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¿Qué relaciones se establecen?
Truncando las esquinas de los poliedros regulares
En otras opciones de este apartado se juntan varios sólidos
o descomponen poliedros regulares para obtener otras formas y hemos centrado
la atención en las relaciones que hay entre los sólidos
implicados o entre sus elementos. Aquí, también se van a
considerar los poliedros regulares como familia de sólidos soporte
para desarrollar actividad. Por truncamiento de las esquinas de éstos
se van a generar otros sólidos y se va a centrar la atención
en las relaciones que hay entre los poliedros iniciales y los obtenidos
al transformar éstos o entre sus elementos.
A continuación indicamos respuestas de estudiantes
para maestro a cuestiones que se les plantearon en el contexto de una
clase de Laboratorio escolar de matemáticas (asignatura del currículum
en vigor). Los estudiantes a los que se hace referencia estaban trabajando
en uno de los grupos en los que se distribuye la clase y se han nombrado
con E1, E2, E3 y E4. La P hace referencia a la profesora.
| {1} |
P: Cuando en vez de cortar una esquina
del cubo se cortan todas ellas a la misma distancia del vértice,
se puede obtener un sólido como éste [se muestra en
la figura].
Los vértices del cubo se han convertido en triángulos
y las caras del cubo se han convertido en octógonos regulares.
Este modelo se llama cubo truncado. |
figura 25 |
| {2}: |
E1: Pero siempre no sale ese. Tengo que cortar exactamente
por donde has cortado las esquinas porque si no ... no sale. Si
corto así, en las caras salen polígonos irregulares.
¿Éste también sería cubo truncado? |
| {3} |
E2: En los vértices sí salen triángulos equiláteros. |
| {4} |
P: Cuando se truncan los vértices
del cubo a una distancia adecuada para que por cada cara se obtenga
un polígono regular, se obtiene un sólido que pertenece
a la familia de los poliedros semirregulares pues sólo
falla en una de las condiciones de los poliedros regulares. En éste
sólido las caras son iguales y regulares pero no son iguales.
Por eso, aunque el modelo que se obtiene al truncar las esquinas como
has indicado tú, también es un sólido truncado,
el nombre de cubo truncado se le asigna al que es poliedro
semirregular que puede construirse con 6 octógonos regulares,
tantos como caras tiene el cubo, y 8 triángulos equiláteros,
tantos como vértices tiene el cubo. |
La sesión continuó hallando el número
de elementos del cubo truncado. Al igual que se hace cuando se descubre
el rombododecaedro, que se describe en la opción Puzzles
y estructuras rígidas. Relaciones de este apartado, se sugiere
a los estudiantes que no cuenten los elementos en el modelo, que resulta
dificil por su disposición espacial, sino que se fijen en lo que
ocurre con los elementos del poliedro de partida (el cubo) en relación
con los elementos del poliedro obtenido.
Determinar el número de elementos del poliedro obtenido
en este caso aplicando las observaciones que se han hecho aún conlleva
dificultades para algunos estudiantes para maestro. Como se refleja en
la siguiente conversación, algunos estudiantes requieren de pistas
o ayudas del profesor o de sus compañeros para determinar el número
de caras, vértices y aristas del nuevo poliedro utilizando los
razonamientos deductivos hechos a partir de un soporte visual.
| {5} |
E1: Tiene 14 caras, 8 octógonos
y 6 triángulos equiláteros. |
| {6} |
P: ¿Por qué crees que al
cortar las esquinas han salido triángulos y no han salido cuadrados?
¿Y por qué han salidos octógonos y no han salido,
por ejemplo hexágonos? |
| {7} |
E1: Y yo qué sé. Eso es lo
que ha salido. Es que cuando corto de otra manera en los vértices
también salen triángulos pero no son regulares. Siempre
salen triángulos. |
| {8} |
E2: Ha tomado el octaedro y dice: En éste
salen cuadrados. Salen cuadrados porque hay 4 caras. Ahí salen
triángulos porque en el vértice se juntan 3 caras. |
figura 26
|
| {9}: |
P: ¿Y qué forma tendrán ahora
las caras que provienen de caras? ¿Seguirán siendo octógonos?
|
| {10} |
E1: Salen hexágonos, creo... ¿Dónde
está el modelo? |
| {11} |
E2: Ha tomado el tetraedro y dice: Aquí, en
los vértices salen triángulos también y el las
caras mira... salen hexágonos porque me quedará así...
