Sobre los elementos de los sólidos

¿Cuánto mide el ángulo de...?

Las transcripciones que incluimos aquí corresponden a discusiones entre niños de 12 años en clases laboratorio, en el marco de un proyecto de investigación. Se centraba la atención en la descripción de familias de sólidos considerando los diferentes tipos de ángulos de los sólidos o se abordaban tareas de clasificación en las que se utilizaban estos elementos para describir alguna de las familias de sólidos que se habían establecido (por ejemplo, los prismas cóncavos y convexos). Al considerar como elementos de los sólidos los ¨ángulos¨, se habían distinguido tres tipos:

  1. 1. Los ángulos de las caras, que corresponden a los ángulos de los polígonos que forman el poliedro. Al centrar la atención en ellos se había subrayado que su estudio correspondía al de los ángulos de los polígonos, sólo que al hablar de ángulos de las caras, en vez de fijarnos sólo en los de un polígono se consideraban los de todos los polígonos que formaban el poliedro.
  2. 2. Los ángulos diedros, que corresponden a los ángulos que forman las caras al juntarse. Se remarcó que, al igual que en el plano, dos segmentos forman un ángulo al juntarse en un vértice, en el espacio, dos caras forman un ángulo diedro al juntarse formando una arista. Después de hacer notar que el problema de medir ángulos diedros se puede convertir en un problema de medir ángulos en el plano, los estudiantes pudieron conjeturar que, como se muestra en la figura, los segmentos que se han de seleccionar para ello han de ser uno de cada cara que forma el ángulo diedro, se han de juntar en un punto de la arista que forman estas caras y han de ser perpendiculares a la arista.

    figura 11

  3. 3. Los ángulos de los vértices, que corresponden a la suma de los ángulos de los polígonos que se juntan en un vértice. Se centró la atención en que estos ángulos dan una idea de lo ¨abierto¨ que está el vértice y que para hallar su medida se ha de conocer la medida de los ángulos de los polígonos que se juntan en el vértice y después hacer una suma.

Protocolo 1: Caracterizando los prismas cóncavos y convexos.

La conversación que transcribimos a continuación se planteó cuando intentábamos precisar en términos geométricos la idea visual de los sólidos cóncavos que habían expresado: "si la base tiene un ángulo hacia adentro".

{1} P: ¿Cómo se podría decir de otra manera? Los ángulos tienen una medida...

 

 

figura 12
{2} E1: Cuando hay un obtuso pero metido para adentro.
{3} E2:

No mira éste [En el prisma que es una E, señala un ángulo entrante pero considera el exterior].
{4} E1:

Pero tú lo estás midiendo así [lo señala por fuera] y yo lo estoy midiendo así [lo señala por dentro].
{5}P: ¿Cómo lo consideráis recto u obtuso? ¿Cómo lo medirías?
{6}E3: Yo así [y lo señala por fuera]. Así también [lo señala exterior].  
{7}E1: Yo al revés [Lo señala interior].  
{8}P:

Construye un polígono con varillas, lo va transformando y pregunta que cómo miden sus ángulos. Mientras los polígonos son convexos, todos ellos consideran los ángulos interiores.

Luego los transforma en cóncavos, de manera que tengan ángulos rectos interiores y exteriores, como en la figura. Pide que se mida el ángulo cóncavo.

  
{9}E1: ¿Y por qué ahora tenemos que medirlo así [e indica el ángulo exterior] en vez de así [e indica el interior]?

figura 13
{10}E3: [Señala uno de los ángulos cóncavos por fuera y dice]: Este es recto.
{11}E3: Se ríe y dice: Yo lo mido por fuera y los otros por dentro. Todos se ríen.  
{12}P: O sea, que unos los mides por fuera y otros por dentro. ¿Y qué pasa si los mides todos por dentro?  
{13}E3: Pues que esto [señala un ángulo de 270°] no es recto.  

