Sobre los elementos de los sólidos

La altura de los prismas y de las pirámides

En este apartado se centra la atención en un elemento fundamental de los prismas (antiprismas, pirámides y bipirámides): la altura. En primer lugar nos fijamos en atributos que algunos estudiantes incluyen en la imagen que construyen para este concepto, basados en la subfamilia de los prismas rectos: tiene que quedar dentro del sólido, o en la superficie; o se piensa que la altura de un sólido tiene que unir centros de bases (nos referimos a los centros de gravedad), o ápices y centros de bases. En segundo lugar, consideramos algunas propiedades de estas familias de sólidos relativas a su altura.

Las experimentaciones que hemos realizado en las que participaron niños de 12 años nos aportaron una gran variedad de datos que pueden consultarse en Guillén (1977), trabajo que se referencia en la sección Para saber más . Aquí, vamos a aprovechar observaciones que ya se han indicado en este trabajo y que posteriormente también hemos corroborado con otros estudiantes para maestro.

En relación con la ¨idea¨que se tiene de altura de un prisma hemos constatado que bastantes estudiantes tienen una ¨idea¨ basada exclusivamente en los prismas rectos. En los prismas oblicuos también identifican la longitud de la altura y la de la arista lateral, como se muestra en la figura, en la que un estudiante está mostrando la altura del prisma.

Cuando cuestionamos qué altura había que poner a un estante para que el prisma oblicuo cupiese cuando estaba apoyado en una de sus bases, hubo estudiantes que respondieron, que la longitud de las aristas laterales. Otros, aunque no identificaron ambas longitudes, no pudieron indicar cuál era la altura del prisma oblicuo; expresaron que "como está torcido... ".

figura 1

 

Sólo algunos la señalaron correctamente con un bolígrafo, como en la figura, si bien no pudieron expresar una idea de ella en términos geométricos: "Pues de aquí abajo a aquí".

En todas nuestras experimentaciones hemos comprobado que una vez señalado por el profesor se admite sin resistencia que la altura de un prisma oblicuo dibujada desde un punto de la base (de un prisma o de un antiprisma) o desde el ápice (en una pirámide o una bipirámide) puede caer fuera del prisma o antiprisma (pirámide o bipirámide).

figura 2

Podemos encontrar la explicación en el hecho de que en los libros de texto usuales de primaria se presenta dibujada la altura de un prisma y de una pirámide oblicuos que reflejan esta característica visual. De hecho, como se muestra en la conversación siguiente, algunos niños expresaron que tenían en cuenta estos dibujos.

{1} E1: Yo ahora pienso que a lo mejor sería desde el centro del prisma para abajo esa altura, todo recto, porque cuando lo tienes recto [y busca un modelo en el que apoyarse] éste vamos a suponer, si esto fuera el centro [y lo señala] se mediría de ahí abajo, entonces ahí igual.

figura 3
{2} E2: Pero no sale recto. Al unir los centros esa línea es inclinada.
{3} P: ¿Y esta línea no es recta? [Con la mano señala una recta inclinada].
{4} E1:

Pero es recta. [Se ríe]. O sea, horizontal, o sea, es que no sé...

Pero mira, no lo pongo de centro a centro, lo dibujo al lado, desde el vértice [Apoya el modelo sobre la mesa y señala con el dedo los dos segmentos de la figura].

figura 4
{5} E3: Perpendicular a la base esa. Y si se sale como aquí [señala un prisma oblicuo] pues entonces perpendicular a la mesa.
{6} E1: Sí, como en el dibujo de los libros.

Cabe señalar como se está utilizando el lenguaje geométrico en los enunciados {1} a {5}. Con frecuencia se indica ¨es recto¨cuando se tiene una perpendicular a la base, como se muestra en {1} y {2}. Expresar relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre determinados elementos lleva consigo una manera de expresarse en la que se usa un lenguaje de signos o términos como ¨recto¨, ¨inclinado¨, arriba, abajo,... En el apartado ¿Cómo se usa la terminología? ¿Cómo se interpreta? se trata con más detenimiento el aspecto de lenguaje de la geometría de los sólidos.

En relación con las propiedades de los prismas (antiprismas, pirámides y bipirámides) relativas a la altura, hemos verificado en sucesivas ocasiones que el profesor ha tenido que dirigir la atención hacia la altura del sólido para que los esstudiantes lleguen a caracterizar estas subfamilias en términos de altura de la siguiente manera: un prisma o antiprisma (pirámide o bipirámide) es recto cuando al dibujar la altura desde el centro de una base (desde el ápice) cae en el centro de la otra base (cae en el centro de la base o pasa por ella y cae en el otro ápice). En los prismas y antiprismas cuando no ocurre esto, e incluso la altura puede caer fuera de la base del sólido, entonces los sólidos son oblicuos o inclinados.

Actividades en las que se discute sobre las características de estas familias relativas a su altura permiten remarcar que mientras que en los prismas y antiprismas rectos, la altura dibujada desde un punto de la base no va a caer fuera de la otra base, en las pirámides y bipirámides, rectas, la altura dibujada desde el ápice puede caer fuera del polígono de la base.

Las pirámides rectas presentan un caso interesante respecto a los prismas y antiprismas. Se tienen ejemplos de pirámides rectas, de aspecto francamente raro, donde el ápice se corresponde con un vértice del polígono de la base, como en la pirámide de la figura, o incluso puede corresponderse con punto que no pertenece al polígono; esto ocurre cuando la base es un polígono cóncavo que tiene el centro fuera de él.

figura 5

Estos polígonos también pueden utilizarse como bases de los prismas, pero ahora lo que se puede discutir es si al considerar los prismas que tienen estas bases se siguen manteniendo en esta familia todas las propiedades relativas a la altura que se habían enumerado sin haber pensado en estos modelos como ejemplos. Se puede aclarar que consideramos como centro del polígono el centro de gravedad y que suponemos que existe aunque quede fuera del polígono.

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