[lo señala en un modelo como en la figura]. ¿Tienes
el modelo por ahí? |
figura 27
|
| {12} |
P: ¿Y por qué creéis que en un
caso salen octógonos y en los otras casos hexágonos?
|
| {13} |
E1: Sale el doble, 4 sale 8 y cuando son triángulos,
salen 6. A ver. ¿Tienes los modelos? |
| {14} |
E2: Es que es como lo que vimos otro día. Mira,
[lo muestra en un modelo de tetraedro truncado como el de la figura]
los lados de la cara siguen estando, aunque más pequeños
porque les hemos quitado 2 trocitos. Y los vértices se han
convertido en lado también. Así, tenemos el doble. Y
en éste más grande también, pero con el octaedro. |
figura 28
|
| {15} |
P: Así pues podemos anotarnos las
siguientes observaciones: Al truncar todos los vértices de
un poliedro regular de una determinada manera, por cada vértice
se obtiene un polígono cuyo número de lados coincide
con el orden de los vértices del poliedro de partida. Por cada
cara del poliedro de partida se obtiene otro polígono cuyo
número de lados es el doble que el de las caras del poliedro
inicial. |
| {16} |
E1: Uf! Qué lío expresarlo.
|
| {17} |
E3: Yo me aclaro si lo pongo en dos partes
como hicimos con el rombo... Los de partida están a un lado
y el obtenido lo pongo en otro lado. Y luego voy paso a paso mirando
lo que pasa con cada elemento. |
| {18} |
E2: Pero aquí es un poco distinto
pues por ejemplo, aquí, con las caras del cubo podría
decir que se convierten en octógonos. Los vértices
del cubo desaparecen y se convierten en triángulos. Pero
también puedo decir que los vértices del cubo se convierten
cada uno en tres, porque este triángulo también tiene
tres vértices que son del poliedro nuevo. Y también
puedo decir que los vértices del cubo se convierten en tres
aristas del poliedro nuevo. Y las aristas del cubo también
están Uf! Esto es más lío.
figura 29 
A ver... Las aristas que había siguen estando pero más
pequeñas pues les hemos quitado un trocito a cada lado y
luego salen nuevas, 3 por cada vértice... Menudo lío
me he hecho. Pero espera que creo que sí que voy a saber
cuántas caras, vértices y aristas tiene ese poliedro
ese Cubo truncado. |
| {19} |
E1: Pues si tú te lías,
yo... A ver, con el tetraedro, [toma el modelo del tetraedro truncado]
yo me voy a aclarar mejor. Tengo 4 triángulos de los vértices,
4 hexágonos de las caras. Con los vértices y las aristas
ya me voy a liar.
figura 30 
|
| {20} |
P: Para expresar las relaciones que
hay entre los elementos del poliedro de partida y del obtenido,
al lado izquierdo (o arriba) indicamos los elementos del poliedro
de partida y a la derecha (o abajo) en qué elementos del
poliedro obtenido se convierten. Pero como ha expresado E2, un elemento
del poliedro de partida se puede convertir en otros de diferente
tipo en el poliedro obtenido. Por ejemplo, en el cubo, los vértices
desaparecen pero cada uno se convierte en un triángulo, 3
vértices y tres aristas del poliedro obtenido. Luego, los
8 vértices del cubo se han convertido en 8 triángulos,
24 vértices y 24 aristas del cubo truncado. Las 6 caras del
cubo se han convertido en 6 octógonos del cubo truncado.
Las 12 aristas del cubo siguen siendo 12 aristas del cubo truncado.