 

En experimentaciones que hemos realizado en las que han participado estudiantes para maestro y/o con maestros en ejercicio, al caracterizar las familias de los prismas, convexos y cóncavos, o cuando se intentaba obtener la medida de los ángulos de los vértices de algunos prismas cóncavos como el de la figura, constatamos en repetidas ocasiones que cuando los ángulos de un polígono miden más de 180°, algunos estudiantes consideran el ángulo exterior del polígono y cuando miden menos de 180° consideran el ángulo interior.

figura 14

Y esto ocurre con más frecuencia cuando el polígono que se presenta tiene ángulos interiores y exteriores que miden 90°. En prismas como el de la figura son muy comunes las respuestas en las que se indica que todos los ángulos miden 90°.

La explicación podemos encontrarla en que en la experiencia anterior de estos estudiantes con el estudio de la geometría, a los ángulos rectos se les ha prestado más atención que al resto de los ángulos y a los polígonos convexos más que a los cóncavos. Si se desarrollan estas tareas en clase, cabe centrar la atención en las condiciones que hay explícitas en las ideas que expresamos de estos elementos o en los convenios que hacemos. Con respecto a los ángulos, cabe señalar que normalmente nos referimos a los ángulos interiores, por lo que, al hablar de ángulo de un polígono, si no se aclara más, cabe pensar en el interior. También puede ser interesante remarcar que con lo que hay que tener especial cuidado es con no seleccionar unos y otros indistintamente; que cuando en las tareas haya que considerar ángulos de un polígono, se tiene que tener cuidado con seleccionar todos del mismo tipo, o siempre los interiores o siempre los exteriores.

 

Protocolo 2: Midiendo ángulos diedros

El protocolo siguiente lo hemos mostrado también en un artículo de Educación Matemática de 2004 (Guillén, 2004), al que también se hace referencia en la sección Para saber más. Remitimos a este trabajo donde se presenta un estudio detallado sobre la clasificación. Por un lado se pueden encontrar diferentes aproximaciones para su estudio en primaria, por otro, diferentes problemas que se pueden estudiar ligados a la clasificación. También podemos encontrar respuestas de estudiantes, que informan sobre dificultades que pueden encontrar estudiantes de diferentes niveles, y discusiones interesantes sobre la clasificación, que surgen en el contexto de clase al observar en un objeto algo que hasta entonces no se había puesto en evidencia.

La discusión que se transcribe a continuación tuvo lugar entre niños de 12 años en sesiones laboratorio, en el marco de un proyecto de investigación. La actividad en la que estaban implicados era la de la medida de ángulos diedros de algunos prismas rectos y oblicuos para los que tenían el modelo.

Disponían también de varillas, que podían utilizar como representantes de los segmentos que había que elegir, y de un dispositivo comercializado para medir ángulos diedros.

Como los niños no conocían el instrumento, intentaban usar las varillas, colocándolas juntas perpendicularmente a la arista lateral (como en la figura) y las desplazaban paralelamente hacia la base. Pero, en este caso, trabajar con varillas creó nuevos problemas.

figura 15

Al llegar al vértice del prisma, giraban el ángulo formado por las varillas hasta hacerlo coincidir con el ángulo de las bases. Así, no aceptaban que el ángulo diedro de las caras laterales no coincidía con el correspondiente de la base. Las siguientes respuestas dan prueba de ello.

{1} E1: Mira ponemos esto [las varillas] paralelo a esto... más o menos; paralelo no, perpendicular [las coloca perfectamente. Se preocupa de que las varillas no se abran más ni menos y las lleva al vértice del prisma] Y no. No, no... ¿No daaa?. No, pero sí que da. [Vuelve a hacerlo].
{2} E2: Haces así, lo pones así, sigo subiendo y aquí [en el vértice] éste se para [la varilla que está sobre un lado del polígono de la base] y éste sigue subiendo. Y llega un momento en que coincide...,

figura 16

 

figura 17
{3} E1:

Aquí, si lo subes todo paralela [las dos varillas], no. Pero si subes éste [una varilla] más, sí que es. ¿No? Pero los ángulos son iguales, aquí y aquí, y aquí. Mira si un ángulo lo pones aquí y es de 90° o lo pones aquí da lo mismo porque sigue siendo de 90°. Y si lo pongo de pié también. ....[las dos varillas con una abertura fija las coloca en diferentes sitios giradas sobre la mesa, como en la figura].

