Cuestionando sobre ¿Qué? ¿Por qué? ¿Cómo?

Los cilindros, los conos y las esferas.

En esta opción se consideran diferentes procedimientos para generar representaciones físicas de los cilindros. Para cada uno se cuestiona sobre la actividad matemática que se puede desarrollar a partir de él, que lleva a que los estudiantes construyan sus Objetos mentales iniciales de las familias de sólidos correspondientes. También se plantean cuestiones que muestran cómo desarrollar actividad matemática en un nivel diferente, bien a partir del procedimiento utilizado para generar los sólidos, bien usando ideas incorporadas en los Objetos mentales que se han constituido al desarrollar las actividades que se han planteado en el primer nivel.

Asimismo se plantean algunas cuestiones en un contexto matemático, si bien utilizan objetos del entorno o modelos como soporte. Son tareas de identificación de ejemplos y no ejemplos o de buscar parecidos y diferencias entre familias de sólidos.

T-4

a) ¿De qué maneras (procedimientos) diferentes se pueden obtener modelos (representaciones físicas) con forma de cilindro (cono, esfera)?

Para cada procedimiento, ¿qué actividad geométrica se puede desarrollar a partir de él?

T-5

a) Cuando se construye un cilindro con cartulina, ¿qué podemos trabajar en la escuela a partir de esta construcción? ¿Qué vocabulario geométrico está relacionado con el desarrollo plano del cilindro (cono)?

figura 3

b) ¿Se pueden construir modelos de esfera con cartulina? ¿Qué podemos destacar en las clases de primaria o de secundaria al discutir esta cuestión?

c) ¿Qué tipo de curvas cerradas son igual de anchas en todas direcciones? ¿Qué tipo de curva es el borde de la luna?

¿Qué tipo de superficies cerradas cumplen esta propiedad? ¿Y de sólidos?

¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene un cilindro, un cono y una esfera? ¿Qué forma tienen?

d) ¿Cómo se puede calcular la superficie lateral (total) del cilindro y del cono?

e) ¿Qué es mayor, la superficie de una esfera o la del cilindro que la contiene?

T-6

a) Ahora modelamos el cilindro con plastilina ¿Qué actividad matemática se puede desarrollar en la escuela a partir de esta manera de generar modelos del cilindro?

b) ¿Cuáles son los criterios para reconocer un cilindro (cono)? ¿Cuándo consideramos que ya tenemos un modelo de cilindro (cono) o creemos que tenemos que modelarlo mejor?

c) ¿Cómo se puede describir el cilindro (cono) al observarlo en cada una de las posiciones? ¿Qué propiedades tiene el cilindro (cono)?

d) ¿Qué pretente remarcar la figura?

figura 4

e) Hacemos cortes …Por ejemplo, en el cilindro obtenemos otros cilindros más bajitos o bien otros modelos que no son cilindros. ¿Cómo hacer un corte en el cilindro para obtener un rectángulo como sección? ¿Qué ocurre si seguimos haciendo cortes paralelos al que proporciona la sección rectangular? ¿Al cortar paralelamente a las bases (los círculos), qué forma tienen las secciones que van apareciendo? ¿Y si los cortes no son paralelos a las bases?

¿Qué ocurre en el cono?

f) ¿Cuál es la intersección de un plano y una esfera? ¿Y de dos esferas?

g) ¿Qué ideas ingenuas del cilindro (cono) y de sus elementos (de las bases o base, de la superficie lateral, de las secciones, etc.) pueden surgir de las actividades anteriores?

h) ¿Cómo se pueden obtener algunos prismas rectos partir de los cilindros? ¿Y algunas pirámides a aprtir de conos?

figura 5

¿Qué parecidos y diferencias encontramos entre los prismas obtenidos y el cilindro? ¿Y entre las pirámides obtenidas y el cono?

i) ¿Cómo podemos explicar que hallar el volumen del cilindro (cono) resulta sencillo una vez que se sabe hallar el volumen de los prismas (las pirámides)?

j) En el cilindro todo corte que hagamos que pase por el eje (plano que trazamos conteniendo al eje) divide a éste en dos mitades de las que cualquiera de ambas es la imagen reflejada de la otra. Estos cortes pueden funcionar como un espejo: lo que queda a un lado del corte es lo que reflejaría el espejo- corte de lo que queda a la otra parte. ¿Ocurre lo mismo en el cono? ¿Y en la esfera? ¿Y en los prismas?

T-7

a) A partir de la unidad base que sugiere Castelnuovo (1979, p. 214)., esto es, utilizando gomitas (liguillas) y dos círculos iguales de cartulina dura podemos obtener cilindros oblicuos a partir de cilindros rectos. La figura ilustra el proceso.

Figura 6 (Tomada de Castelnuovo, 1979)

De manera análoga se pueden obtener los conos.

