos hacer a hora como actividad, que la vamos a dejar para casa es, que en el desarrollo plano de la superficie lateral del cilindro éste y éste [se refiere a los desarrollos del cilindro], cuando la superficie cilíndrica es un paralelogramo o cuando la superficie cilíndrica se convierte en un rectángulo, dibujáis ahí los elementos, la altura las diagonales ¿a qué corresponderán en el cilindro?

¿Serán más grandes aquí [rectángulo] que aquí [paralelogramo]? ¿qué pasa con las diagonales aquí? ¿qué pasa con las diagonales aquí? ¿qué pasa con la altura del rectángulo aquí? ¿qué pasa con la altura del paralelogramo aquí?

Y ¿qué pasa si las comparamos? ¿qué pasa con la altura del rectángulo, coincide con la altura del cilindro? ¿qué pasa con la altura del paralelogramo, coincide con la altura del cilindro? Todas esas preguntas hay que ver, o sea, las preguntas que nos podríamos hacer nosotros mismos,

[…]

Estamos relacionando el paralelogramo con el rectángulo y estamos relacionando también el paralelogramo con el cilindro, el desarrollo plano del cilindro, DISTINTOS desarrollos planos del cilindro con el cilindro y los estamos comparando entre ellos,

Plantea esta tarea para casa y hace la aclaración de lo que se está trabajando al realizarla, es una tarea que anima a los estudiantes para que descubran nuevas relaciones entre elementos del plano con elementos del plano y también con elementos del espacio, específicamente entre el rectángulo y el paralelogramo y al ver las cosas en sentido dinámico identificar los elementos del plano en el espacio cuando se construye nuevamente el cilindro. Este es otro aspecto de la enseñanza de las matemáticas que se ha destacado en repetidas ocasiones: el no quedar atrapado por las preguntas que plantea el profesor y que nosotros mismos vayamos también planteándonos cuestiones que extiendan la actividad matemática mucho más allá que la que se puede ver en un curso. En el extracto siguiente se da cuenta de ello. Este extracto surgió cuando un estudiante dio como solución a la cuestión que se había planteado para casa sobre la forma del desarrollo de la superficie cilíndrica de un cilindro oblicuo, después de que se rompiera la idea de la mayoría de los estudiantes de que éste tenía que ser un romboide.

06- Extendiendo. Yendo más allá.

Luego, otra observación que tenemos que hacer es que en esa forma que se parece a un rectángulo, pero que tiene lados curvos, dos de los lados son curvos.

Esa distancia tiene que ser siempre la misma y eso me lleva a pensar que a lo mejor sí puedo hacer incluso cosas como éstas [dibuja rectángulo con lados curvos] de manera que esto se mantenga igual [dibuja segmentos iguales], si aquí subo, aquí lo bajo, siempre lo mismo, si aquí lo he subido, pues aquí también, si aquí lo bajara pues aquí lo bajaría, sigo manteniendo la distancia eh!

Figura 4

Y ahora la pregunta ¿qué nos saldrá si hago cosas como esa? Estoy construyendo formas que mantienen determinadas propiedades, y ¿me saldrán cilindros? O ¿qué me saldrá?.

Ahora juego al revés, lo que mantengo son las propiedades y lo que me construyo son formas que posiblemente no sean cilindros, ¿habrá un caso donde lo que salga sí sea cilindro? Preguntas, más preguntas... Os muestro cómo uno se conduce desarrollando actividad por uno mismo.

Esas son las preguntas que se me ocurren a mí, pero a vosotros seguro que se os ocurren otras. Vosotros ya tenéis un nivel donde sería bueno que descubrierais cómo vosotros mismos os plantáis nuevas preguntas, cómo os surgen preguntas de lo que estáis haciendo. En la enseñanza hay que motivar para que uno mismo disfrute creándose más problemas. Si sólo tenéis que contestar a lo que al profesor se le ocurre, no disfrutaréis tanto de la materia ; uno disfruta más cuando uno mismo resuelve problemas que le plantean otros y también se va planteando sus propias cuestiones, aunque al principio no se puedan resolver todas las cuestiones que nos hemos planteado. Uno no puede limitarse a lo que se puede dar en una asignatura. Hay que crear instrumentos para poder despegar de ella. Y esta es una manera posible que nos puede incentivar también para mirar otros recursos.

07- El cono y su desarrollo. Revisando ideas de conceptos e introduciendo otros.

[Se está introduciendo el desarrollo del cono después de que se ha considerado el desarrollo del cilindro. Los estudiantes ya han observado que el desarrollo de la superficie cónica se parece a un triángulo pero tiene un lado curvo]. Si el círculo, circunferencia y triángulo ya se han estudiado en otro momento pues lo recordarían, si no pues los introducímos ahora. Si una forma geométrica nos ha salido en otro contexto en otra situación pues vale ya la tenemos y en el caso del círculo y la circunferencia, como es muy frecuente que no se usen los términos de manera precisa, se puede aprovechar la situación nueva para revisar y recordar las carácterísticas de cada uno ¿Cómo se llama esta forma? ¿Y esta otra ? ¿Qué características tienen ? Lo revisamos, los contenidos que se aprenden en un momento, se retoman en otro momento para recordarlos, para revisarlos, para que se vea que están relacionados y que no los aprendí y están ahí encerrados. Así se interrrelacionan los contenidos que se estudian en diferentes momentos, e incluso en cursos diferentes. Se revisan también las ideas que se pueden tener al respecto y además se muestra que los conocimientos que se adquirieron en un momento permanecen activos; se usan para descubrir otros nuevos.

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