Después de que se han considerado todos los elementos del
poliedro de partida y se ha puesto en qué se han convertido,
haciendo algunas sumas se obtiene el número de elementos
C, V y A del poliedro obtenido por truncamiento. Así, el
cubo truncado tiene 14 caras, 8 triángulos y 6 octógonos
y 24 vértices. Su número de aristas es 12 (las del
cubo) + 24 (que vienen de los 8 vértices del cubo y cada
uno se convierte en 3). |
Cuando se cortan los vértices del dodecaedro y del
icosaedro se obtienen también los 2 poliedros de la figura. Planteando
tareas de descripción y de buscar parecidos y diferencias para
los 5 poliedros truncados los estudiantes observan que se diferencian
unos de otros en el número de caras, vértices y aristas
y el tipo de caras que los forman. Lo que tienen todos ellos en común
es que están formados por caras de dos clases, que son polígonos
regulares. Y en todos su vértices se juntan 3 caras. Además,
las caras que tienen menor número de lados están bordeadas
por caras de la otra clase y las que tienen mayor número de lados
están bordeadas alternativamente por caras de ambas clases.
figura 31
Se concluye que los poliedros son bastante regulares pero
menos regulares que los poliedros de los que proceden; se les llama semirregulares
porque teniendo todas las caras que son polígonos regulares, y
los vértices que son también iguales, tienen las caras de
más de una clase. No son poliedros regulares porque no tienen las
caras iguales.
Se compara la regularidad en el plano y en el espacio y
así se resalta que al igual que el rectángulo y el rombo
no son polígonos regulares, son polígonos semirregulares,
porque dejan de cumplir una propiedad de los polígonos regulares,
los poliedros semirregulares dejan de cumplir una propiedad de
los poliedros regulares.
A los estudiantes les gusta construir los modelos utilizando
material comercializado formado por polígonos; es un trabajo entretenido
pero vale la pena. Se ha de seleccionar previamente los polígonos
que se van a necesitar para construir cada uno de ellos. Con la tarea
se revisa el número de caras y de vértices de los poliedros
regulares. Y también se recuerda el número de lados del
polígono de las caras y el número de caras que se juntan
en los vértices. Por ejemplo, antes de abordar la tarea de construcción
del tetraedro truncado se ha determinado que se necesitan 4 hexágonos,
porque el tetraedro tiene 4 caras que son triángulos. Se necesitan
4 triángulos, porque el tetraedro tiene 4 vértices que al
ser de orden 3 se tranforman en triángulos.
Asimismo con la construcción se revisan propiedades
de los poliedros que se han descubierto en un contexto de descripción:
el polígono que tiene menos número de lados siempre se bordea
de polígonos de la otra clase. Cuando añadimos polígonos
al que tiene más número de lados, se hace de manera alternada.
Así, por ejemplo, para el tetraedro truncado, los triángulos
están bordeados de hexágonos y los hexágonos están
bordeados de triángulos y hexágonos alternativamente. Para
el cubo truncado, los triángulos están bordeados de octógonos
y los octógonos están bordeados de triángulos y octógonos
alternativamente.
figura 32 |
Cuando en las clases se muestran
todos los poliedros truncados de la figura, inmediatamente uno de
los estudiantes hace notar que uno de ellos es el balón de
futbol. Se aprovecha esta observación para plantear la cuestión
de ¿De qué poliedro regular es poliedro truncado?
Surgen preguntas como: ¿Las caras hexágonos pueden
venir de vértices? ¿Las caras pentágonos pueden
venir de vértices? ¿De qué orden son los vértices
del poliedro del partida? Si las caras que vienen de caras son los
hexágonos, ¿Cuántos lados tienen las caras
del poliedro de partida? |
Se van haciendo conjeturas que luego se comprueban verificando
si las características del poliedro truncado del que se ha conjeturado
tiene las características del que se ha apartado como un posible
balón de futbol.
Así se concluye que el poliedro semirregular que
podemos considerar como balón de futbol se obtiene al cortar las
esquinas del icosaedro. Se puede saber de antemano cuántos polígonos
se necesitan para construirlo, y de qué clase. Para el icosaedro
truncado se necesitan 20 hexágonos, porque el icosaedro tiene
20 caras que son triángulos. Se necesitan 12 pentágonos,
porque el icosaedro tiene 12 vértices que se tranforman en pentágonos;
en los vértices se juntan 5 caras. Los pentágonos están
enteramente bordeados de pentágonos y los hexágonos están
bordeados de hexágonos y de pentágonos alternativamente.