¿De qué nos tendremos que preocupar en esta manera de construir modelos de cilindros oblicuos? ¿Qué se mantiene y qué cambia en el paso del cilindro recto al oblicuo?

¿Qué ideas pueden surgir para el cilindro y el cono de esta manera de generarlos?

b) Utilizando gomitas (liguillas) y dos círculos iguales se pueden construir cilindros oblicuos a partir de cilindros rectos. ¿Qué comentarios se pueden hacer en relación con ideas erróneas que pueden surgir al fijarse en las liguillas? ¿En qué se puede incidir al trabajar con este tipo de representación?

c) ¿Al desplazar los discos (círculos de cartulina dura) paralelamente, de manera que las liguillas no se entrecruzan, ¿las diferentes liguillas que forman el modelo seguirán teniendo la misma longitud (entre ellas)? ¿Cuántas aristas tiene un cilindro oblicuo? ¿Siguen teniendo forma de circunferencia? ¿Las bases de un cilindro pueden tener forma de elipse?

c) Las bases de los cilindros tienen forma de círculo. ¿La cara lateral cuando la extendemos en el plano al cortarla por una generatriz, siempre va a tener forma de rectángulo? ¿Tendrá forma de romboide (paralelogramo)? ¿Utilizar romboides (paralelogramos) en vez de rectángulos permite construir cilindros oblicuos? ¿Y cilindros rectos?

¿Qué forma tiene la superficie lateral de un cilindro oblicuo? ¿Cómo se explica que a partir de un romboide (paralelogramo) se obtenga, al igual que con el rectángulo, la superficie lateral de un cilindro recto que tiene la misma altura que la del rectángulo correspondiente? ¿Se pueden hacer también dos cilindros dependiendo de qué lado del rectángulo (paralelogramo) pase a ser la arista del cilindro obtenido?

T-8

a) La industria papelera construye algunos soportes para los rulos de papel a partir de un paralelogramo romboide. Podemos desmontar alguno de estos rulos y comprobarlo. ¿Dónde quedan los lados y diagonales del paralelogramo (romboide) en el cilindro construido? ¿Qué se puede decir de la altura del paralelogramo y de la altura del cilindro que hemos construido?

b) Si un papel rectangular se enrolla en forma de cilindro dando varias vueltas, como se hace muchas veces en las papelerías, y luego se corta dicho cilindro con un corte inclinado, ¿qué forma tiene la sección? Al volver a desarrollar la superficie, ¿qué curva aparece?

T-9

a) ¿Cómo se puede generar un cilindro (cono, esfera) girando un rectángulo (triángulo, medio círculo)? La figura lo muestra.

Figura 7 (Tomada de Castelnuovo, 1979)

¿Los elementos del rectángulo (lados y diagonales) de qué manera influyen en el cilindro que se genera? ¿Si quiero generar un cilindro grueso y bajito, qué clase de rectángulo voy a elegir para ello? ¿Dónde "quedan" los elementos del rectángulo en el cilindro que se genera? ¿A qué elementos del cilindro corresponden?

b) Cabe plantearse cuestiones análogas a las anteriores para el triángulo y el cono que se puede generar a partir de él. ¿Y cómo podemos generar una esfera?

c) ¿Qué ideas para el cilindro, el cono y la esfera surgen de esta manera de generarlos?

T-10

a) ¿Es conveniente o no trabajar en clase las diferentes maneras de generar el cilindro que hemos considerado en las actividades anteriores? ¿En qué orden?

b) ¿Qué ideas ingenuas de cilindro (cono, esfera) pueden surgir de generarlos con diferentes procedimientos?

c) ¿Qué ideas erróneas pueden aparecer en clase al presentar diferentes representaciones del cilindro (cono)?

d) ¿Qué parecidos y diferencias encontramos entre el cilindro y el cono? ¿Qué actividades permiten remarcar estos parecidos y/o estas diferencias?

T-11

a) Después que los estudiantes han construido un cierto objeto mental para el cilindro (cono o esfera) a partir de objetos del entorno, se plantean tareas de identificación de ejemplos y no ejemplos. Asimismo, después de que se han precisado diferentes ideas ingenuas para estas familias de sólidos a partir de los diferentes procedimientos que generan representaciones físicas, también se plantean tareas de “Identificar ejemplos y no ejemplos presentando distintas representaciones”.

¿Qué diferencias hay entre el tipo de ejemplos y no ejemplos que se seleccionan en cada caso? ¿Qué modelos selecciona el profesor en cada caso? ¿Qué se pretende al pedir que se identifiquen como ejemplos o como no ejemplos?

Para responder a las cuestiones que se plantean en las tareas T-4 a T-11 remitimos a los otros dos apartados de esta sección En algunas clases de geometría ¿Qué? ¿Cómo? y Propuestas, sugerencias, preguntas,... para clase ¡!!Ojo que hay 2 ligues donde se pueden encontrar respuestas a gran parte de las cuestiones que planteamos.

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