Mira yo no la cambio [se refiere a la abertura] y sí que da. Nadie lo puede negar. Dejo la misma abertura. No me entendéis. Sólo hago así [hace gesto de girar] pero dejo la misma abertura...

Cuesta bastante que se llegue a aceptar que en los prismas oblicuos, los ángulos diedros de las caras laterales no coinciden siempre con el ángulo correspondiente del polígono de la base. Se puede hacer notar que al mover la varilla girándola deja de ser perpendicular a la arista, pero si algún estudiante tiene resistencia a cambiar de idea, aunque acepte que efectivamente deja de serlo, porque al mirar el ángulo que forma el lado de la base con la arista lateral no es de 90º, puede no tenerlo en cuenta. Esto es lo que ha ocurrido en la sesión que estamos describiendo y también en otras experimentaciones en las que participaron estudiantes para maestro. Los estudiantes aceptan sin resistencia que para medir el ángulo diedro que forman dos caras hay que seleccionar segmentos perpendiculares a la arista que forman estas caras al juntarse y que cuando una de las varillas se gira, deja de ser perpendicular a la arista; pero el peso que tiene en algunos la idea de que para medir ángulos diedros de las caras laterales se pueden seleccionar los lados del polígono de la base que se juntan en el vértice en el que concurre la arista, les lleva a que no se tenga en cuenta esta condición. E1 continuó justificando de nuevo su respuesta dada en {3}, basándose en el hecho de que los ángulos no cambian porque cambie su posición. La sesión continuó como sigue.

{4} E1: A ver, una pregunta: si tenemos dos lados así , mide 90° ¿no? Y si los tenemos así también, ¿no? Pues ya está... [Toma dos varillas unidas]. O sea que si lo pongo así y así [mueve el ángulo que ha construido para colocarlo en diferente posición] es que ya no está lo mismo...  
{5} P:

Bueno vale, vamos a medir los ángulos con este instrumento que no cambia la abertura. Vamos a ver los pasos que tenemos que dar.

[Muestra en un modelo cómo medir el ángulo que forman dos caras, como se ilustra en la figura].

Primero, dibujamos los segmentos de partida, uno de cada cara, concurrentes y perpendiculares a la arista que forman estas dos caras.

Sobre ellos colocamos el instrumento que nos mide el ángulo diedro. Éste permite dejar fija una abertura, cosa que no ocurre con las varillas. Lo colocamos sobre estos segmentos y lo desplazamos paralelamente de manera que nos vamos acercando hacia la base. Sobre los lados de la base ¿Qué ocurre?

Todos los niños quieren medir ángulos diedros con este instrumento de medida.

figura 18
{6} E1: A ver. Lo pongo perpendicular...Ya está. Lo llevo a la base... Y no coincide. Bueno.. pero... Algunos, no todos. Por muy poco...  
{7} E2:

Claro. Pero no coincide.

 
{8} E3:

Eso... no coincide.

 
{9}P: Lo que pasa con las varillas es que cuando se giran dejan de ser perpendiculares a la arista y los segmentos que se han de utilizar para medir los ángulos diedros, tienen que serlo.  

En {5} a {8} se muestra que después de haber tenido una discusión como la descrita en {1} a {4}, si se dan las instrucciones que indica el profesor en {5} y se usa el instrumento para medir ángulos diedros, se acepta de inmediato que los prismas oblicuos no verifican la propiedad. Es decir, que en los prismas oblicuos algunos ángulos diedros de las caras laterales no coinciden con el ángulo correspondiente del polígono de la base. Ahora bien, la idea es muy resistente y en otras ocasiones en las se plantea la cuestión la idea errónea vuelve a aparecer. Resulta interesante haber dado la posibilidad de que se tuviera una discusión como la que hemos descrito, pues no sólo facilita considerablemente que los propios niños o estudiantes para maestro revisen la respuesta que se ha dado; recuerdan también las características que tienen que tener los segmentos cuyo ángulo coincide con el ángulo diedro correspondiente y las posibilidades que tenemos para esta elección.

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