Cuando sobre la mesa, junto con los
poliedros truncados vistos hasta ahora se colocan estos otros dos
de la figura, es muy probable que, como ha ocurrido en nuestras
clases, algún estudiante pregunte sobre ellos.
Como se muestra a continuación, se puede
tratar la descripción de los mismos, establecer relaciones
con algunos poliedros regulares, buscar parecidos y diferencias
con los poliedros truncados que se han obtenido y, al igual que
éstos, se incluyen en la familia de los poliedros semirregulares. |
figura 33
|
| {21} |
E1: ¡Oye! ¿Con
éstos qué pasa? También tienen caras regulares.
¿Son poliedros semirregulares también? |
| {22}: |
E2: Sí, porque sus caras son
polígonos regulares y sus vértices son todos iguales
también. En éste [se refiere al cuboctaedro] en todos
los vértices se juntan 2 triángulos y 2 cuadrados
de manera alternada. Son todos los vértices iguales. Y falla
que las caras sean iguales. |
| {23} |
E3: Y en éste [se refiere al icosidodecaedro]
también pasa lo mismo. En todos los vértices hay 2 triángulos
y 2 pentágonos de manera alternada también. También
es poliedro semirregular. |
| {24} |
P: ¿Pensáis que se pueden
obtener truncando los vértices de algún poliedro regular?
¿Por dónde se tendría que truncar los vértices? |
| {25} |
E1: Éste [se refiere al cuboctaedro] parece
que del cubo. Pero ahora se cortan los vértices más
lejos de los vértices. Se cortan por la mitad de la arista
del cubo. |
figura 34
|
| {26} |
P: O sea que cuando los vértices del cubo se
cortan por los puntos medios de las aristas que concurren en los vértices,
se obtiene ese poliedro. ¿Qué va a ocurrir cuándo
en cada uno de los poliedros regulares los cortes se hacen justo por
los puntos medios de las aristas? ¿Se obtiene otro poliedro?
¿Qué características tienen? ¿Qué
tienen en común estos poliedros? ¿Qué tienen
en común con los otros poliedros truncados? |
Los estudiantes descubren que al cortar el tetraedro por
los puntos medios de las aristas que se juntan en un vértice se
obtiene el octaedro.
Y al truncar el octaedro se obtiene también el cuboctaedro.
 figura
35
La sorpresa al comprobar que al cortar las esquinas del
cubo se obtiene el mismo poliedro que al cortar las esquinas del octaedro
la interpretamos en términos de las características de estos
poliedros: Las 6 caras del cubo se convierten en 6 cuadrados y los 8 vértices
del cubo se transforman en 8 triángulos ; por otro lado, las 8
caras del octaedro se convierten en 8 triángulos y los 6 vértices
del octaedro se transforman en 6 cuadrados.
Lo que se ha subrayado en la opción Relaciones
de dualidad de este apartado permite interpretar este resultado: En
el cubo y el octaedro se intercambia el número de caras y de vértices
y el orden de los vértices de uno coincide con el número
de las caras del otro. El poliedro obtenido se llama cuboctaedro.
Para el dodecaedro e icosaedro también es el mismo,
y se llama icosidodecaedro. Pero es que, estos poliedros también
intercambian el número de caras y de vértices y el orden
de los vértices de uno coincide con el número de las caras
del otro.
 figura 36
¡Sorprende la maravilla de los encajes en el estudio
de la geometría!
Lo que tienen en común el cuboctaedro e icosidodecaedro
con los anteriores es que también están formados por caras
de dos clases que son polígonos regulares. Los vértices
de cada uno de los poliedros son todos ellos iguales. Estos poliedros
también son poliedros semirregulares. Pero mientras que en los
poliedros de antes en los vértices se juntaban 3 caras, en estos
poliedros se juntan 4: dos caras que provienen de caras y dos caras que
provienen de vértices, y están colocadas de manera alternada.
En estos poliedros, las caras de una clase están enteramente bordeadas
de caras de la otra clase.
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